北师大版（2024）九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 题型专练（含答案）

北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程 题型专练
【题型1】用提取公因式法求解一元二次方程
【典型例题】小李解方程x -3x+2=0的步骤如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.小李解方程的过程正确
B.x=2也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
【举一反三1】方程(x-3)(2x-4)=0的根是(　　)
A.x1=-3，x =-2 B.x1=3，x =2 C.x1=3，x =-2 D.x1=-3，x =2
【举一反三2】方程3(x-5)2=2(x-5)的根是__________．
【举一反三3】方程x(x-2)=-(x-2)的根是____________．
【举一反三4】解方程：
（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)；
（2）x(x+3)=7(x+3)；
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)；
（4）2x ﹣6x=0；
（5）x(x﹣6)=6﹣x；
（6）x(x﹣2)=10x﹣20；
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)．
【题型2】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程
【典型例题】下列各数中，是方程x +x-2=0的根的是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】已知3是关于x的方程x -(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为(　　)
A.7 B.10 C.11 D.10或11
【举一反三2】方程2x +3x-2=0的两个根为(　　)
A.x1＝ 2，x ＝ B.x1＝2，x ＝ C.x1＝ 2，x ＝ D.x1＝2，x ＝
【举一反三3】三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x -16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是____________．
【举一反三4】用适当的方法解下列方程：
（1）x +2x+1=4；
（2）x +x-6=0；
（3）x +10x+21=0；
（4）x -x-1=0；
（5）x 2x+7＝0；
（6）2x(x-3)+x=3．
【举一反三5】按要求解方程：
（1）x +8x=9(配方法)；
（2）(2x+1)2-25=0(因式分解法)．
北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程 题型专练（参考答案）
【题型1】用提取公因式法求解一元二次方程
【典型例题】小李解方程x -3x+2=0的步骤如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.小李解方程的过程正确
B.x=2也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
【答案】B
【解析】x -3x+2=0，
x -2x-x+2=0，
x(x-2)-(x-2)=0，
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
∴x=2或x=1；
故小李解方程的过程错误，x=2也是该方程的一个解，小李解方程的方法是因式分解法，解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误．
故选：B.
【举一反三1】方程(x-3)(2x-4)=0的根是(　　)
A.x1=-3，x =-2 B.x1=3，x =2 C.x1=3，x =-2 D.x1=-3，x =2
【答案】B
【解析】(x-3)(2x-4)=0，x-3=0或2x-4=0，x1=3，x =2．
故选：B.
【举一反三2】方程3(x-5)2=2(x-5)的根是__________．
【答案】x1=5，x =
【解析】方程变形得3(x-5)2-2(x-5)=0，
分解因式得(x-5)[3(x-5)-2]=0，
则x-5=0或3x-17=0，
解得x1=5，x =．
【举一反三3】方程x(x-2)=-(x-2)的根是____________．
【答案】x1=2，x =-1
【解析】移项得x(x-2)+(x-2)=0，∴(x-2)(x+1)=0，解得x1=2，x =-1．
【举一反三4】解方程：
（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)；
（2）x(x+3)=7(x+3)；
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)；
（4）2x ﹣6x=0；
（5）x(x﹣6)=6﹣x；
（6）x(x﹣2)=10x﹣20；
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)．
【答案】解：（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)，
由原方程，得(3x+2)(x﹣2)=0，
所以3x+2=0或x﹣2=0，
解得x1=，x =2．
（2）x(x+3)﹣7(x+3)=0，
分解因式得(x+3)(x﹣7)=0，
解得x1=﹣3，x =7．
（3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)，
移项得(3x+1)(2x﹣5)+2(2x﹣5)=0，
(2x﹣5)(3x+1+2)=0，
2x﹣5=0或3x+1+2=0，
x1=，x =﹣1．
（4）2x ﹣6x=0，
提取公因式得2x(x﹣3)=0，
∴2x=0或x﹣3=0，
∴x1=0，x =3．
（5）x(x﹣6)=6﹣x，
∵x(x﹣6)+x﹣6=0，
∴(x﹣6)(x+1)=0，
∴x﹣6=0或x+1=0，
∴x1=6，x =﹣1．
（6）x(x﹣2)=10x﹣20，
x(x﹣2)=10(x﹣2)，
x(x﹣2)﹣10(x﹣2)=0，
(x﹣2)(x﹣10)=0，
x﹣2=0或x﹣10=0，
x1=2，x =10．
（7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)，
移项得(x﹣1)2+2x(x﹣1)=0，
因式分解得(x﹣1)(x﹣1+2x)=0，
即x﹣1=0或3x﹣1=0，
解得x1=1，x =．
【题型2】用因式分解法解形如x +px+q=0型的一元二次方程
【典型例题】下列各数中，是方程x +x-2=0的根的是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】x +x-2=0，(x+2)(x-1)=0，∴x+2=0或x-1=0，∴x1=-2，x =1．
故选：A.
【举一反三1】已知3是关于x的方程x -(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为(　　)
A.7 B.10 C.11 D.10或11
【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0，解得m=6，
则原方程为x -7x+12=0，解得x1=3，x =4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，△ABC的周长为10或11．
故选：D.
【举一反三2】方程2x +3x-2=0的两个根为(　　)
A.x1＝ 2，x ＝ B.x1＝2，x ＝ C.x1＝ 2，x ＝ D.x1＝2，x ＝
【答案】A
【解析】2x +3x-2=0，(x+2)(2x-1)=0，x+2=0或2x-1=0，解得x1=-2，x =．
故选：A.
【举一反三3】三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x -16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是____________．
【答案】24或8
【解析】∵x -16x+60=0，∴(x-6)(x-10)=0，解得x1=6，x =10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①AB=AC=6，BC=8，AD是高，
∴BD=4，AD==2，
∴S△ABC=BC AD=×8×2=8；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，S△ABC=BC AC=×8×6=24．
综上所述，该三角形的面积是24或8．
【举一反三4】用适当的方法解下列方程：
（1）x +2x+1=4；
（2）x +x-6=0；
（3）x +10x+21=0；
（4）x -x-1=0；
（5）x 2x+7＝0；
（6）2x(x-3)+x=3．
【答案】解：（1）x +2x+1=4，
(x+1)2=4，
x+1=±2，
所以x1=1，x =-3．
（2）x +x-6=0，
(x+3)(x-2)=0，
x+3=0或x-2=0，
所以x1=-3，x =2．
（3）x +10x+21=0，
(x+3)(x+7)=0，
x+3=0或x+7=0，
所以x1=-3，x =-7．
（4）Δ=(-1)2-4×1×(-1)=5，
x=，
所以x1=，x =．
（5）x 2x+7＝0，
∴(x )2＝0，
解得x1＝x ＝．
（6）2x(x-3)+x=3，
∴2x(x-3)+x-3=0，
∴(x-3)(2x+1)=0，
解得x1=3，x ＝ ．
【举一反三5】按要求解方程：
（1）x +8x=9(配方法)；
（2）(2x+1)2-25=0(因式分解法)．
【答案】解：（1）x +8x=9，
x +8x+16=9+16，即(x+4)2=25，
∴x+4=±5，
∴x1=1，x =-9．
（2）(2x+1)2-25=0，
(2x+1-5)(2x+1+5)=0，
(2x-4)(2x+6)=0，
∴2x-4=0或2x+6=0，
∴x1=2，x =-3．