2026年高考数学一轮复习专题课件：复数(共59张PPT)

(共59张PPT)
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　　复数
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复数的有关概念
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当_________时，z是实数；当_________时，z是虚数；当_____________时，z是纯虚数．
(2)若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，
则_________________ z1＝z2.
若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝0 ____________．
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
a1＝a2，b1＝b2
a＝b＝0
(3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝_________；
|z|＝_________，z对应复平面内的点_________；
|z1－z2|表示__________________ (Z1，Z2是复数z1，z2在复平面内对应的点)．
a－bi
Z(a，b)
Z1，Z2两点间的距离
(1)(a＋bi)±(c＋di)＝_________________．
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝__________________．
复数的运算
(a±c)＋(b±d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(4)①i4n＝_____，i4n＋1＝____，i4n＋2＝____，i4n＋3＝____．(n∈N)
②(1＋i)2＝____，(1－i)2＝____．
1
i
－1
－i
2i
－2i
i
－i
2
i
－i
(5)关于复数z的方程在复平面上表示的图形
①a≤|z|≤b(a≠b)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.
答案　(2)×　
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．
答案　(3)×　
(4)原点是实轴与虚轴的交点．
答案　(4)√　
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
答案　(5)√　
(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数在复平面内的对应点在第四象限．
答案　(6)×

2．(课本习题改编)设a为i－1的虚部，b为(1＋i)2的实部，则a＋b＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．－2
C．－3 D．0
√
＝－i，∴a＝－1.∵(1＋i)2＝2i，∴b＝0，∴a＋b＝－1，选A.
3．(2025·山西太原期末)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，－1)，则 －2i＝(　　)
A．－1－3i B．1－i
C．1－3i D．－1＋i
√
－2i＝(1－i)(－i)－
2i＝－1－3i.
4．(2024·全国甲卷，理)若z＝5＋i，则i( ＋z)＝(　　)
A．10i B．2i
C．10 D．2
√
解析　因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i( ＋z)＝i(5－i＋5＋i)＝10i.故选A.
√
题型一　 复数的概念
已知m∈R，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；
【答案】　(1)m＝－3　
【解析】　(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)z是纯虚数；
【答案】(2)m＝0或m＝2　
解得m＝0或m＝2.
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
【解析】　(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，则有


解得m<－3或1【答案】(3)m<－3或1状元笔记
关于复数的概念的易错点
复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为 做题时容易忽略b≠0，从而造成错误．
√
思考题1　(1)【多选题】已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的有(　　)
A．复数z的虚部为－5i
D．z在复平面内对应的点位于第三象限
√
【解析】　z＝(a－i)(3＋2i)＝3a＋2ai－3i－2i2＝3a＋2＋(2a－3)i，因为复数z的实部是－1，所以3a＋2＝－1，解得a＝－1，所以z＝－1
C正确；z在复平面内对应的点是(－1，－5)，位于第三象限，D正确．故选CD.
√
(2)已知复数z1＝a－3i，z2＝2＋i(i为虚数单位)．若z1z2是纯虚数，则实数a＝(　　)
C．－6 D．6
【解析】　因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，所以2a＋3＝0且a－6≠0，可得a＝
题型二　 复数的运算(微专题)
微专题1　复数的基本运算
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若 ＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
√
√
√
状元笔记
复数运算的技巧
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度．
⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
√
思考题2　(1)(2025·衡水中学调研)已知复数z满足(1－2i)·z＝i2 024(i为虚数单位)，则 ＝(　　)
故选B.
√
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋ ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
所对应的点的坐标为___________．
微专题2　复数的运算性质
√
【多选题】设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若 ＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
√
【解析】　由复数的形式知A显然错误．
当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故B正确．
状元笔记
复数的模与共轭复数的运算性质
(2)【多选题】(2025·河南省适应性测试)已知复数z，w均不为0，则(　　)
√
√
√
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R，且a，b不同时为0)，w＝c＋di(c，d∈R，且c，d不同时为0)，
则z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，
题型三　 复数的几何意义
(1)0， 3＋2i，－2＋4i在复平面内对应的点为平行四边形OABC的顶点O，A，C.试求：
③B点对应的复数．
【答案】　①－3－2i，－3－2i　②5－2i　③1＋6i
所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
(2)18世纪末期，丹麦测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离．在复平面内，若复数z1＝ 对应的点为Z1，Z为曲线|z－3|＝1上的动点，则Z1与Z之间的最小距离为________．
4
状元笔记
复数的几何意义
因为复平面内的点、向量及复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的起点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
思考题4　(1)(2020·课标全国Ⅱ，理)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，
【解析】　方法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x12＋y12＝x22＋y22＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1
＋y2)i＝
方法四：设z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，
(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　)
√
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
题型四　 复数与方程
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
【答案】　(1)a＝2，b＝2
【解析】　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
【答案】　(2)见解析
【解析】　(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
证明如下：把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
状元笔记
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)利用求根公式法直接求解．
(2)利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
思考题5　(2025·高三省级联测)已知z是方程x2－2x＋2＝0的一个
√
A．2 B．4
C．2i D．4i
复数的三角形式
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除法运算的三角表示：
已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，
√
√
√
√
√
(sin 30°－icos 30°)，则z1·z2的三角形式为(　　)
A．4(cos 90°＋isin 90°)
B．4(cos 30°＋isin 30°)
C．4(cos 30°－isin 30°)
D．4(cos 0°＋isin 0°)
360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．