北师大版（2024）九年级上册 2.2 用配方法求解一元二次方程 题型专练（学生版+答案版）

北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程 题型专练
【题型1】形如x =p(p≥0)的方程
【典型例题】已知一元二次方程mx +n=0(m≠0)，若方程有解，则必须(　　)
A.n=0 B.m，n同号 C.n是m的整数倍 D.m，n异号
【举一反三1】方程x -2=0的解为(　　)
A.2 B. C.2与-2 D.与-
【举一反三2】一元二次方程2x -2=0的解是__________．
【举一反三3】若2(x +3)的值与3(1-x )的值互为相反数，求的值．
【题型2】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程
【典型例题】用直接开平方法解方程(x+m) =n，下列结论正确的是(　　)
A.有两个根，为x=±
B.当n＞0时，有两个根，为x=±-m
C.当x＞0时，有两个根，为x=±+m
D.当n≤0时，无实数根
【举一反三1】如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为(　　)
A.3或-3 B.4或-2 C.1或3 D.27
【举一反三2】若方程(x-4) =a有实数解，则a的取值范围是(　　)
A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.无法确定
【举一反三3】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b，根据这个规则，方程(x-1)*9=0的解为____________．
【举一反三4】解方程：
（1）(x﹣3) =16；
（2）(3x﹣1) =6；
（3）(2x+3) ﹣1=3；
（4）(2x﹣1) =9；
（5）(x﹣1) =2；
（6）(3x﹣4) =(3﹣4x) ．
【举一反三5】若2y=(x-2) +1，且y的算术平方根是，求：x+2y的值．
【题型3】用配方法配方
【典型例题】用配方法将二次三项式x -6x+5变形的结果是(　　)
A.(x-3) +8 B.(x+3) +14 C.(x-3) -4 D.(x-3) +14
【举一反三1】若把代数式x -2x+3化为(x-m) +k形式，其中m，k为常数，结果为(　　)
A.(x+1) +4 B.(x-1) +2 C.(x-1) +4 D.(x+1) +2
【举一反三2】用配方法将二次三项式x -6x+5变形的结果是(　　)
A.(x-3) +8 B.(x+3) +14 C.(x-3) -4 D.(x-3) +14
【举一反三3】若把代数式x -2x+3化为(x-m) +k形式，其中m，k为常数，结果为(　　)
A.(x+1) +4 B.(x-1) +2 C.(x-1) +4 D.(x+1) +2
【举一反三4】填上适当的数，使等式成立：
x -5x+(_______) =(x-_______) ；x +3x+(______) =(x+_____) ．
【举一反三5】填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x +12x+ =(x+6) ；
（2）x -4x+ =(x- ) ；
（3）x +8x+_________=(x+ ) ．
【举一反三6】4x _________+1=(2x±1) ．
【题型4】用配方法求解一元二次方程
【典型例题】方程x +1=2x的根是(　　)
A.x1=1，x =-1 B.x1=x =1 C.x1=x =-1 D.x1=1+，x =1-
【举一反三1】若一元二次方程式4x +12x-1 147=0的两根为a，b，且a＞b，则3a+b的值为(　　)
A.22 B.28 C.34 D.40
【举一反三2】若代数式x +9的值与-6x的值相等，则x的值为______.
【举一反三3】乐乐用配方法解方程2x -bx+a=0，得到x-=±，你能求出a，b的值吗？
【举一反三4】阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x -8x+5=0的过程如下：
解：2x -8x+5=0．
2x -8x=-5．①
x 4x＝ ．②
x 4x+4＝ +4．③
(x 2) ＝．④
x 2＝．⑤
x＝2+．⑥
问题：（1）上述过程中，从 步开始出现了错误(填序号).
（2）发生错误的原因是什么？
（3）解这个方程．
【题型5】用配方法求最值问题
【典型例题】代数式x -4x+5的最小值是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.5
【举一反三1】代数式2 016-a2+2ab-b2的最大值是(　　)
A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.不存在
【举一反三2】多项式-x -x+取得最大值时，x的值为(　　)
A.- B.- C. D.
【举一反三3】若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．
【举一反三4】用配方法说明：不论x取何值，代数式2x +5x-1的值总比代数式x +7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．
【举一反三5】阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2) +4，
∵(y+2) ≥0，
∴(y+2) +4≥4，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x -x+4的最小值和6-2x-x 的最大值．
【题型6】用配方法变成非负数求值
【典型例题】已知x +y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为(　　)
A.-1 B.1 C.25 D.36
【举一反三1】对于任意的实数x，代数式x -5x+10的值是一个(　　)
A.正数 B.非负数 C.整数 D.不能确定的数
【举一反三2】无论x为何值，二次三项式ax +2(a+1)x+a+的值恒为负数，则a的取值范围是________．
【举一反三3】△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c=8，bc=a2-12a+52，按边分类，则△ABC是_______三角形．
【举一反三4】若x -2x+10+y2+6y=0，求(2x-y) 的值．
【举一反三5】若△ABC的三边a，b，c满足a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，求△ABC的周长．
北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程 题型专练（参考答案）
【题型1】形如x =p(p≥0)的方程
【典型例题】已知一元二次方程mx +n=0(m≠0)，若方程有解，则必须(　　)
A.n=0 B.m，n同号 C.n是m的整数倍 D.m，n异号
【答案】D
【解析】mx +n=0，mx =-n，x =-，
∵x ≥0，m≠0，∴m，n异号．
故选：D.
【举一反三1】方程x -2=0的解为(　　)
A.2 B. C.2与-2 D.与-
【答案】D
【解析】移项得x =2，解得x=±．
故选：D.
【举一反三2】一元二次方程2x -2=0的解是__________．
【答案】x1=1，x =-1
【解析】方程整理得x =1，开方得x=±1，解得x1=1，x =-1．
【举一反三3】若2(x +3)的值与3(1-x )的值互为相反数，求的值．
【答案】解：根据题意得2(x +3)+3(1-x )=0，
整理得x =9，
所以x1=3，x =-3，
当x=3时，==，
当x=-3时，==0．
【题型2】形如(mx+q) =p(p≥0)的方程
【典型例题】用直接开平方法解方程(x+m) =n，下列结论正确的是(　　)
A.有两个根，为x=±
B.当n＞0时，有两个根，为x=±-m
C.当x＞0时，有两个根，为x=±+m
D.当n≤0时，无实数根
【答案】B
【解析】∵(x+m) ≥0，∴n≥0，
∴当n＞0时，方程(x+m) =n有两个不相等的根x=±-m．
故选：B.
【举一反三1】如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为(　　)
A.3或-3 B.4或-2 C.1或3 D.27
【答案】B
【解析】根据题意得，简单的数值运算程序为(x-1) ×(-3)=-27，
化简得(x-1) =9，
∴x-1=±3，
解得x=4或x=-2．
故选：B.
【举一反三2】若方程(x-4) =a有实数解，则a的取值范围是(　　)
A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵方程(x-4) =a有实数解，∴x-4=±，∴a≥0．
故选：B.
【举一反三3】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b，根据这个规则，方程(x-1)*9=0的解为____________．
【答案】x1=-2，x =4
【解析】∵(x-1)*9=0，
∴(x-1) -9=0，
∴x-1=-3或x-1=3，
解得x1=-2，x =4．
【举一反三4】解方程：
（1）(x﹣3) =16；
（2）(3x﹣1) =6；
（3）(2x+3) ﹣1=3；
（4）(2x﹣1) =9；
（5）(x﹣1) =2；
（6）(3x﹣4) =(3﹣4x) ．
【答案】解：（1）(x﹣3) =16，
直接开平方，得x﹣3=±4，
∴x=3±4，∴x1=7，x =﹣1．
（2）(3x﹣1) =6，
开方得3x﹣1=±，
∴x=，∴x1=，x =．
（3）(2x+3) ﹣1=3，
原方程得(2x+3) =4，
(2x+3) =16，2x+3=4或2x+3=﹣4，∴x1=，x =﹣．
（4）(2x﹣1) =9，
开方得2x﹣1=±3，∴x=，∴x1=2，x =﹣1．
（5）(x﹣1) =2，
两边开平方得x﹣1=±，
解得x1=1+，x =1﹣．
（6）(3x﹣4) =(3﹣4x) ，
开方得3x﹣4=3﹣4x或3x﹣4=﹣(3﹣4x)，
解方程得3x+4x=3+4，7x=7，x=1或3x﹣4x=﹣3+4，﹣x=1，x=﹣1，
即原方程的解为x1=1，x =﹣1．
【举一反三5】若2y=(x-2) +1，且y的算术平方根是，求：x+2y的值．
【答案】解：∵y的算术平方根是，∴y=5，
∵2y=(x-2) +1，∴10=(x-2) +1，
移项得(x-2) =9，
开方得x-2=±3，
解得x1=-1，x =5，
∴x+2y=15或9．
【题型3】用配方法配方
【典型例题】用配方法将二次三项式x -6x+5变形的结果是(　　)
A.(x-3) +8 B.(x+3) +14 C.(x-3) -4 D.(x-3) +14
【答案】C
【解析】x -6x+5
=x -6x+9-9+5
=(x -6x+9)-4
=(x-3) -4．
故选：C.
【举一反三1】若把代数式x -2x+3化为(x-m) +k形式，其中m，k为常数，结果为(　　)
A.(x+1) +4 B.(x-1) +2 C.(x-1) +4 D.(x+1) +2
【答案】B
【解析】x -2x+3=x -2x+1+2=(x-1) +2．
故选：B.
【举一反三2】用配方法将二次三项式x -6x+5变形的结果是(　　)
A.(x-3) +8 B.(x+3) +14 C.(x-3) -4 D.(x-3) +14
【答案】C
【解析】x -6x+5
=x -6x+9-9+5
=(x -6x+9)-4
=(x-3) -4．
故选：C.
【举一反三3】若把代数式x -2x+3化为(x-m) +k形式，其中m，k为常数，结果为(　　)
A.(x+1) +4 B.(x-1) +2 C.(x-1) +4 D.(x+1) +2
【答案】B
【解析】x -2x+3=x -2x+1+2=(x-1) +2．
故选：B.
【举一反三4】填上适当的数，使等式成立：
x -5x+(_______) =(x-_______) ；x +3x+(______) =(x+_____) ．
【答案】±　　±　
【举一反三5】填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x +12x+ =(x+6) ；
（2）x -4x+ =(x- ) ；
（3）x +8x+_________=(x+ ) ．
【答案】（1）36　（2）4　2　（3）16　4
【举一反三6】4x _________+1=(2x±1) ．
【答案】±4x
【题型4】用配方法求解一元二次方程
【典型例题】方程x +1=2x的根是(　　)
A.x1=1，x =-1 B.x1=x =1 C.x1=x =-1 D.x1=1+，x =1-
【答案】B
【解析】把方程x +1=2x移项，得到x -2x+1=0，
∴(x-1) =0，
∴x-1=0，
∴x1=x =1．
故选：B.
【举一反三1】若一元二次方程式4x +12x-1 147=0的两根为a，b，且a＞b，则3a+b的值为(　　)
A.22 B.28 C.34 D.40
【答案】B
【解析】4x +12x-1 147=0，
移项得4x +12x=1 147，
4x +12x+9=1 147+9，
即(2x+3) =1 156，
2x+3=34或2x+3=-34，
解得x=，x=-，
∵一元二次方程式4x +12x-1 147=0的两根为a，b，且a＞b，
∴a=，b=-，
∴3a+b=3×+(-)=28．
故选：B.
【举一反三2】若代数式x +9的值与-6x的值相等，则x的值为______.
【答案】-3
【解析】根据题意得x +9=-6x，
整理得x +6x+9=0，
(x+3) =0，
所以x1=x =-3．
【举一反三3】乐乐用配方法解方程2x -bx+a=0，得到x-=±，你能求出a，b的值吗？
【答案】解：∵x-=±，
∴2x-3=±，
∴(2x-3) =15，即4x -12x+9=15，
∴2x -6x-3=0，
∴a=-3，b=6．
【举一反三4】阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程2x -8x+5=0的过程如下：
解：2x -8x+5=0．
2x -8x=-5．①
x 4x＝ ．②
x 4x+4＝ +4．③
(x 2) ＝．④
x 2＝．⑤
x＝2+．⑥
问题：（1）上述过程中，从 步开始出现了错误(填序号).
（2）发生错误的原因是什么？
（3）解这个方程．
【答案】解：（1）x 2＝±，所以从⑤步开始出现了错误.
（2）开方后正负号丢失.
（3）2x -8x+5=0，
2x -8x=-5，
x 4x＝ ，
x 4x+4＝ +4，
(x 2) ＝，
x 2＝±，
x=2±．
【题型5】用配方法求最值问题
【典型例题】代数式x -4x+5的最小值是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.5
【答案】B
【解析】∵x -4x+5=x -4x+4-4+5=(x-2) +1，
∵(x-2) ≥0，
∴(x-2) +1≥1，
∴当x=2时，代数式x -4x+5的最小值为1．
故选：B.
【举一反三1】代数式2 016-a2+2ab-b2的最大值是(　　)
A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.不存在
【答案】B
【解析】原式=2 016-(a2-2ab+b2)=2 016-(a-b) ≤2 016，则多项式的最大值为2 016．
故选：B.
【举一反三2】多项式-x -x+取得最大值时，x的值为(　　)
A.- B.- C. D.
【答案】A
【解析】-x -x+=-(x+) +，
∵-(x+) ≤0，
∴-(x+) +≤，
∴当x=-时，多项式-x -x+取得最大值．
故选：A.
【举一反三3】若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．
【答案】
【解析】∵a+b2=1，
∴b2=1-a，
∴a2+b2=a2+1-a=(a-) +≥，
∴当a=时，a2+b2有最小值．
【举一反三4】用配方法说明：不论x取何值，代数式2x +5x-1的值总比代数式x +7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．
【答案】解：2x +5x-1-(x +7x-4)
=2x +5x-1-x -7x+4
=x -2x+3
=(x-1) +2，
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +2＞0，
即2x +5x-1-(x +7x-4)＞0，
∴不论x取任何值，代数式2x +5y-1的值总比代数式x +7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．
【举一反三5】阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2) +4，
∵(y+2) ≥0，
∴(y+2) +4≥4，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x -x+4的最小值和6-2x-x 的最大值．
【答案】解：（1）x -x+4=(x-) +，
∵(x-) ≥0，
∴(x-) +≥．
则x -x+4的最小值是．
（2）6-2x-x =-(x+1) +7，
∵-(x+1) ≤0，
∴-(x+1) +7≤7，
则6-2x-x 的最大值为7．
【题型6】用配方法变成非负数求值
【典型例题】已知x +y2+4x-6y+13=0，则代数式x+y的值为(　　)
A.-1 B.1 C.25 D.36
【答案】B
【解析】∵x +y2+4x-6y+13=0，∴(x+2) +(y-3) =0，
由非负数的性质可知，x+2=0，y-3=0，解得，x=-2，y=3，则x+y=-2+3=1．
故选：B.
【举一反三1】对于任意的实数x，代数式x -5x+10的值是一个(　　)
A.正数 B.非负数 C.整数 D.不能确定的数
【答案】A
【解析】x -5x+10=x -5x++=(x-) +，
∵(x-) ≥0，∴(x-) +＞0，∴原式是一个正数．
故选：A.
【举一反三2】无论x为何值，二次三项式ax +2(a+1)x+a+的值恒为负数，则a的取值范围是________．
【答案】a＜
【解析】令y=ax +2(a+1)x+a+，
∵二次三项式ax +2(a+1)x+a+的值恒为负数，
∴二次函数y=ax +2(a+1)x+a+与x轴无交点，
∴Δ＜0，
即[2(a+1)]2-4a(a+)＜0，
整理得，4(a2+2a+1)-4a2-2a＜0，
4a2+8a+4-4a2-2a＜0，
6a+4＜0，
解得a＜ ．
【举一反三3】△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c=8，bc=a2-12a+52，按边分类，则△ABC是_______三角形．
【答案】等腰
【解析】∵b+c=8，
∴b=8-c，
∴bc=(8-c)c=-c2+8c，
∴bc=a2-12a+52=-c2+8c，
即a2-12a+36+16+c2-8c=0，
整理得(a-6) +(c-4) =0，
∵(a-6) ≥0，(c-4) ≥0，
∴a-6=0，c-4=0，即a=6，c=4，
∴b=8-4=4，
则△ABC为等腰三角形．
【举一反三4】若x -2x+10+y2+6y=0，求(2x-y) 的值．
【答案】解：∵x -2x+10+y2+6y=0，
∴x -2x+1+y2+6y+9=0，
∴(x-1) +(y+3) =0，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴(2x-y) =(2+3) =25．
【举一反三5】若△ABC的三边a，b，c满足a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，求△ABC的周长．
【答案】解：∵a2-6a+b2-10b+c2-8c+50=0，
∴a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16=0，
即(a-3) +(b-5) +(c-4) =0，
∴a=3，b=5，c=4，
∴△ABC的周长=3+4+5=12．