北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 题型专练（含答案）

北师大版（2024）九年级上册 第四章 图形的相似7 相似三角形的性质 题型专练
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是(　　)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.30 cm
【举一反三1】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　)
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶18 D.1∶81
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为__________．
【举一反三4】如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC∶OD＝1∶2，AC＝5，则BD的长为__________．
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【举一反三6】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图1，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：＝k.
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(　　)
A.1∶3 B.3∶1 C.9∶1 D.1∶9
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
【举一反三2】两个相似三角形对应高的长分别为8 cm和6 cm，则它们的面积比为(　　)
A.4∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.16∶9
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
【举一反三4】已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【举一反三6】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE．
【题型3】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）
A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺
【举一反三2】在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，那么∠B的度数是（　　）
A.40° B.60° C.80° D.100°
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于　 　．
【举一反三4】如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是　 　．
【举一反三5】如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝　 　，说明理由；
（3）当＝　 　时，四边形BCEF是菱形，说明理由．
北师大版（2024）九年级上册 第四章 图形的相似7 相似三角形的性质 题型专练（参考答案）
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是(　　)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.30 cm
【答案】C
【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.
【举一反三1】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为1∶4，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶4；故选C.
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为(　　)
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶18 D.1∶81
【答案】B
【解析】∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴两三角形的相似比为1∶9，∴△ABC与△DEF对应的高的比1∶9，故选B.
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为__________．
【答案】2∶3
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2∶3.
【举一反三4】如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC∶OD＝1∶2，AC＝5，则BD的长为__________．
【答案】10
【解析】∵△AOC∽△BOD，∴＝，即＝，解得BD＝10.
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM＝=7.5，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，
∴，即=，
∴DF＝5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN＝；
（2）∵，相似比为，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
【举一反三6】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图1，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：＝k.
【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，∵AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，∴∠BAD＝∠B1A1D1，又∠B＝∠B1，∴△BAD∽△B1A1D1，∴＝＝k.
【题型2】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(　　)
A.1∶3 B.3∶1 C.9∶1 D.1∶9
【答案】D
【解析】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶9.故选D.
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
【答案】D
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是1∶4.故选D.
【举一反三2】两个相似三角形对应高的长分别为8 cm和6 cm，则它们的面积比为(　　)
A.4∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.16∶9
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形对应高的比是8∶6＝4∶3，∴它们的面积比是16∶9，故选D.
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.
【举一反三4】已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.
【答案】3
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM＝=7.5，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，
∴，即，
∴DF＝5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN＝；
（2）∵，相似比为，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
【举一反三6】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE．
【答案】解：∵△ADE∽△ABC，
∴S△ABC：S△ADE＝（）2，
∴20：S△ADE＝，
解得S△ADE＝．
【题型3】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：B．
【举一反三1】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）
A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺
【答案】D
【解析】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD AB＝62.5 5＝57.5（尺）．
故选：D．
【举一反三2】在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，那么∠B的度数是（　　）
A.40° B.60° C.80° D.100°
【答案】B
【解析】∵∠D＝60°，∠E＝80°，
∴∠F＝40°，
∴∠A＝∠F，
∵，
∴△ABC∽△FDE，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B＝∠D＝60°．
故选：B．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于　 　．
【答案】78
【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，△ABC的面积＝AB AC＝×15×20＝150，
∵AD＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠BAC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴=，即=，
解得：CE＝12，
∴BE＝BC﹣CE＝13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积＝BE：BC＝13：25，
∴△ABE的面积＝×150＝78；
故答案为：78．
【举一反三4】如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是　 　．
【答案】36
【解析】∵DG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，
∴，即=，
∴DE＝6，
∴DG＝2DE＝12，
∴矩形DEFG的周长＝2×（6+12）＝36．
故答案为：36．
【举一反三5】如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC．过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝　 　，说明理由；
（3）当＝　 　时，四边形BCEF是菱形，说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EF∥BC．
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）当四边形BCEF是正方形时，DF＝1．
理由如下：当四边形BCEF是正方形时，BF＝BC＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°．
∴AF＝＝＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4．∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
∴当四边形BCEF是正方形时，DF＝1．
故答案为：1．
（3）当＝时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：当四边形BCEF是菱形时，BF＝BC＝4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．
∴＝，即＝＝．
∴当＝时，四边形BCEF是菱形．
故答案为：．