四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高一上学期第一次阶段性考试数学试卷
1．（2025高一上·成都期中）命题.“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一上·成都期中）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·成都期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·成都期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·成都期中）已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·成都期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025高一上·成都期中）设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·成都期中）定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2025高一上·成都期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2025高一上·成都期中）对于任意的实数，，，，下列命题错误的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
11．（2025高一上·成都期中）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．方程有2个解
12．（2025高一上·成都期中）若实数满足，则的取值范围是 .
13．（2025高一上·成都期中）设函数，则
14．（2025高一上·成都期中）已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
15．（2025高一上·成都期中）已知集合．
（1）求和，
（2）若，求实数a的取值范围．
16．（2025高一上·成都期中）已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集（用表示）.
17．（2025高一上·成都期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为4米，长为3米，设米.
（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内；
（2）要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省，求出用料的最小值.
18．（2025高一上·成都期中）求最值：
（1）已知，，且满足，求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，，且满足，求的最小值.
19．（2025高一上·成都期中）已知函数，．
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若，时，求在上的值域；
（3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”.
故答案为：B
【分析】特称命题的否定规则是：将存在量词“”改为全称量词“”，同时否定结论。
2．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，，
且，.
故答案为：C.
【分析】明确元素与集合、集合与集合的关系符号：元素与集合用“/”，集合与集合用“/”，结合集合的定义判断。
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
则函数为奇函数，排除BD；由，，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除BD；根据特殊点函数值排除C.
4．【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，，
所以所求值域为.
故答案为：C
【分析】先确定二次函数的开口方向与顶点坐标，再计算区间端点的函数值，结合单调性确定值域。
5．【答案】A
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立综上：，，
故答案为：A
【分析】根据集合相等的定义，即两个集合的元素完全相同，分情况讨论集合中元素的对应关系，同时结合集合元素的互异性进行验证，进而求解.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设，则，所以，
所以，即，充分性成立；取，此时满足，
但，，必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：B
【分析】通过定义新的取整函数（向下取整的变形），结合充分条件、必要条件的定义，分析两个条件之间的逻辑推导关系.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图：
可知函数在R上为单调递增函数，
故由可得，即，
解得或，
即实数a的取值范围是，
故答案为：A
【分析】先判断函数f(x)的单调性，再利用单调性将函数不等式转化为自变量的不等式求解。
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得，
令，即，解得或，
所以
又，
要使函数在区间的值域为，
当时，，当时，，
则当时的长度取得最大值2.
故答案为：D.
【分析】先通过比较与的大小确定的分段解析式，再结合的取值范围，找出区间的最大长度。
9．【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】依据函数的三要素：定义域、对应关系、值域（值域由定义域和对应关系决定，故只需判断定义域和对应关系是否完全一致）.
10．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A：若，，则，．
所以，所以，故A错误；
对B：时满足，但，故B错误；
对C：当时，，所以，即，故C正确；
对D：取，则，故D错误．
故答案为：ABD．
【分析】通过作差法、特殊值法和不等式性质，对每个选项的不等式命题进行真假判断，分析不等式变形的逻辑合理性与反例的有效性.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，分别为偶函数，奇函数，的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确；
不妨取，则，，但，，，故B错误；
设，由图象知，因为在上单调递增，所以，又因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，故C正确；
由图象知，有两个互为相反数的零点，不妨设为，则由可得或，由图象可知，和分别有且只有一个解，故方程有2个解，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】结合函数图象的奇偶性、单调性以及复合函数的性质，对每个选项进行分析.判断和的奇偶性、单调性，再结合复合函数、函数乘积的性质逐一推导.
12．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，故，
即.
故答案为：
【分析】分别确定-2x的范围，再结合y的范围，通过 “同向不等式相加” 求出y - 2x的取值范围。
13．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：
【分析】涉及分段函数的嵌套求值，用“时，”的递推关系，将逐步转化为时的函数值进行计算.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的对称轴方程为，
所以时，，
即函数的值域为.
因为在上是增函数，
所以当时，，即函数值域为.
因为，，使得成立，
所以，即，解得.
故答案为：
【分析】要分别求出两个函数的值域，再根据“，使得成立”的条件，转化为两个值域的包含关系，进而求解参数的取值范围.
15．【答案】（1）解：，
则，，
，.
（2）解：，且，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）集合运算：先求并集、补集，再通过交集定义计算，利用数轴辅助确定范围。
（2）子集关系：由转化为，结合集合的端点条件列不等式求解。
（1），
则，，
，.
（2），且，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以，解得；
（2）解：由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）求a、b：利用 “不等式解集的端点是对应方程的根”，结合韦达定理列方程求解。
（2）解含参不等式：先因式分解找到根，再根据参数c的范围比较根的大小，分情况写出解集。
（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以，解得；
（2）由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：由，可得，则，则，花坛AMPN面积等于，
由题意，可得，即，解得或，
所以AN的长应在范围内.
（2）解：根据题意，可得扩建部分面积，
令，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省为36平方米．
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式
【解析】【分析】（1）用平行线分线段成比例定理求出矩形边长的表达式，进而得到面积函数，通过解不等式确定的范围.
（2）将扩建部分面积表示为函数，通过换元法和基本不等式求最值.
（1）由，可得，则，则，
花坛AMPN面积等于，
由题意，可得，即，
解得或，所以AN的长应在范围内.
（2）根据题意，可得扩建部分面积，
令，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省为36平方米．
18．【答案】（1）解：因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）解：因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）解：由，可得，
故，
设，则，，
则，
当且仅当，即，亦即时，等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）用基本不等式（），将转化为“积定”形式求解；
（2）通过变形构造“和定”形式，再利用基本不等式的变形式求解最大值；
（3）通过因式分解和换元法，将复杂等式转化为可应用基本不等式的形式求解.
（1）因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）由，可得，
故，
设，则，，
则，
当且仅当，即，亦即时，等号成立，
所以的最小值为.
19．【答案】（1）解：要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足，
由此可得：，解得.
所以实数的取值范围是.
（2）解：已知，时，.
当时，，由于函数开口向上且关于对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为；
由此可得：函数在上的值域为.
当时，，由于函数开口向上且关于轴对称，易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为.由此可得：函数在上的值域为.
综上可得：函数在上的值域为.
（3）解： 已知，，则，
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的值域为.
综上可得：当时，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
综上所述可得：，
当时，的最小值为
当时，的最小值为
当时，的最小值为.
综上可得的最小值为.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）用二次函数的图象性质（开口方向、判别式）解决恒成立问题；
（2）通过分段讨论去掉绝对值符号，转化为二次函数在区间上的值域问题.
（3）化简函数表达式，再按绝对值分段转化为二次函数，通过分类讨论对称轴与分段点的位置关系求最小值函数，最后求的最小值.
（1）要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足，
由此可得：，解得.
所以实数的取值范围是.
（2）已知，时，.
当时，，由于函数开口向上且关于对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为；
由此可得：函数在上的值域为.
当时，，由于函数开口向上且关于轴对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为.
由此可得：函数在上的值域为.
综上可得：函数在上的值域为.
（3）已知，，则，
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的值域为.
综上可得：当时，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
综上所述可得：，
当时，的最小值为
当时，的最小值为
当时，的最小值为.
综上可得的最小值为.
1 / 1四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高一上学期第一次阶段性考试数学试卷
1．（2025高一上·成都期中）命题.“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”.
故答案为：B
【分析】特称命题的否定规则是：将存在量词“”改为全称量词“”，同时否定结论。
2．（2025高一上·成都期中）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，，
且，.
故答案为：C.
【分析】明确元素与集合、集合与集合的关系符号：元素与集合用“/”，集合与集合用“/”，结合集合的定义判断。
3．（2025高一上·成都期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
则函数为奇函数，排除BD；由，，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除BD；根据特殊点函数值排除C.
4．（2025高一上·成都期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，，
所以所求值域为.
故答案为：C
【分析】先确定二次函数的开口方向与顶点坐标，再计算区间端点的函数值，结合单调性确定值域。
5．（2025高一上·成都期中）已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立综上：，，
故答案为：A
【分析】根据集合相等的定义，即两个集合的元素完全相同，分情况讨论集合中元素的对应关系，同时结合集合元素的互异性进行验证，进而求解.
6．（2025高一上·成都期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设，则，所以，
所以，即，充分性成立；取，此时满足，
但，，必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：B
【分析】通过定义新的取整函数（向下取整的变形），结合充分条件、必要条件的定义，分析两个条件之间的逻辑推导关系.
7．（2025高一上·成都期中）设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图：
可知函数在R上为单调递增函数，
故由可得，即，
解得或，
即实数a的取值范围是，
故答案为：A
【分析】先判断函数f(x)的单调性，再利用单调性将函数不等式转化为自变量的不等式求解。
8．（2025高一上·成都期中）定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得，
令，即，解得或，
所以
又，
要使函数在区间的值域为，
当时，，当时，，
则当时的长度取得最大值2.
故答案为：D.
【分析】先通过比较与的大小确定的分段解析式，再结合的取值范围，找出区间的最大长度。
9．（2025高一上·成都期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】依据函数的三要素：定义域、对应关系、值域（值域由定义域和对应关系决定，故只需判断定义域和对应关系是否完全一致）.
10．（2025高一上·成都期中）对于任意的实数，，，，下列命题错误的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对A：若，，则，．
所以，所以，故A错误；
对B：时满足，但，故B错误；
对C：当时，，所以，即，故C正确；
对D：取，则，故D错误．
故答案为：ABD．
【分析】通过作差法、特殊值法和不等式性质，对每个选项的不等式命题进行真假判断，分析不等式变形的逻辑合理性与反例的有效性.
11．（2025高一上·成都期中）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．方程有2个解
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，分别为偶函数，奇函数，的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确；
不妨取，则，，但，，，故B错误；
设，由图象知，因为在上单调递增，所以，又因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，故C正确；
由图象知，有两个互为相反数的零点，不妨设为，则由可得或，由图象可知，和分别有且只有一个解，故方程有2个解，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】结合函数图象的奇偶性、单调性以及复合函数的性质，对每个选项进行分析.判断和的奇偶性、单调性，再结合复合函数、函数乘积的性质逐一推导.
12．（2025高一上·成都期中）若实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，故，
即.
故答案为：
【分析】分别确定-2x的范围，再结合y的范围，通过 “同向不等式相加” 求出y - 2x的取值范围。
13．（2025高一上·成都期中）设函数，则
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：
【分析】涉及分段函数的嵌套求值，用“时，”的递推关系，将逐步转化为时的函数值进行计算.
14．（2025高一上·成都期中）已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的对称轴方程为，
所以时，，
即函数的值域为.
因为在上是增函数，
所以当时，，即函数值域为.
因为，，使得成立，
所以，即，解得.
故答案为：
【分析】要分别求出两个函数的值域，再根据“，使得成立”的条件，转化为两个值域的包含关系，进而求解参数的取值范围.
15．（2025高一上·成都期中）已知集合．
（1）求和，
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，
则，，
，.
（2）解：，且，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）集合运算：先求并集、补集，再通过交集定义计算，利用数轴辅助确定范围。
（2）子集关系：由转化为，结合集合的端点条件列不等式求解。
（1），
则，，
，.
（2），且，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
16．（2025高一上·成都期中）已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集（用表示）.
【答案】（1）解：因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以，解得；
（2）解：由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）求a、b：利用 “不等式解集的端点是对应方程的根”，结合韦达定理列方程求解。
（2）解含参不等式：先因式分解找到根，再根据参数c的范围比较根的大小，分情况写出解集。
（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以，解得；
（2）由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
17．（2025高一上·成都期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为4米，长为3米，设米.
（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内；
（2）要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省，求出用料的最小值.
【答案】（1）解：由，可得，则，则，花坛AMPN面积等于，
由题意，可得，即，解得或，
所以AN的长应在范围内.
（2）解：根据题意，可得扩建部分面积，
令，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省为36平方米．
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式
【解析】【分析】（1）用平行线分线段成比例定理求出矩形边长的表达式，进而得到面积函数，通过解不等式确定的范围.
（2）将扩建部分面积表示为函数，通过换元法和基本不等式求最值.
（1）由，可得，则，则，
花坛AMPN面积等于，
由题意，可得，即，
解得或，所以AN的长应在范围内.
（2）根据题意，可得扩建部分面积，
令，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省为36平方米．
18．（2025高一上·成都期中）求最值：
（1）已知，，且满足，求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，，且满足，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）解：因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）解：由，可得，
故，
设，则，，
则，
当且仅当，即，亦即时，等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）用基本不等式（），将转化为“积定”形式求解；
（2）通过变形构造“和定”形式，再利用基本不等式的变形式求解最大值；
（3）通过因式分解和换元法，将复杂等式转化为可应用基本不等式的形式求解.
（1）因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）由，可得，
故，
设，则，，
则，
当且仅当，即，亦即时，等号成立，
所以的最小值为.
19．（2025高一上·成都期中）已知函数，．
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若，时，求在上的值域；
（3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值．
【答案】（1）解：要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足，
由此可得：，解得.
所以实数的取值范围是.
（2）解：已知，时，.
当时，，由于函数开口向上且关于对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为；
由此可得：函数在上的值域为.
当时，，由于函数开口向上且关于轴对称，易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为.由此可得：函数在上的值域为.
综上可得：函数在上的值域为.
（3）解： 已知，，则，
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的值域为.
综上可得：当时，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
综上所述可得：，
当时，的最小值为
当时，的最小值为
当时，的最小值为.
综上可得的最小值为.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）用二次函数的图象性质（开口方向、判别式）解决恒成立问题；
（2）通过分段讨论去掉绝对值符号，转化为二次函数在区间上的值域问题.
（3）化简函数表达式，再按绝对值分段转化为二次函数，通过分类讨论对称轴与分段点的位置关系求最小值函数，最后求的最小值.
（1）要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足，
由此可得：，解得.
所以实数的取值范围是.
（2）已知，时，.
当时，，由于函数开口向上且关于对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为；
由此可得：函数在上的值域为.
当时，，由于函数开口向上且关于轴对称，
易知当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为.
由此可得：函数在上的值域为.
综上可得：函数在上的值域为.
（3）已知，，则，
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的值域为.
综上可得：当时，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
若，当时，，
由于在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值，最小值为；
当时，，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
因此在处取得最小值，最小值为；
又，故.
综上可得：当，的最小值为，即.
综上所述可得：，
当时，的最小值为
当时，的最小值为
当时，的最小值为.
综上可得的最小值为.
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