浙教版九年级上册 第1章 二次函数 单元测试（含答案）

浙教版九年级上 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y=-2x+1 B．y=x（1+x） C． D．y=3x
2．抛物线y=-3（x-1）2+5的对称轴是（　　）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-5 D．直线x=5
3．二次函数y=3x2-6的顶点坐标为（　　）
A．（1，-6） B．（0，6） C．（0，-6） D．（3，-6）
4．要得到y=-4（x+3）2-5的图象，需将抛物线y=-4x2（　　）
A．向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度
5．抛物线y=x2+（k-1）x+3的对称轴在y轴右侧，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞3 D．k＜3
6．已知二次函数y=x2-2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），则关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根是（　　）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=2 D．x1=-1，x2=3
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b=0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=2，其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．设二次函数y=x2-kx+3k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1-y3=a,y2-y4=b,（　　）
A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＞5 B．若ab＞0，且a+b＜0，则k＜4
C．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5 D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞6
9．已知二次函数y=4（x-a）（x-b）（a,b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k,（　　）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜-1 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞-1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜-3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞-3
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，c＜0）经过（1，1），（m,0），（n,0）三点，且n 3．有下列结论：
①4ac-b2＜4a；
②当n=3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c和直线y=kx+b都经过点（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，那么下列说法正确的是（　　）
A．ac＞0
B．b2-4ac＜0
C．k=2a+c
D．x=4是不等式ax2+bx+c＜kx+b的解
12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（2，0），对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法中正确的是（　　）
①抛物线过原点；
②a-b+c＞0；
③2a+b+c=0；
④抛物线顶点为（1，-a）；
⑤当x＜1时，y随x的增大而增大．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=x2-4x-6对称轴是 ______．
14．将抛物线y=x2向左平移1个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线表达式是 ______．
15．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 ______米．
16．若抛物线y=x2-2x-k与x轴没有交点，则k的取值范围 ______．
17．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．抛物线y=a（x+m）2是由抛物线y=3x2平移得到的，且对称轴是直线x=5，求y=a（x+m）2的解析式．
19．已知抛物线解析式为y=5x2-10x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．
20．一座拱形桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少？
（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图1）可设抛物线的表达式为y=ax2+c.
请你填空：a=______，c=______，EF=______米．
（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图2）计算如下：设圆的半径是r米，在Rt△OCB中，易知r2=（r-4）2+102，r=14.5．同理，当水面上升3米至EF，在Rt△OGF中可计算出GF=______米，即水面宽度EF=______米．
21．据传，娄底市得名于天上二十八星宿中的“娄星”和“氐星”在此交相辉映．我们不妨约定：若两个函数关于点P（0，1）中心对称，则称这两个函数互为“星星函数”．
（1）按此约定：y=2024x-2024的“星星函数”是：______；
（2）对于函数y=x2+mx-1的“星星函数”，当m≤x≤m+1时，y都大于0，求m的取值范围；
（3）已知与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，它的“星星函数”与x轴交于D、E两点，与y轴交于点F．若OC OF=OA OB，设△DEC的面积为S，有，令K=4x2+bx-b,求K的最小值．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=，求点M的坐标．
浙教版九年级上第1章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、C 4、D 5、B 6、D 7、C 8、D 9、B 10、B 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、直线x=2； 14、y=（x+1）2-3； 15、； 16、k＜-1； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：函数的对称轴为直线x=5，即m=-5，
而抛物线的形状与抛物线y=3x2相同，则a=3，
故平移后抛物线的解析式为：y=3（x-5）2．
19、解：（1）由题知，
因为抛物线解析式为y=5x2-10x+3，
所以，
将x=1代入函数解析式得，
y=5×12-10×1+3=-2，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-2）．
（2）由（1）可知，
抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，
所以当x＜1时，y随x的增大而减小．
20、解：（1）AB是20米，则AC=10米，拱高CD是4米．则A，D的坐标分别是（-10，0），（0，4）
把这两点的坐标代入解析式得到：，
解得：，
则解析式是y=-x2+4．
把y=3代入解析式解得x=±5，则EF=10米；
故答案为：-，4，10；
（2）在Rt△OGF中，由题可知，OF=14.5，OG=14.5-1=13.5，
根据勾股定理知：GF2=OF2-OG2，
即GF2=14.52-13.52=28，
所以GF=2，此时水面宽度EF=4米．
故答案为：2，4．
21、解：（1）设点M（m,2024m-2024）是抛物线上的点，
则该点关于（0，1）的对称点为（-m,2026-2024m），
则对称点在函数y=2024x+2026，
故答案为：y=2024x+2026；
（2）由（1）知，新函数表达式为：y=-x2+mx+3，
当m＞0时，函数大概的图象如下：
当m≤x≤m+1时，y都大于0，则需要x=m+1时，y＞0，
即-（m+1）2+m（m+1）+3＞0，
解得：m＜2，
即0＜m＜2；
当m＜0时，
同理可得：当m≤x≤m+1时，y都大于0，则需要x=m时，y＞0，
即-m2+m×m+3＞0，
上式恒成立，即m＜0，
综上，m＜2且m≠0；
（3）由新定义得，函数的表达式为：y=x2+bx-c+2，
则OC=c,OF=|-c+2|，
而OA OB=-x1x2=2c=OC OF=|-c+2|×c,
解得：c=0（舍去）或4，
则函数的表达式为：y=x2+bx-2，
设点D、E的横坐标为m、n,
则m+m=-2b,mn=-4，
则|m-n|==2，
则S=×|m-n|×CO=2|m-n|，
∵，
即12≤4≤4，
解得：3≤b≤7；
对于K=4x2+bx-b,
当x=-b时，K取得最小值，
此时，K=-b2-b,该函数的对称轴为直线b=-8，
∵3≤b≤7，
故当b=7时，K取得最小值为：-．
22、解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）在直线l上存在一点P，使PA-PD有最大值，理由如下：
连接AC并延长交直线l于P，在直线l上取点P'，连接CP'，如图：
在y=-x2+2x+3中，令x=0得y=3，
∴C（0，3），
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴P'C=P'D，
当P'不与P重合时，P'A-P'D=P'A-P'C＜AC，
∴当P'与P重合时，PA-PD=P'A-P'D=P'A-P'C=AC，此时PA-PD最大，最大值为AC的长，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴AC==，
∴PA-PD的最大值为；
（3）过M作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过N作NT⊥KT于T，如图：
设M（m,-m2+2m+3），
∵MN⊥CM，
∴∠NMT=90°-∠CMK=∠KCM，
又∠T=∠K=90°，
∴△MNT∽△CMK，
∴=，
∵tan∠MCN=，
∴=，
∴=，
由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4知直线l解析式为x=1，
∴=，即||=，
∴=或=-，
解得m=3或m=或m=-1或m=，
∴M的坐标为（3，0）或（，）或（-1，0）或（，）．