山东师范大学附属中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（含详解）

山东省济南市历下区山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.6
4．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
5．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．8
8．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知一组正实数样本数据，满足，则（ ）

A．若，则样本数据的第60百分位数为
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
D．将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．点是函数图象的一个对称中心
C．图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象
D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
11．已知函数，，则下列说法正确的（ ）
A．函数与函数有相同的极小值
B．若方程有唯一实根，则的取值范围为
C．若方程有两个不同的实根，则
D．当时，若，则成立
三、填空题
12．的展开式中的系数是 （用数字作答）
13．已知，则 .
14．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝ .
四、解答题
15．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，，求边上的高.
16．某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况：
温度
温度变量 1 2 3 4 5
销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1
其中，温度变量对应的销售量为.
(1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量.
(2)为了了解消费群体中男 女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为：
喜欢 一般 合计
女 90 20 110
男 70 40 110
合计 160 60 220
依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？
(3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
18．甲 乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局.
(1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；
(2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，.
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】，或，
，.
故选：B.
2．A
【详解】由题意，所以，
整理得.
故选：A
3．C
【详解】由题意得：随机变量符合正态分布，且对称轴为；
由正态分布的对称性可得：；
所以；
故选：.
4．A
【详解】解：，是夹角为的两个单位向量，
则，，
因为与垂直，
则，
即，解得.
故选：A.
5．B
【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，
所以第二次抽到次品的概率为.
故选：B.
6．C
【详解】令，，
因为函数在区间上单调递增，
外层函数在上为增函数，所以内层函数在上为增函数，
所以，可得，
且对任意的，恒成立，可得，故，
综上所述，.
故选：C.
7．D
【详解】令，由题意得欲求的零点个数，
则求的零点个数，即求的零点个数，
故求与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，

由图象可得共4个交点，但，故，
当时，此时求的零点个数即可，
当时，令，无解，
当时，，
令，解得（负根舍去），
当时，，
令，解得，
当时，由偶函数性质可得的零点为和，
得到共有4个零点，
当时，此时求的零点个数即可，
当时，令，无解，
当时，，
令，无解，
当时，，
令，解得（负根舍去），
当时，，且，
令，解得（负根舍去），
当时，由偶函数性质可得的零点为和，
得到共有4个零点，
则当时，结合题意归纳得，无解，
由偶函数性质得当时，结合题意归纳得，无解，
则函数的零点个数为8，故D正确.
故选：D
8．B
【详解】由题意可知，
于是构造函数，则，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
而，
又，故，
故选：B
9．BC
【详解】选项A：因为，为整数，
所以第60百分位数为，故A错误；
选项B：极差为最大值与最小值之差，
若去掉样本为中间数据，则最大值与最小值不变，此时极差不变，故B正确；
选项C：右边“拖尾”，则最高峰偏左，中位数靠近高峰处，
右边“拖尾”，说明数据中存在较大的值，这些较大值会拉高平均值，使平均值靠右，
所以样本数据的平均数大于中位数，故C正确；
选项D：设原数据平均数为，方差为，则，
新数据为，则平均数为，新方差，
所以新样本数据的方差变为原数据方差的9倍，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【详解】选项A，，，，，，
，是一个下零点，
，，所以，
，故选项A正确；
选项B，因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B错误；
选项C，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，与相同，故选项C正确；
选项D，的图象向左平移个单位长度，得到，
图象关于轴对称，故选项D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值；
函数定义域，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，A正确；
对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误；
对于C，因为当趋近于0时，趋近于0，
所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令，
由，得，则，
消去得，则，令，
于是，，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递增，，因此，即，C正确；
对于D，，由，得，
所以，则，
，于是，而函数在上单调递增，则，
因此成立，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为，
又展开式的通项为，，
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数是.
故答案为：
13．/
【详解】因为，所以
由
，
故答案为：
14．
【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，且
因为f(x＋2)为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
所以，即，
所以，即，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则
，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以当时，，
所以，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，
在三角形中，
即，
即，
因为，所以，即，而，
所以，所以，所以.
（2）由的面积为，得，即，所以.
由余弦定理得，
得，所以，又，所以，
故边上的高为.
16．(1)，1.2万份；
(2)认为对饮品的喜欢程度与性别有关；
(3)6300份.
【详解】（1），
，
，所以，
，销售量关于温度变量的线性回归方程为，
当.
所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份.
（2）零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联.
.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）设这100天的日均销售量为，
则，所以这100天的日均销售量为6300份.
17．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），，
所以切线方程为，即.
（2）定义域为.
令，得.
当时，
- 0 +
单调递减 单调递增
所以，在上单调递减，在上单调递增.
当时，
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增.
当时，
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
18．(1)分布列见解析，；
(2)；
(3)证明见解析；
【详解】（1）（1）解：的可能取值为.
；
.
的分布列为
1 3 5
.
（2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；
当时，需要赢剩余2局，其概率为；
当时，需要赢至少1局，其概率；
当时，已满足获胜条件，概率为.
故.
（3）（3）证明：由全概率公式得
.
所以.
当时，.
.
因为，所以，即.
19．(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为.