吉林省、黑龙江省两省十校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷
1．（2025高一上·吉林期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，或 B．，
C．，或 D．，
2．（2025高一上·吉林期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·吉林期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·吉林期中）如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·吉林期中）若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2025高一上·吉林期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·吉林期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．（2025高一上·吉林期中）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·吉林期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2025高一上·吉林期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个真命题的否定一定是假命题
B．若“”是“”的充分条件，则
C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件
D．已知是全集的子集，则“”是“”的充要条件
11．（2025高一上·吉林期中）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数在上是减函数
D．
12．（2025高一上·吉林期中）已知幂函数的图像经过点，则 ．
13．（2025高一上·吉林期中）已知集合，则满足 的集合的个数为 ．
14．（2025高一上·吉林期中）已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是 .
15．（2025高一上·吉林期中）已知全集，集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求m的取值范围.
16．（2025高一上·吉林期中）已知是幂函数.
（1）用定义法证明：在上是减函数；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·吉林期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2．
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
18．（2025高一上·吉林期中）已知正数，满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最大值.
19．（2025高一上·吉林期中）已知函数.
（1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的值域.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，或.
故答案为：C.
【分析】明确特称命题否定的两个关键步骤：一是将存在量词“”改为全称量词“”；二是对命题的结论进行否定，即把原结论的逻辑关系取反.
2．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：D.
【分析】遵循从内到外，先确定内层函数自变量所在区间，代入对应解析式计算，再将结果作为外层函数的自变量，重复此过程的解题思路.
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：若函数要有意义，则，解得，
由，
所以函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】明确原函数的定义域，再根据“抽象函数定义域的一致性”，分别列出和满足原函数定义域的不等式组，最后求解不等式组的解题思路.
4．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分在M和S的公共部分中，则阴影部分在中，
又阴影部分不在P中，则阴影部分在中，
所以阴影部分为.
故答案为：B
【分析】观察韦恩图中阴影部分的位置：既在M和S的重叠区域，又不在P的区域内，据此结合集合运算的定义判断。
5．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：正数，满足，
则，
当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，不等式，
由不等式在区间有解，得不等式在上有解.
而，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以a的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据“存在性”的逻辑（即参数大于函数的最小值或小于函数的最大值）来确定参数范围.用基本不等式求函数的最小值，进而得出参数的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，，
可化为，得，解得，
所以的解集是。
故答案为：D。
【分析】由的解集是可得，，可化为，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为定义域为的偶函数在内单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得或或或，
所以得或或，
所以满足的的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先根据偶函数的单调性和零点，确定的正负区间，再将不等式拆分为“一正一负”或“其中一个为0”的情况，分类求解。
9．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数，故A错误；
B，两个函数的定义域都是，，对应法则也相同，是同一函数，故B正确；
C，两个函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数，故C错误；
D，定义域都是R，且，对应法则也相同，是同一函数，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】判断两个函数是否为同一个函数，需同时满足定义域相同且对应法则（解析式）相同。
10．【答案】A,D
【知识点】充要条件；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A：一个真命题的否定一定是假命题，所以A选项正确，
B：“”是“”的充分条件，则，所以选项B不正确，
C：因为，若，则，即，所以充分性成立，
当时，，若，则，即，所以必要性成立，
所以如果，那么“”是“”的充要条件，故选项C不正确，
D：充分性：因为是全集的子集，所以任取，则，
若，则，所以，所以充分性成立，
必要性：设，可得或，当时，因为，所以，可得，即成立，当时，可得，即成立，所以必要性成立，所以D选项正确，
故答案为：AD.
【分析】对四个选项涉及的命题否定、充分条件与集合包含关系、不等式与充要条件、集合运算与子集关系等知识点，逐一分析判断，明确每个选项的解题切入点.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：对A：令得：，故A正确；
对B：由题意，故B正确；
对C：设，则 ，
因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确；
对D：因为，所以，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】通过赋值法探究函数特殊值，用函数单调性的定义判断单调性，结合函数性质分析等式是否成立，从而对每个选项逐一判断.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：幂函数的图像经过点，
，解得
则
故答案为：4.
【分析】先利用幂函数过已知点的条件，求出幂指数，再代入计算f(2)。
13．【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为.
所以集合的个数为：个.
故答案为：7
【分析】先确定集合，再分析的含义：需包含的所有元素，且是的真子集，进而计算的个数。
14．【答案】
【知识点】二次函数的图象
【解析】【解答】如图是函数的图象（图中隐去了轴），
为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.
故答案为：.
【分析】由已知可得为与轴交点的横坐标，为与交点的横坐标，画出函数图象，再利用数形结合可得 的大小关系 .
15．【答案】（1）解：，解得：，
即，
当时，，所以，
或，或
（2）解：由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是.
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）集合运算：先解绝对值不等式确定集合，代入的值确定集合，再通过交集、补集、并集的定义计算。
（2）子集关系：由转化为，分“空集”和“非空集”两种情况，结合集合的端点范围列不等式求解。
（1），解得：，
即，
当时，，所以，
或，或；
（2）由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是.
16．【答案】（1）证明：因为函数是幂函数，所以，解得，
所以函数，
任取且，则
，因为且，所以，
所以即，所以函数在上是减函数.
（2）解： 因为在上是减函数，所以则有：
，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义（形如，系数为）求出参数，得到的具体表达式，再利用函数单调性的定义（任取，证明）进行证明.
（2）结合函数的定义域（保证和在定义域内）以及单调性的性质（减函数中，自变量大的函数值小），列出不等式组求解.
（1）证明：因为函数是幂函数，
所以，解得，
所以函数，
任取且，
则
因为且，
所以，
所以即，
所以函数在上是减函数.
（2）因为在上是减函数，
所以则有：
，
所以实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题意可设，，由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，所以，
（2）解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，有，
则当，即万元时，的最大值为，所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元.
【知识点】幂函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据“成正比”的关系，设出和的函数形式，再结合图像过的定点，代入求出比例系数，从而确定函数关系式；
（2）通过设投资金额，建立年收益的函数模型，再利用二次函数的性质求其最大值，进而确定资金分配方案.
（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，
.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，
年收益为万元，
则，，
有，
则当，即万元时，的最大值为，
所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元．
18．【答案】（1）解： 由（当且仅当时取等号），有，
可得（当且仅当时取等号），故的最大值为1.
（2）解： 由，有，又由（当且仅当时取等号），
有，有，有，可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为2.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）通过基本不等式对已知等式进行变形，得到关于的不等式，进而求出的最大值，再开方得到的最大值；
（2）将已知等式转化为关于和的关系式，再结合基本不等式，建立关于的不等式，最后求解该不等式得到的最大值.
（1）由（当且仅当时取等号），
有，
可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为1；
（2）由，有，
又由（当且仅当时取等号），
有，有，
有，可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为2.
19．【答案】（1）证明：设，有，
，
①当时，有，，，，有，
可得，可得，故函数在区间上单调递减；
②当时，有，，，，有，
可得，可得，函数在区间上单调递增.
由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）解：由，可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，可得函数的减区间为，，增区间为，，
可得函数的图象的趋势大致如下：
由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点，只需，
解得或，
故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为；
（3）解： 由，有，可得，又由函数为偶函数，
故函数在区间上的值域等于在区间上的值域，令，可得或，
可得函数的图象与轴的交点分别为，，，
则①当时，，，函数在区间上的值域为；
②当时，，，函数在区间上的值域为；
③当时，，，函数在区间上的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）将函数写成分段形式，再利用单调性定义（任取区间内两点，判断的符号）分别证明.
（2）分析函数奇偶性，作出大致图象，将直线与函数图象的交点问题转化为方程解的个数问题，结合图象的单调性和极值，利用数形结合求参数范围；
（3）研究上的值域，再分、、三种情况，结合单调性求值域.
（1）证明：设，有，
，
①当时，有，，，，有，
可得，可得，
故函数在区间上单调递减；
②当时，有，，，，有，
可得，可得，函数在区间上单调递增.
由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）解：由，可得函数为偶函数，
又由函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可得函数的减区间为，，增区间为，，
可得函数的图象的趋势大致如下：
由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点，
只需，解得或，
故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为；
（3）由，有，可得，
又由函数为偶函数，故函数在区间上的值域等于在区间上的值域，
令，可得或，
可得函数的图象与轴的交点分别为，，，
则①当时，，，
函数在区间上的值域为；
②当时，，，
函数在区间上的值域为；
③当时，，，
函数在区间上的值域为.
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1．（2025高一上·吉林期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，或 B．，
C．，或 D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，或.
故答案为：C.
【分析】明确特称命题否定的两个关键步骤：一是将存在量词“”改为全称量词“”；二是对命题的结论进行否定，即把原结论的逻辑关系取反.
2．（2025高一上·吉林期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：D.
【分析】遵循从内到外，先确定内层函数自变量所在区间，代入对应解析式计算，再将结果作为外层函数的自变量，重复此过程的解题思路.
3．（2025高一上·吉林期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：若函数要有意义，则，解得，
由，
所以函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】明确原函数的定义域，再根据“抽象函数定义域的一致性”，分别列出和满足原函数定义域的不等式组，最后求解不等式组的解题思路.
4．（2025高一上·吉林期中）如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分在M和S的公共部分中，则阴影部分在中，
又阴影部分不在P中，则阴影部分在中，
所以阴影部分为.
故答案为：B
【分析】观察韦恩图中阴影部分的位置：既在M和S的重叠区域，又不在P的区域内，据此结合集合运算的定义判断。
5．（2025高一上·吉林期中）若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：正数，满足，
则，
当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为．
故答案为：B.
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
6．（2025高一上·吉林期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，不等式，
由不等式在区间有解，得不等式在上有解.
而，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以a的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据“存在性”的逻辑（即参数大于函数的最小值或小于函数的最大值）来确定参数范围.用基本不等式求函数的最小值，进而得出参数的取值范围.
7．（2025高一上·吉林期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，，
可化为，得，解得，
所以的解集是。
故答案为：D。
【分析】由的解集是可得，，可化为，求解即可。
8．（2025高一上·吉林期中）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为定义域为的偶函数在内单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得或或或，
所以得或或，
所以满足的的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】先根据偶函数的单调性和零点，确定的正负区间，再将不等式拆分为“一正一负”或“其中一个为0”的情况，分类求解。
9．（2025高一上·吉林期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数，故A错误；
B，两个函数的定义域都是，，对应法则也相同，是同一函数，故B正确；
C，两个函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数，故C错误；
D，定义域都是R，且，对应法则也相同，是同一函数，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】判断两个函数是否为同一个函数，需同时满足定义域相同且对应法则（解析式）相同。
10．（2025高一上·吉林期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个真命题的否定一定是假命题
B．若“”是“”的充分条件，则
C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件
D．已知是全集的子集，则“”是“”的充要条件
【答案】A,D
【知识点】充要条件；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A：一个真命题的否定一定是假命题，所以A选项正确，
B：“”是“”的充分条件，则，所以选项B不正确，
C：因为，若，则，即，所以充分性成立，
当时，，若，则，即，所以必要性成立，
所以如果，那么“”是“”的充要条件，故选项C不正确，
D：充分性：因为是全集的子集，所以任取，则，
若，则，所以，所以充分性成立，
必要性：设，可得或，当时，因为，所以，可得，即成立，当时，可得，即成立，所以必要性成立，所以D选项正确，
故答案为：AD.
【分析】对四个选项涉及的命题否定、充分条件与集合包含关系、不等式与充要条件、集合运算与子集关系等知识点，逐一分析判断，明确每个选项的解题切入点.
11．（2025高一上·吉林期中）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数在上是减函数
D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：对A：令得：，故A正确；
对B：由题意，故B正确；
对C：设，则 ，
因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确；
对D：因为，所以，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】通过赋值法探究函数特殊值，用函数单调性的定义判断单调性，结合函数性质分析等式是否成立，从而对每个选项逐一判断.
12．（2025高一上·吉林期中）已知幂函数的图像经过点，则 ．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：幂函数的图像经过点，
，解得
则
故答案为：4.
【分析】先利用幂函数过已知点的条件，求出幂指数，再代入计算f(2)。
13．（2025高一上·吉林期中）已知集合，则满足 的集合的个数为 ．
【答案】7
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为.
所以集合的个数为：个.
故答案为：7
【分析】先确定集合，再分析的含义：需包含的所有元素，且是的真子集，进而计算的个数。
14．（2025高一上·吉林期中）已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是 .
【答案】
【知识点】二次函数的图象
【解析】【解答】如图是函数的图象（图中隐去了轴），
为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.
故答案为：.
【分析】由已知可得为与轴交点的横坐标，为与交点的横坐标，画出函数图象，再利用数形结合可得 的大小关系 .
15．（2025高一上·吉林期中）已知全集，集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求m的取值范围.
【答案】（1）解：，解得：，
即，
当时，，所以，
或，或
（2）解：由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是.
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）集合运算：先解绝对值不等式确定集合，代入的值确定集合，再通过交集、补集、并集的定义计算。
（2）子集关系：由转化为，分“空集”和“非空集”两种情况，结合集合的端点范围列不等式求解。
（1），解得：，
即，
当时，，所以，
或，或；
（2）由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是.
16．（2025高一上·吉林期中）已知是幂函数.
（1）用定义法证明：在上是减函数；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：因为函数是幂函数，所以，解得，
所以函数，
任取且，则
，因为且，所以，
所以即，所以函数在上是减函数.
（2）解： 因为在上是减函数，所以则有：
，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义（形如，系数为）求出参数，得到的具体表达式，再利用函数单调性的定义（任取，证明）进行证明.
（2）结合函数的定义域（保证和在定义域内）以及单调性的性质（减函数中，自变量大的函数值小），列出不等式组求解.
（1）证明：因为函数是幂函数，
所以，解得，
所以函数，
任取且，
则
因为且，
所以，
所以即，
所以函数在上是减函数.
（2）因为在上是减函数，
所以则有：
，
所以实数的取值范围为.
17．（2025高一上·吉林期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2．
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】（1）解：由题意可设，，由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，所以，
（2）解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，有，
则当，即万元时，的最大值为，所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元.
【知识点】幂函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据“成正比”的关系，设出和的函数形式，再结合图像过的定点，代入求出比例系数，从而确定函数关系式；
（2）通过设投资金额，建立年收益的函数模型，再利用二次函数的性质求其最大值，进而确定资金分配方案.
（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，
.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，
年收益为万元，
则，，
有，
则当，即万元时，的最大值为，
所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元．
18．（2025高一上·吉林期中）已知正数，满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解： 由（当且仅当时取等号），有，
可得（当且仅当时取等号），故的最大值为1.
（2）解： 由，有，又由（当且仅当时取等号），
有，有，有，可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为2.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）通过基本不等式对已知等式进行变形，得到关于的不等式，进而求出的最大值，再开方得到的最大值；
（2）将已知等式转化为关于和的关系式，再结合基本不等式，建立关于的不等式，最后求解该不等式得到的最大值.
（1）由（当且仅当时取等号），
有，
可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为1；
（2）由，有，
又由（当且仅当时取等号），
有，有，
有，可得（当且仅当时取等号），
故的最大值为2.
19．（2025高一上·吉林期中）已知函数.
（1）证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）证明：设，有，
，
①当时，有，，，，有，
可得，可得，故函数在区间上单调递减；
②当时，有，，，，有，
可得，可得，函数在区间上单调递增.
由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）解：由，可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，可得函数的减区间为，，增区间为，，
可得函数的图象的趋势大致如下：
由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点，只需，
解得或，
故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为；
（3）解： 由，有，可得，又由函数为偶函数，
故函数在区间上的值域等于在区间上的值域，令，可得或，
可得函数的图象与轴的交点分别为，，，
则①当时，，，函数在区间上的值域为；
②当时，，，函数在区间上的值域为；
③当时，，，函数在区间上的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）将函数写成分段形式，再利用单调性定义（任取区间内两点，判断的符号）分别证明.
（2）分析函数奇偶性，作出大致图象，将直线与函数图象的交点问题转化为方程解的个数问题，结合图象的单调性和极值，利用数形结合求参数范围；
（3）研究上的值域，再分、、三种情况，结合单调性求值域.
（1）证明：设，有，
，
①当时，有，，，，有，
可得，可得，
故函数在区间上单调递减；
②当时，有，，，，有，
可得，可得，函数在区间上单调递增.
由上知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）解：由，可得函数为偶函数，
又由函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可得函数的减区间为，，增区间为，，
可得函数的图象的趋势大致如下：
由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点，
只需，解得或，
故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为；
（3）由，有，可得，
又由函数为偶函数，故函数在区间上的值域等于在区间上的值域，
令，可得或，
可得函数的图象与轴的交点分别为，，，
则①当时，，，
函数在区间上的值域为；
②当时，，，
函数在区间上的值域为；
③当时，，，
函数在区间上的值域为.
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