浙江省嘉兴市八校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2025高一上·嘉兴期中）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·嘉兴期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（ ）
A．7 B． C． D．
3．（2025高一上·嘉兴期中）设x， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一上·嘉兴期中）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．2 B．8 C． D．16
5．（2025高一上·嘉兴期中）已知，则实数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·嘉兴期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·嘉兴期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·嘉兴期中）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
10．（2025高一上·嘉兴期中）设集合，若，则实数可以是（ ）
A．0 B．3 C． D．2
11．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数 为定义在 上的奇函数，对，都有，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
12．（2025高一上·嘉兴期中）函数，则 ．
13．（2025高一上·嘉兴期中）计算： ．
14．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数，若，则的取值范围是 ．
15．（2025高一上·嘉兴期中）设全集为，或，，．
（1）求，；
（2）若，求的取值范围．
16．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域；
（2）求在区间上的最小值的表达式.
17．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）用定义证明函数在区间上单调递增.
18．（2025高一上·嘉兴期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）.
（1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
19．（2025高一上·嘉兴期中）函数对一切实数，均有成立，且 ．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：B
【分析】集合的交集是指“同时属于两个集合的所有元素组成的集合”，找出集合和中的公共元素，再将这些公共元素组成新的集合，即为.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：和3是一元二次方程的两个实根，
，解得，．
故答案为：C．
【分析】对一元二次方程（），韦达定理（根与系数的关系）指出：两根之和等于，两根之积等于.通过韦达定理，结合方程的根求出和的值，再计算.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 可以得出 ，但 得不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
4．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，
因为函数的图象过点，所以，解得，函数，
则.
故答案为：A.
【分析】设幂函数，将点坐标代入求得函数的解析式，再求值即可.
5．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对数函数单调递增，则，
指数函数单调递增，则，
指数函数单调递减，则，即，故.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断实数的大小关系即可 .
6．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
该函数为奇函数，故A错误；
当时，，故D错误；
当时，，且，当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确.
故答案为：B.
【分析】通过分区间去绝对值化简函数，再结合定义域、函数符号、单调性分析图象特征.
7．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，且为增函数，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以当或时，；
当或时，，所以当或时，，
则不等式的解集为．
故答案为：B．
【分析】由题意可得在上单调递增，根据函数为奇函数，可得在上单调递增，由，可得，由此可求出和的解集，即可得不等式的解集．
9．【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对A，“”“”，充分性满足，而当时，可得或，
故必要性不满足，故“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对B，命题“若，则”的否定是“存在，使得，故B错误；
对C，当“且”成立，则“”成立，充分性满足，但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，必要性不满足，则“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对D，由且，故“”是“”的必要不充分条件，故 D正确．
故答案为：AD.
【分析】逐一分析每个选项，结合充分/必要条件的定义、命题的否定规则来判断正确性.
10．【答案】A,C,D
【知识点】集合间关系的判断；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由方程，解得或，即，
因为，可得，对于方程，
当时，此时集合，满足，符合题意；
当时，可得，若，可得或，解得或，
所以实数的可能取值为.
故答案为：ACD.
【分析】先化简集合（解一元二次方程），再根据等价于的关系，分情况讨论集合的可能形式（空集、单元素集），进而确定实数的取值.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数 为定义在 上的奇函数，所以，
在中，令，
则，故A正确；
对于B：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，
则函数的周期为，故B正确；
对于C：因为奇函数的周期为，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
则该函数的一条对称轴为，
因为 在区间上单调递增，
所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据奇函数的性质结合已知等式，从而求出函数的值，则判断出选项A；利用周期函数的定义判断出选项B；再根据函数的奇偶性和周期性，则判断出选项C；再利用函数的对称性和单调函数的定义，从而判断出函数 在区间上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，.
故答案为：.
【分析】分段函数的求值关键是先判断自变量所在的区间，再选择对应区间的函数解析式代入计算.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，，
，．
故答案为：．
【分析】需结合指数幂的运算性质和对数的运算性质，化简计算.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分段函数需分区间讨论，结合二次函数的最值和对数函数的单调性分析
15．【答案】（1）解：集合或，，则；
易知，则；
（2）解：若，则，即的范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的交，并，补集的定义求解即可.
（2）根据集合的包含关系求解即可.
（1）由于或，，
故，，
，
（2）∵，∴
16．【答案】（1）解： 当时，，其对称轴，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增；
所以，；函数在区间上的值域为.
（2）解： 由题意，函数，则二次函数的对称轴为，
若时，，在区间上单调递增，当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，当时，的最小值为；
所以.
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对于二次函数在闭区间上的值域，先确定对称轴位置，分析函数在区间内的单调性，再求区间端点和顶点处的函数值，进而得到值域；
(2) 求二次函数在区间上的最小值，需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别分析单调性后求最小值；
（1）当时，，其对称轴，开口向上，
则在上单调递减，在上单调递增；
所以，；
函数在区间上的值域为，
（2）由题意，函数，则二次函数的对称轴为，
若时，，在区间上单调递增，
当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，
当时，的最小值为；
所以；
17．【答案】（1）解：∵函数的图象经过两点，∴，解得；
（2）解：函数是奇函数.证明如下：由（1）知，，函数的定义域为.
∵，∴函数是奇函数.
（3）证明：任取，则，∵，∴，
∴，即，∴在区间上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1) 用“函数图象过点则点的坐标满足函数解析式”，代入两点坐标列方程组，解方程组求；
(2) 判断函数奇偶性需先确定定义域是否关于原点对称，再验证与的关系；
(3) 用单调性定义证明：任取区间内两个自变量，作差变形后判断差的符号，从而确定单调性。
（1）∵函数的图象经过两点，
∴，解得；
（2）函数是奇函数.证明如下：
由（1）知，，函数的定义域为.
∵，
∴函数是奇函数.
（3）任取，则，
∵，∴，
∴，即，
∴在区间上单调递增.
18．【答案】（1）解： 由题设，由图知，故，故.
又，，所以，，
所以，故，故，
故．
（2）解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，
所以当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
【知识点】幂函数模型；二次函数模型
【解析】【分析】(1) 对于A产品，利用“利润与投资额成正比”设正比例函数，代入图中数据求系数；对于B产品，设幂函数形式，代入图中两点坐标列方程求参数，得到利润函数；
(2) 设A产品的投资额，用总资金表示B产品的投资额，建立总利润的函数模型，通过换元法将函数转化为二次函数，求其最大值.
（1）由题设，由图知，故，故.
又，，所以，，
所以，故，故，故．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
所以当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
19．【答案】解：（1）因为，
取，得，
又∵∴
（2）因为，
令，
由（1）知∴
即.
（3）∵， ∴在上单调递增，
∴，要使任意，都有成立，
当 ，显然不成立.
当
∴
综上所述，实数的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1) 利用抽象函数的赋值法，通过代入特定的值（结合已知），求解；
(2) 继续用赋值法（令），结合的结果推导函数解析式；
(3) 先求在的最大值，再将不等式转化为“最大值小于在的最小值”，结合对数函数的单调性分类讨论的范围.
1 / 1浙江省嘉兴市八校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2025高一上·嘉兴期中）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：B
【分析】集合的交集是指“同时属于两个集合的所有元素组成的集合”，找出集合和中的公共元素，再将这些公共元素组成新的集合，即为.
2．（2025高一上·嘉兴期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：和3是一元二次方程的两个实根，
，解得，．
故答案为：C．
【分析】对一元二次方程（），韦达定理（根与系数的关系）指出：两根之和等于，两根之积等于.通过韦达定理，结合方程的根求出和的值，再计算.
3．（2025高一上·嘉兴期中）设x， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若 可以得出 ，但 得不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
4．（2025高一上·嘉兴期中）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．2 B．8 C． D．16
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数，
因为函数的图象过点，所以，解得，函数，
则.
故答案为：A.
【分析】设幂函数，将点坐标代入求得函数的解析式，再求值即可.
5．（2025高一上·嘉兴期中）已知，则实数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对数函数单调递增，则，
指数函数单调递增，则，
指数函数单调递减，则，即，故.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断实数的大小关系即可 .
6．（2025高一上·嘉兴期中）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
该函数为奇函数，故A错误；
当时，，故D错误；
当时，，且，当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确.
故答案为：B.
【分析】通过分区间去绝对值化简函数，再结合定义域、函数符号、单调性分析图象特征.
7．（2025高一上·嘉兴期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，且为增函数，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性.
8．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以当或时，；
当或时，，所以当或时，，
则不等式的解集为．
故答案为：B．
【分析】由题意可得在上单调递增，根据函数为奇函数，可得在上单调递增，由，可得，由此可求出和的解集，即可得不等式的解集．
9．（2025高一上·嘉兴期中）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对A，“”“”，充分性满足，而当时，可得或，
故必要性不满足，故“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对B，命题“若，则”的否定是“存在，使得，故B错误；
对C，当“且”成立，则“”成立，充分性满足，但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，必要性不满足，则“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对D，由且，故“”是“”的必要不充分条件，故 D正确．
故答案为：AD.
【分析】逐一分析每个选项，结合充分/必要条件的定义、命题的否定规则来判断正确性.
10．（2025高一上·嘉兴期中）设集合，若，则实数可以是（ ）
A．0 B．3 C． D．2
【答案】A,C,D
【知识点】集合间关系的判断；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由方程，解得或，即，
因为，可得，对于方程，
当时，此时集合，满足，符合题意；
当时，可得，若，可得或，解得或，
所以实数的可能取值为.
故答案为：ACD.
【分析】先化简集合（解一元二次方程），再根据等价于的关系，分情况讨论集合的可能形式（空集、单元素集），进而确定实数的取值.
11．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数 为定义在 上的奇函数，对，都有，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为 4
C． D． 在区间上单调递增
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数 为定义在 上的奇函数，所以，
在中，令，
则，故A正确；
对于B：因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，
则函数的周期为，故B正确；
对于C：因为奇函数的周期为，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
则该函数的一条对称轴为，
因为 在区间上单调递增，
所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据奇函数的性质结合已知等式，从而求出函数的值，则判断出选项A；利用周期函数的定义判断出选项B；再根据函数的奇偶性和周期性，则判断出选项C；再利用函数的对称性和单调函数的定义，从而判断出函数 在区间上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高一上·嘉兴期中）函数，则 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，.
故答案为：.
【分析】分段函数的求值关键是先判断自变量所在的区间，再选择对应区间的函数解析式代入计算.
13．（2025高一上·嘉兴期中）计算： ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，，
，．
故答案为：．
【分析】需结合指数幂的运算性质和对数的运算性质，化简计算.
14．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分段函数需分区间讨论，结合二次函数的最值和对数函数的单调性分析
15．（2025高一上·嘉兴期中）设全集为，或，，．
（1）求，；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：集合或，，则；
易知，则；
（2）解：若，则，即的范围为.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的交，并，补集的定义求解即可.
（2）根据集合的包含关系求解即可.
（1）由于或，，
故，，
，
（2）∵，∴
16．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域；
（2）求在区间上的最小值的表达式.
【答案】（1）解： 当时，，其对称轴，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增；
所以，；函数在区间上的值域为.
（2）解： 由题意，函数，则二次函数的对称轴为，
若时，，在区间上单调递增，当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，当时，的最小值为；
所以.
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对于二次函数在闭区间上的值域，先确定对称轴位置，分析函数在区间内的单调性，再求区间端点和顶点处的函数值，进而得到值域；
(2) 求二次函数在区间上的最小值，需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别分析单调性后求最小值；
（1）当时，，其对称轴，开口向上，
则在上单调递减，在上单调递增；
所以，；
函数在区间上的值域为，
（2）由题意，函数，则二次函数的对称轴为，
若时，，在区间上单调递增，
当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为；
若时，，在区间上单调递减，
当时，的最小值为；
所以；
17．（2025高一上·嘉兴期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）用定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】（1）解：∵函数的图象经过两点，∴，解得；
（2）解：函数是奇函数.证明如下：由（1）知，，函数的定义域为.
∵，∴函数是奇函数.
（3）证明：任取，则，∵，∴，
∴，即，∴在区间上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】(1) 用“函数图象过点则点的坐标满足函数解析式”，代入两点坐标列方程组，解方程组求；
(2) 判断函数奇偶性需先确定定义域是否关于原点对称，再验证与的关系；
(3) 用单调性定义证明：任取区间内两个自变量，作差变形后判断差的符号，从而确定单调性。
（1）∵函数的图象经过两点，
∴，解得；
（2）函数是奇函数.证明如下：
由（1）知，，函数的定义域为.
∵，
∴函数是奇函数.
（3）任取，则，
∵，∴，
∴，即，
∴在区间上单调递增.
18．（2025高一上·嘉兴期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）.
（1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解： 由题设，由图知，故，故.
又，，所以，，
所以，故，故，
故．
（2）解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，
所以当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
【知识点】幂函数模型；二次函数模型
【解析】【分析】(1) 对于A产品，利用“利润与投资额成正比”设正比例函数，代入图中数据求系数；对于B产品，设幂函数形式，代入图中两点坐标列方程求参数，得到利润函数；
(2) 设A产品的投资额，用总资金表示B产品的投资额，建立总利润的函数模型，通过换元法将函数转化为二次函数，求其最大值.
（1）由题设，由图知，故，故.
又，，所以，，
所以，故，故，故．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
所以当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
19．（2025高一上·嘉兴期中）函数对一切实数，均有成立，且 ．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为，
取，得，
又∵∴
（2）因为，
令，
由（1）知∴
即.
（3）∵， ∴在上单调递增，
∴，要使任意，都有成立，
当 ，显然不成立.
当
∴
综上所述，实数的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1) 利用抽象函数的赋值法，通过代入特定的值（结合已知），求解；
(2) 继续用赋值法（令），结合的结果推导函数解析式；
(3) 先求在的最大值，再将不等式转化为“最大值小于在的最小值”，结合对数函数的单调性分类讨论的范围.
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