四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高二上学期半期质量监测数学试题
1．（2025高二上·双流期中）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
直线的斜率为，则，即.
故答案为：.
【分析】设直线的倾斜角为，易知直线的斜率为，根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
2．（2025高二上·双流期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量线性运算求解即可.
3．（2025高二上·双流期中）圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，所以两圆的位置关系是外切.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知两圆的圆心和半经，根据两点间距离公式求圆心距，圆心距与两圆半径比较即可判断两圆的位置关系.
4．（2025高二上·双流期中）已知直线和直线平行，则（ ）
A．0或 B．0 C． D．1
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 直线和直线 ，
当时，直线与平行，
当时，，解得，
综上：或.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解即可.
5．（2025高二上·双流期中）过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆的方程为，
由题意可得，即，解得，
则圆的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法秋季即可.
6．（2025高二上·双流期中）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，
则向量在向量上的投影向量为.
故选答案为：A.
【分析】由题意，根据向量投影公式求解即可.
7．（2025高二上·双流期中）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
又因为为直三棱柱，所以平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
设直线与所成的角为，则，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再由为直三棱柱，可得平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
8．（2025高二上·双流期中）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线过圆心，所以，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】根据圆的一般方程求圆心坐标，由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入求得，再利用基本不等式求解即可.
9．（2025高二上·双流期中）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图所示：
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据向量的加法和减法，结合正方体的特征逐项化简判断即可.
10．（2025高二上·双流期中）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线被圆截得的最小弦长为
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
【答案】A,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：A、直线的方程变形为，
令，解得，则直线恒过定点，故A正确；
B、易知圆的圆心为，半径为，
当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；
C、由A选项可知：直线过定点，因为，所以点在圆内，
则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
圆心到直线的距离为，则最小弦长为，故C正确；
D、圆的标准方程为，
其圆心为，半径为，且，
若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
即，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将直线方程变形为，令，求出直线经过的定点即可判断A；求圆心和半径，利用点到直线的距离公式进行计算即可判断B；由A选项可知：直线过定点，判断点在圆内，根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算即可判断C；求圆心和半经，利用圆心距与两圆半径之间的关系计算即可判断D.
11．（2025高二上·双流期中）如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若，则四面体的体积为定值
D．平面截正方体的截面面积为
【答案】B,C,D
【知识点】共线（平行）向量；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图1所示：
假设平面，因平面则①；
因为四边形为正方形，可得，
又因为平面，平面，则，
又因为，、平面，故平面，
因平面，故②，
又因为，、平面，所以由①②可得平面，
显然该结论不成立，故错误；
B，分别取、中点、，连接、、，如图2所示：
因为，，、分别为、的中点，所以，，
则四边形为平行四边形，，，
又因为，，所以，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面③，
因为、分别为、的中点，所以，
因为，，故四边形为平行四边形，则，故，
因为平面，平面，所以平面④，
因为，、平面，
由③④可得平面平面，
而平面，则点在平面内，而点又在平面内，
故点的轨迹为线段，
其长度为，故B正确；
C、，，，
因为，，即，
所以，
即，即，故、、三点共线，
所以点在上，而，且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，故正确；
D、取的中点，连接、，如图3所示：
因为、分别为、的中点，故，
又因为，故，
且，
由勾股定理可得，
，
所以，
因为，故，
故，
因为，故，
所以，
因此，平面截正方体的截面面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用反证法，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾即可判断A；分别取、中点、，连接、、，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度即可判断B；由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值即可判断C；取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积即可判断D.
12．（2025高二上·双流期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为.
故答案为：.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性求解即可.
13．（2025高二上·双流期中）直线关于直线对称的直线的方程为 ．（用一般式表示）
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：易知直线与直线平行，
且两直线间的距离，
设所求直线为，则，解得或（舍），
则所求直线为.
故答案为：.
【分析】易知直线与直线平行，利用平行线间的距离公式求其距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数即可.
14．（2025高二上·双流期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设点，
由题意可得：切点在以为直径的圆上，圆心，半径，
则以为直径的圆的方程是，整理得，
两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点，
点到直线的距离，
则点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设点，由题意可得：切点在以为直径的圆上，写出圆方程，两圆方程作差即可求的过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值即可.
15．（2025高二上·双流期中）（1）直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，求直线的方程，并化成一般式；
（2）已知直线经过，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率与倾斜角的取值范围．
【答案】解：（1）联立，解得，即两直线的交点为，
因为直线与直线垂直，所以设直线，
又因为点在直线上，所以，解得，
则直线；
（2）易知，，如图所示：
要使直线与连接，两点的线段总有公共点，则，
因为且，所以.
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）联立两直线方程求交点坐标，根据直线的垂直关系，设直线，再由交点在直线上，将交点坐标代入直线求参数值，即可得方程；
（2）利用斜率公式求，作出图形，数形结合确定动直线的斜率范围，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角范围即可.
16．（2025高二上·双流期中）如图，在正方体中．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，，，，
，，，
因为，，所以，，
即，，又因为，，所以平面；
（2）解：因为，所以，
由（1）可知，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，故与平面所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直即可；
（2）由（1）可知，平面的法向量为，利用空间向量法求线面角正弦值，再根据同角三角函数基本关系求与平面所成角的余弦值即可.
（1）因为，所以可以以为原点建立空间直角坐标系，如图：
不妨设，则，，，，.
所以，，.
因为，，
所以，，
即，，又，，
所以平面.
（2）因为，所以.
由（1）可知，为平面的法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以.
17．（2025高二上·双流期中）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：当时，直线AB的斜率为，
因为点，所以直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为圆的半径为，所以的长为；
（2）解：存在，理由如下：
由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分，
因为，所以，
则直线的方程为，即.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）当时，求得直线的斜率，利用点斜式写直线的方程，再根据点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用弦长公式计算即可；
（2） 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 再根据垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求直线方程即可.
（1）当时，，
因，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因半径为，则的长为；
（2）存在，理由如下：
由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分，
因，则，
则直线的方程为，即.
18．（2025高二上·双流期中）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记
（1）求证：平面；
（2）求的长，并求其最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为四边形，均为正方形，所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，即直线两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方形，的边长为1，所以，，
因为，所以，，
所以，，
因为，所以，
又因为为平面的法向量，平面，所以平面；
（2）解：由（1）得：，
因为，所以当时，取得最小值；
（3）解：由（2）可知：当的长最小时，，
易得，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，可得，
设平面的法向量为，
则，即，可得，
设平面与平面所成的角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，再由平面，推出直线两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）由（1）的坐标系，利用空间两点间的距离公式结合二次函数的最值的求法求的最小值即可；
（3）由（2）可知：当的长最小时，，利用空间向量法求两平面所成角的余弦值即可.
（1）由题意，因为四边形，均为正方形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面.因面，所以，即直线两两垂直，
故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
因为正方形，的边长为1，所以，.
因为，所以，.
所以，.
因为，所以.
又为平面的法向量，平面，所以平面.
（2）由（1）得：，
因，故当时，取得最小值.
（3）由（2），当的长最小时，.
此时，，，，.
，，.
设平面的法向量为，
则，可取，
设平面的法向量为，
则，可取.
设平面与平面所成的角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2025高二上·双流期中）已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：直线的斜率不为0，设直线，即，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
则直线的方程为；
（2）解：由题意得直线的斜率不为0，设，即，
由（1）知，，
，
令，则，所以，
又因为，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，
取得最大值为，此时，解得，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
，可得，
设，其中，
所以，，
设面的法向量为，
，可得，
设平面与平面的夹角为，
，解得，则；
（3）解：，设，，
由题意得直线的斜率不为0，设，所以，
可得，
由韦达定理可得：，，
，直线的方程为，①
，直线的方程为，②
联立方程①②可得，可得，
则点在定直线上.
【知识点】函数的最大（小）值；直线与圆的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意得：直线的斜率不为0，设直线，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式列式求解即可；
（2）由（1）知，，利用面积公式求解可得，当时，取得最大值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出点坐标即可；
（3）设，，联立直线与圆的方程，消元整理，利用韦达定理及斜率公式，求出两直线的方程，联立直线方程可得在定直线上.
（1）由题意得直线的斜率不为0，设，即，
圆心到直线的距离为，
又，即
所以，所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）由题意得直线的斜率不为0，设，即，
由（1）知，，
，
令，则，
所以，
又，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，取得最大值为，
此时，解得，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
，可得，
设，其中，
所以，，
设面的法向量为，
，可得，
设平面与平面的夹角为，
，
解得，所以.
（3），设，，
由题意得直线的斜率不为0，设，
所以，
可得，
所以，，
，直线的方程为，①
，直线的方程为，②
联立方程①②可得
，
可得，
所以点在定直线上.
1 / 1四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高二上学期半期质量监测数学试题
1．（2025高二上·双流期中）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2025高二上·双流期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高二上·双流期中）圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
4．（2025高二上·双流期中）已知直线和直线平行，则（ ）
A．0或 B．0 C． D．1
5．（2025高二上·双流期中）过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·双流期中）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·双流期中）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·双流期中）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（2025高二上·双流期中）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高二上·双流期中）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线被圆截得的最小弦长为
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
11．（2025高二上·双流期中）如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若，则四面体的体积为定值
D．平面截正方体的截面面积为
12．（2025高二上·双流期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
13．（2025高二上·双流期中）直线关于直线对称的直线的方程为 ．（用一般式表示）
14．（2025高二上·双流期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为
15．（2025高二上·双流期中）（1）直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，求直线的方程，并化成一般式；
（2）已知直线经过，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率与倾斜角的取值范围．
16．（2025高二上·双流期中）如图，在正方体中．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的余弦值．
17．（2025高二上·双流期中）如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．
18．（2025高二上·双流期中）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记
（1）求证：平面；
（2）求的长，并求其最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2025高二上·双流期中）已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
直线的斜率为，则，即.
故答案为：.
【分析】设直线的倾斜角为，易知直线的斜率为，根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
2．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量线性运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，所以两圆的位置关系是外切.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知两圆的圆心和半经，根据两点间距离公式求圆心距，圆心距与两圆半径比较即可判断两圆的位置关系.
4．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 直线和直线 ，
当时，直线与平行，
当时，，解得，
综上：或.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆的方程为，
由题意可得，即，解得，
则圆的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法秋季即可.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，
则向量在向量上的投影向量为.
故选答案为：A.
【分析】由题意，根据向量投影公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
又因为为直三棱柱，所以平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
设直线与所成的角为，则，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再由为直三棱柱，可得平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线过圆心，所以，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】根据圆的一般方程求圆心坐标，由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入求得，再利用基本不等式求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图所示：
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据向量的加法和减法，结合正方体的特征逐项化简判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：A、直线的方程变形为，
令，解得，则直线恒过定点，故A正确；
B、易知圆的圆心为，半径为，
当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；
C、由A选项可知：直线过定点，因为，所以点在圆内，
则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
圆心到直线的距离为，则最小弦长为，故C正确；
D、圆的标准方程为，
其圆心为，半径为，且，
若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
即，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将直线方程变形为，令，求出直线经过的定点即可判断A；求圆心和半径，利用点到直线的距离公式进行计算即可判断B；由A选项可知：直线过定点，判断点在圆内，根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算即可判断C；求圆心和半经，利用圆心距与两圆半径之间的关系计算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】共线（平行）向量；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图1所示：
假设平面，因平面则①；
因为四边形为正方形，可得，
又因为平面，平面，则，
又因为，、平面，故平面，
因平面，故②，
又因为，、平面，所以由①②可得平面，
显然该结论不成立，故错误；
B，分别取、中点、，连接、、，如图2所示：
因为，，、分别为、的中点，所以，，
则四边形为平行四边形，，，
又因为，，所以，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面③，
因为、分别为、的中点，所以，
因为，，故四边形为平行四边形，则，故，
因为平面，平面，所以平面④，
因为，、平面，
由③④可得平面平面，
而平面，则点在平面内，而点又在平面内，
故点的轨迹为线段，
其长度为，故B正确；
C、，，，
因为，，即，
所以，
即，即，故、、三点共线，
所以点在上，而，且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，故正确；
D、取的中点，连接、，如图3所示：
因为、分别为、的中点，故，
又因为，故，
且，
由勾股定理可得，
，
所以，
因为，故，
故，
因为，故，
所以，
因此，平面截正方体的截面面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用反证法，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾即可判断A；分别取、中点、，连接、、，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度即可判断B；由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值即可判断C；取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为.
故答案为：.
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性求解即可.
13．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：易知直线与直线平行，
且两直线间的距离，
设所求直线为，则，解得或（舍），
则所求直线为.
故答案为：.
【分析】易知直线与直线平行，利用平行线间的距离公式求其距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数即可.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设点，
由题意可得：切点在以为直径的圆上，圆心，半径，
则以为直径的圆的方程是，整理得，
两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点，
点到直线的距离，
则点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设点，由题意可得：切点在以为直径的圆上，写出圆方程，两圆方程作差即可求的过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值即可.
15．【答案】解：（1）联立，解得，即两直线的交点为，
因为直线与直线垂直，所以设直线，
又因为点在直线上，所以，解得，
则直线；
（2）易知，，如图所示：
要使直线与连接，两点的线段总有公共点，则，
因为且，所以.
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）联立两直线方程求交点坐标，根据直线的垂直关系，设直线，再由交点在直线上，将交点坐标代入直线求参数值，即可得方程；
（2）利用斜率公式求，作出图形，数形结合确定动直线的斜率范围，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角范围即可.
16．【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，，，，
，，，
因为，，所以，，
即，，又因为，，所以平面；
（2）解：因为，所以，
由（1）可知，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，故与平面所成角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直即可；
（2）由（1）可知，平面的法向量为，利用空间向量法求线面角正弦值，再根据同角三角函数基本关系求与平面所成角的余弦值即可.
（1）因为，所以可以以为原点建立空间直角坐标系，如图：
不妨设，则，，，，.
所以，，.
因为，，
所以，，
即，，又，，
所以平面.
（2）因为，所以.
由（1）可知，为平面的法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以.
17．【答案】（1）解：当时，直线AB的斜率为，
因为点，所以直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为圆的半径为，所以的长为；
（2）解：存在，理由如下：
由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分，
因为，所以，
则直线的方程为，即.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）当时，求得直线的斜率，利用点斜式写直线的方程，再根据点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用弦长公式计算即可；
（2） 由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分， 再根据垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求直线方程即可.
（1）当时，，
因，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因半径为，则的长为；
（2）存在，理由如下：
由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分，
因，则，
则直线的方程为，即.
18．【答案】（1）证明：因为四边形，均为正方形，所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，即直线两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方形，的边长为1，所以，，
因为，所以，，
所以，，
因为，所以，
又因为为平面的法向量，平面，所以平面；
（2）解：由（1）得：，
因为，所以当时，取得最小值；
（3）解：由（2）可知：当的长最小时，，
易得，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，可得，
设平面的法向量为，
则，即，可得，
设平面与平面所成的角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，再由平面，推出直线两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）由（1）的坐标系，利用空间两点间的距离公式结合二次函数的最值的求法求的最小值即可；
（3）由（2）可知：当的长最小时，，利用空间向量法求两平面所成角的余弦值即可.
（1）由题意，因为四边形，均为正方形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面.因面，所以，即直线两两垂直，
故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
因为正方形，的边长为1，所以，.
因为，所以，.
所以，.
因为，所以.
又为平面的法向量，平面，所以平面.
（2）由（1）得：，
因，故当时，取得最小值.
（3）由（2），当的长最小时，.
此时，，，，.
，，.
设平面的法向量为，
则，可取，
设平面的法向量为，
则，可取.
设平面与平面所成的角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：由题意得：直线的斜率不为0，设直线，即，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
则直线的方程为；
（2）解：由题意得直线的斜率不为0，设，即，
由（1）知，，
，
令，则，所以，
又因为，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，
取得最大值为，此时，解得，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
，可得，
设，其中，
所以，，
设面的法向量为，
，可得，
设平面与平面的夹角为，
，解得，则；
（3）解：，设，，
由题意得直线的斜率不为0，设，所以，
可得，
由韦达定理可得：，，
，直线的方程为，①
，直线的方程为，②
联立方程①②可得，可得，
则点在定直线上.
【知识点】函数的最大（小）值；直线与圆的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意得：直线的斜率不为0，设直线，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式列式求解即可；
（2）由（1）知，，利用面积公式求解可得，当时，取得最大值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出点坐标即可；
（3）设，，联立直线与圆的方程，消元整理，利用韦达定理及斜率公式，求出两直线的方程，联立直线方程可得在定直线上.
（1）由题意得直线的斜率不为0，设，即，
圆心到直线的距离为，
又，即
所以，所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）由题意得直线的斜率不为0，设，即，
由（1）知，，
，
令，则，
所以，
又，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，取得最大值为，
此时，解得，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
，可得，
设，其中，
所以，，
设面的法向量为，
，可得，
设平面与平面的夹角为，
，
解得，所以.
（3），设，，
由题意得直线的斜率不为0，设，
所以，
可得，
所以，，
，直线的方程为，①
，直线的方程为，②
联立方程①②可得
，
可得，
所以点在定直线上.
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