北师大版（2024）九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程 题型专练（学生版+答案版）

北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程 题型专练
【题型1】一元二次方程根的判别式
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是(　　)
A.k为任何实数，方程都没有实数根
B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【举一反三1】下面是一元二次方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有(　　)
A.b2-4ac=-8，方程有解 B.b2-4ac=-8，方程无解 C.b2-4ac=8，方程有解 D.b2-4ac=8，方程无解
【举一反三2】已知一元二次方程：①x2-2x-3=0，②x2+2x+3=0．下列说法正确的是(　　)
A.①②都有实数根
B.①无实数根，②有实数根
C.①有实数根，②无实数根
D.①②都无实数根
【举一反三3】不解方程，判断方程2x2+3x-2=0的根的情况是__________________．
【举一反三4】定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=(-3)2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
【举一反三5】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．
（1）2x2+3x+5=0；
（2）x2-2x+2=0．
【题型2】由根的判别式确定字母系数的取值范围
【典型例题】已知关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，则m的值为(　　)
A.±3 B.3 C.1 D.±1
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三2】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为(　　)
A.k=-4 B.k=4 C.k≥-4 D.k≥4
【举一反三3】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=_______，b=______．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【题型3】一元二次方程根的判别式的综合应用
【典型例题】若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x-m的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三1】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=-1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是(　　)
A.①② B.①③ C.①②④ D.②③④
【举一反三2】若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是________．
【举一反三4】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(c≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则①a=c，②a=b，③b=c，④a=b=c，其中正确的结论序号是________．
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
【题型4】用公式法求解一元二次方程
【典型例题】用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(　　)
A.a=3，b=2，c=3 B.a=-3，b=2，c=3 C.a=3，b=2，c=-3 D.a=3，b=-2，c=3
【举一反三1】已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是(　　)
A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5 C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3
【举一反三2】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　)
A.b2-4ac≥0 B.b2-4ac≤0 C.b2-4ac＞0 D.b2-4ac＜0
【举一反三3】有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=-6，则输出的x的值为________．
【举一反三4】解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：
∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，
∴，
∴x1=﹣1，x2=﹣2．
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程．
【举一反三5】阅读下列方程的解答过程：
解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0．
解：设x-2=y，则原方程化为3y2+7y+4=0．
∵a=3，b=7，c=4，
∴b2-4ac=72-4×3×4=1．
∴y＝=．
∴y1＝ 1，y2＝ ．
当y=-1时，x-2=-1，∴x=1；
当y＝ 时，x 2＝ ，∴x＝．
∴原方程的解为x1＝1，x2＝．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x-3)2-5(x-3)-7=0．
北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程 题型专练（参考答案）
【题型1】一元二次方程根的判别式
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是(　　)
A.k为任何实数，方程都没有实数根
B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【解析】Δ=4k2-4(k-1)=(2k-1)2+3，
∵(2k-1)2≥0，∴(2k-1)2+3＞0，即Δ＞0，∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根．
故选：B.
【举一反三1】下面是一元二次方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有(　　)
A.b2-4ac=-8，方程有解 B.b2-4ac=-8，方程无解 C.b2-4ac=8，方程有解 D.b2-4ac=8，方程无解
【答案】B
【举一反三2】已知一元二次方程：①x2-2x-3=0，②x2+2x+3=0．下列说法正确的是(　　)
A.①②都有实数根
B.①无实数根，②有实数根
C.①有实数根，②无实数根
D.①②都无实数根
【答案】C
【解析】①∵a=1，b=-2，c=-3，∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0，
∴方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根；
②∵a=1，b=2，c=3，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，
∴方程x2+2x+3=0没有实数根．
故选：C.
【举一反三3】不解方程，判断方程2x2+3x-2=0的根的情况是__________________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】∵a=2，b=3，c=-2，∴Δ=b2-4ac=9+16=25＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
【举一反三4】定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=(-3)2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
【答案】解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得a＜0．
在方程2x2-bx+a=0中，Δ=(-b)2-8a=b2-8a，
∵a＜0，∴-8a>0，
∵b2≥0，∴b2-8a>0，即Δ>0，
∴一元二次方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根．
【举一反三5】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．
（1）2x2+3x+5=0；
（2）x2-2x+2=0．
【答案】解：（1）∵Δ=32-4×2×5=-31＜0，
∴方程没有实数根．
（2）∵Δ=(-2)2-4×1×2=0，
∴方程有两个相等的实数根．
【题型2】由根的判别式确定字母系数的取值范围
【典型例题】已知关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，则m的值为(　　)
A.±3 B.3 C.1 D.±1
【答案】D
【解析】∵关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5，∴Δ=m2-4×1×(-1)=5，解得m=±1．
故选：D.
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】根据题意得Δ=(-5)2-4k＞0，解得k＜．
所以k可取的最大整数为6．
故选：A.
【举一反三2】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为(　　)
A.k=-4 B.k=4 C.k≥-4 D.k≥4
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴Δ=42-4k=0，解得k=4．
故选：B.
【举一反三3】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=_______，b=______．
【答案】1　1
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，∴解得
满足该条件．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】证明：根据题意可得，a=1，b=2k，c=k-1，
∴Δ＝b2 4ac＝(2k)2 4×1×(k 1)＝4k2 4k+4＝4(k )2+3，
∵(k )2≥0，∴4(k )2+3>0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【题型3】一元二次方程根的判别式的综合应用
【典型例题】若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x-m的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】根据题意得m≠0且Δ=(-2)2-4m×(-1)＜0，解得m＜-1，
所以一次函数y=(m+1)x-m的图象经过第一、二、四象限．
【举一反三1】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=-1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是(　　)
A.①② B.①③ C.①②④ D.②③④
【答案】C
【解析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，Δ=b2-4ac，
①将x=-1代入方程ax2+bx+c=0，得a-b+c=0，即b=a+c．故①正确；
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，∴Δ=b2-4ac＞0，即方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．故②正确；
③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，得ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0．故③错误；
④若b=2a+3c，Δ=b2-4ac=4(a+c)2+5c2＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故④正确．
所以正确的是①②④．
故选：C.
【举一反三2】若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4(kb+1)＞0，解得kb＜0，
A项，k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B项，k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C项，k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D项，k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确．
故选：B.
【举一反三3】已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是________．
【答案】无解
【解析】Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b)，
∵a，b，c分别是三角形的三边长，∴a+b＞c，∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴Δ＜0，则方程没有实数根．
【举一反三4】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(c≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则①a=c，②a=b，③b=c，④a=b=c，其中正确的结论序号是________．
【答案】①
【解析】∵方程有两个相等实数根，且a+b+c=0，∴b2-4ac=0，b=-a-c，
将b=-a-c代入得a2+2ac+c2-4ac=(a-c)2=0，则a=c．
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0．
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
【答案】解：（1）证明：∵Δ=b2-4ac=(3k+1)2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴(k-1)2=0，解得k=1．
此时原方程化为x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程62-6(3k+1)+2k2+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x2-10x+24=0或x2-16x+60=0，
解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形．
【题型4】用公式法求解一元二次方程
【典型例题】用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(　　)
A.a=3，b=2，c=3 B.a=-3，b=2，c=3 C.a=3，b=2，c=-3 D.a=3，b=-2，c=3
【答案】D
【举一反三1】已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是(　　)
A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5 C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3
【答案】C
【解析】解方程x2-x-1=0得x=，
∵a是方程x2-x-1=0较大的根，∴a=，
∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2．
故选：C.
【举一反三2】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　)
A.b2-4ac≥0 B.b2-4ac≤0 C.b2-4ac＞0 D.b2-4ac＜0
【答案】A
【举一反三3】有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=-6，则输出的x的值为________．
【答案】无解
【解析】输入的数a=-6＜0，代入得x2-3x+6=0，这里a=1，b=-3，c=6，
∵Δ=9-24=-15＜0，则此方程无解．
【举一反三4】解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：
∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，
∴，
∴x1=﹣1，x2=﹣2．
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程．
【答案】解：错误之处在于没有先把方程化成一般形式．
正确解法：x2﹣3x﹣2=0，
∵a=1，b=﹣3，c=﹣2，b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=17，
∴=，
∴x1=，x2=．
【举一反三5】阅读下列方程的解答过程：
解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0．
解：设x-2=y，则原方程化为3y2+7y+4=0．
∵a=3，b=7，c=4，
∴b2-4ac=72-4×3×4=1．
∴y＝=．
∴y1＝ 1，y2＝ ．
当y=-1时，x-2=-1，∴x=1；
当y＝ 时，x 2＝ ，∴x＝．
∴原方程的解为x1＝1，x2＝．
请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x-3)2-5(x-3)-7=0．
【答案】解：设x-3=y．则原方程化为2y2-5y-7=0．
∵a=2，b=-5，c=-7，∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81．
∴y＝＝．
∴y1＝ 1，y2＝，
当y=-1时，x-3=-1，∴x=2；
当y＝时，x 3＝，∴x＝．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝．