安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学模拟题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考
数学模拟题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知数列，，，，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.若，则在的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：，点在上，直线与坐标轴交于，两点，若面积的最小值为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则秋分的晷长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是线段，上的动点不含端点，且，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱外接球的表面积为
C. 二面角的余弦值为
D. 异面直线与所成角的正切值为
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与交于，两点，的周长为若在外，点在上，记的离心率为，则( )
A. 的最小值为
B.
C. 存在点，使得
D. 当时，点在上且满足，则有
11.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线，则( )
A. 存在实数，使得曲线上所有的点到点的距离大于
B. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之和为
C. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之差为
D. 存在实数，使得曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知各项均为正数的等比数列的前项和，，， ．
13.已知是直线：上一动点，过点作圆：的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点在第一象限，为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是 ．
双曲线的离心率为
的面积为 直线的斜率为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆关于直线对称，且过点．
求圆的圆心和半径；
若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求证：数列为等差数列；
已知等差数列满足，其前项和为令，设数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在棱上．
若为的中点，求证：平面；
若二面角的余弦值为，求的长度．
18.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且．
求的方程；
若点为直线上的一点，直线交于另外一点不同于点
记，的面积分别为，，且，求点的坐标；
若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
以坐标原点为圆心的圆被直线截得的弦长为．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆交于两点其中为坐标原点，求的最小值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.圆化为标准方程，即，
可知圆心为，半径，
则因为圆关于直线对称，所以，所以，
因为圆过点，所以，且，所以，
得，所以圆方程为，
故圆心坐标为，半径为．
由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，得，则直线的．
故直线或
16.证明：，
数列是以为首项，为公差的等差数列
可得
当时，
当时，也满足上式，
证明：
，
，
．

17.证明：连接，交于点，连接
因为是中点，为矩形 对角线的交点，
所以为三角形中位线，
所以 ，
因为 平面， 平面，
所以 平面
因为，所以，
因为平面平面，且平面 平面 ，平面，
所以平面，
因为四边形为矩形，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系 ．
所以 ， ，
因为平面，所以平面的一个法向量为
设点坐标为 ，，
在平面中， ， ，
所以平面的法向量为 ，
所以 ，
解得 ，或 舍此时

18. 设圆的半径为，
圆心到直线的距离，
则由题意可得，，
圆的方程为，
经判断点在圆上
若过的直线为时，它与圆不可能相切，
故过点的圆的切线斜率一定存在，
，，
切线的方程为，，
所以过点的圆的切线方程为．
直线可化为，恒过定点，
圆：的圆心为，半径为，
，，
当时，，最小，，取最大值，
此时，取最小值，此时的斜率为，
由垂直关系可得，解得，
故此时直线方程为，即，
联立可解得或，
，取最小值，，取最大值，
此时，取最小值，
故的最小值为．
19.由题意知解得，，
所以的方程为．
由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点不同于点，
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由，消得，
所以，解得，所以．
因为，，
又，所以，
解得或，即点的坐标为或．
直线，即，
由，消得，，
即，所以，解得，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，解得，
所以直线恒过定点，
又，即，又点是的中点，所以，
所以是定值，且定值为．