第二十七章 相似 单元测试（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章相似单元测试
一、选择题：本大题共15小题，共45分。
1.下列四组图形中，不是相似图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知∽，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.若与的相似比为，则与的面积比为( )
A. B. C. D.
4.如果，那么
A. B. C. D.
5.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
6.下列说法不正确的是( )
A. 两角对应相等的三角形是相似三角形 B. 两边对应成比例的三角形是相似三角形
C. 三边对应成比例的三角形是相似三角形 D. 两个等边三角形一定是相似三角形
7.下列四条线段中，不是成比例线段的为( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
8.如图，在中，，且，，，则AC的长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
9.已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形( )
A. 一定不相似 B. 不一定相似 C. 一定相似 D. 不能确定
10.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把按相似比2放大，得到，那么点的坐标为( )
A. B. C. D. 或
11.在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是
A. B. C. D.
12.小红在打网球时，为使球恰好能过网网高，假设球沿直线运动，如图所示，且落在对方区域离网5 m的位置上，已知她的击球高度是，则她应站在离网( )
A. 处 B. 8 m处 C. 10 m处 D. 15 m处
13.如图，是等腰三角形，，点D在边AB上，点E在CB的延长线上．已知，，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为( )
A. B. C. D. 1
14.如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，，若，，则( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
15.如图，在矩形ABCD中，，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交BC，AD于点E，下列结论：①四边形AECF是菱形；②；③；④若AE平分，则其中正确的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本大题共4小题，共12分。
16.若∽，且，则与的周长之比为 .
17.如图所示的是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是 .
18.如图，五边形ABCDE与五边形位似，对应边，若位似中心O到A的距离为6，则点O到点的距离为 .
19.如图，在中，，，点D与点A在直线BC的同一侧，且，，E是线段BC延长线上E的一个动点．当和相似时，CE的长为 .
三、解答题：本大题共8小题，共66分。
20.如图，已知：在与中，，，，求证：∽
21.如图，已知，AF与BE交于点O，若，，，，求DF和OD的长．
22.如图，在 ABCD中，过点A作，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且求证：∽
23.如图，已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，正方形网格中每个小正方形的边长是
以点B为位似中心，在网格内画出将按相似比2放大得到的，点的坐标是________；
的面积是 .
24.已知：如图，在等腰中，，，AE是的外角平分线，BF是的平分线，BF的延长线交AE于点求证：
；
25.宝严寺塔图，俗称“东关塔”，位于西平县城东关，故名．该塔造型古朴，2006年6月被批准为国家级文物保护单位．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量宝严寺塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与宝严寺塔顶点A在同一条直线上．已知，，目测点D与地面的距离，到宝严寺塔的水平距离，求宝严寺塔的高度
26.如图，已知∽，若B，E，F三点共线，线段EF与AC交于点
求证：∽；
若，，的面积为8，求的面积．
27.如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与交于点G，若
求证：①∽；②CD是的切线；
若，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】C
【解析】解：∽，，
故选：
利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】
解：∽，相似比为1：3，
与的面积比为1：9，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查比例的性质，属于基础题.
根据题意设，，代入计算即可.
【解答】
解：，
设，，，
故选
5.【答案】C
【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
故选：
根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
本题主要考查相似三角形的判定以及性质．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．分别利用相似三角形的判定方法判断得出答案．
【解答】
解：两角对应相等的两个三角形相似，正确，不合题意；
B.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似，故选项B错误，符合题意；
C.三边对应成比例的两个三角形相似，正确，不合题意；
D.两个等边三角形一定是相似三角形，正确，不合题意.
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决.
【解答】
解：选项A中，因为，，所以
选项B中，四条线段按从小到大的顺序排列是a，c，b，d，
因为，，所以
选项C中，因为，，所以
选项D中，因为，，所以
故选
8.【答案】C
9.【答案】C
【解析】解：一个三角形的两个内角分别是，，
第三个内角为，
又另一个三角形的两个内角分别是，，
这两个三角形有两个内角相等，
这两个三角形相似．
故选
根据有两个内角相等的三角形相似，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，三角形的内角和等知识，解题的关键是熟练应用两角对应相等的两个三角形相似解决问题，属于基础题．
10.【答案】D
11.【答案】D
【解析】【分析】
由在和中，，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案，注意两边及其夹角法中角必须是夹角．
【解答】
解：在和中，，
A、当时，∽，故能判定这两个三角形相似；
B.当时，∽，故能判定这两个三角形相似；
C.当时，∽，故能判定这两个三角形相似；
D.当时，与不相似，
故答案为
12.【答案】C
【解析】解：设她应站在离网的x米处，
根据题意得：，
解得：
故选
由于人和球网是平行的，可以构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出球拍的高度．
13.【答案】B
【解析】【分析】
取CF的中点G，连接BG，证出BG是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出比例式，因此，则，得出，即可得出AF的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由三角形中位线定理得出是解决问题的关键．
【解答】
解：取CF的中点G，连接BG，如图所示：
，，
点B为EC的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
；
故选：
14.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，属于中档题．
根据菱形的性质可得，然后求出和相似，再利用相似三角形对应边成比例列出式子求解即可．
【解答】
解：在菱形ABCD中，，
又，，
，
∽，
，
即，
解得
故选
15.【答案】B
【解析】解：设AC、MN相交于点O，根据题意知，EF垂直平分AC，
，，
，
四边形ABCD上是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
，，
，
，
故②结论正确；
，
即，
故③结论不正确；
若AE平分，则，
，
，
，
故④结论正确；
所以正确的结论有3个．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
16.【答案】
17.【答案】16
18.【答案】9
19.【答案】3或
20.【答案】解：在中，，
在和中，，
∽
【解析】在中求出，利用两角法可判定∽
本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，相似三角形的判定最常用的就是两角法．
21.【答案】解：，
，
即：，
解得：，
，
，
即：，

【解析】根据，于是得到，解方程即可得到，由于，于是得到，解方程得到
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，，
，
∽
【解析】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．先根据平行线的性质得出，，再根据，可得出，由此可得出结论．
23.【答案】【小题1】
解：图略
【小题2】
10

24.【答案】【小题1】
证明：，，是的平分线，，
【小题2】
，都是底角为的等腰三角形，∽又，

25.【答案】解：由题意，得，，又，∽，即解得答：宝严寺塔的高度AB为
26.【答案】【小题1】
解：证明：∽，，，即，∽
【小题2】
由知，∽，，∽，∽，

27.【答案】【小题1】
解：证明：①，，∽②，，是的半径，是的切线．
【小题2】
过点F作交OC于点H，，，易证≌，由勾股定理，得∽，，，

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