1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动- 人教版（2019）选择性必修第二册（含解析）

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1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、单选题
1.氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中
A. 角速度越来越大 B. 角速度越来越小
C. 向心加速度越来越大 D. 向心加速度越来越小
2.年，美国物理学家安德森在宇宙射线实验中发现了正电子，证实了反物质的存在。实验中，安德森记录了正电子在云室中由上向下经过铅板的轨迹如图所示，匀强磁场方向垂直于纸面，正电子穿过铅板会有部分能量损失，其他能量损失不计，则可判定正电子( )
A. 所在磁场方向一定垂直于纸面向里 B. 穿过铅板后受到洛伦兹力变大
C. 穿过铅板后做圆周运动的半径变大 D. 穿过铅板后做圆周运动的周期变大
3.如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子不计重力从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是( )
A. 带正电， B. 带正电， C. 带负电， D. 带负电，
4.如图所示，边长为的正六边形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场。带正电的粒子从边的中点以某一速度垂直边射入磁场，恰好从相邻边的中点射出磁场，不计粒子重力。则下列说法正确的是( )
A. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为
B. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为
C. 粒子射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角为
D. 若粒子与边成角斜向右下方射入磁场，调整速度大小，粒子可能从点射出磁场
5.如图所示，直角三角形区域内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外的匀强磁场。，，为的中点，为的中点，在点有一粒子源不断沿垂直于方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为、电荷量均为，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是
A. 可能有粒子从点射出磁场
B. 从点离开磁场的粒子的速度大小为
C. 从边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 负粒子在磁场中运动的最长时间为
6.如图所示，上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度从磁场边界上点进入磁场，然后从磁场边界上点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是( )
A. B.
C. D.
7.在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为
A. B. C. D.
8.如图所示，在平面的的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子从原点朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子数占总数的，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为( )
A. B. C. D.
9.如图所示，真空区域有同心圆和，半径分别为和，为圆心，圆内和圆外足够大的区域均存在有垂直圆面的匀强磁场，磁感应强度大小均为，方向相反、之间充满辐向电场，电场方向均指向圆心。质量为，电荷量为的带电粒子从圆上的点沿方向射入，入射速度大小为，已知带电粒子第二次经过圆外匀强磁场区域后，再经电场恰好回到点并沿方向射入。不计粒子重力，忽略边界效应，则圆、之间电势差为( )
A. B. C. D.
10.一质量为、电量为的带电粒子以速度从轴上的点垂直轴射入第一象限，第一象限某区域有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与轴正方向夹角。如图所示粒子仅受洛伦兹力，下列说法正确的是( )
A. 如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是
B. 如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是
C. 如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是
D. 如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是
11.圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子、从圆周上的点沿直径方向以相同的速度射入磁场，粒子、的运动轨迹如图所示。已知粒子离开磁场时速度方向偏转了，粒子离开磁场时速度方向偏转了，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A. 粒子、都带负电
B. 粒子、在磁场中运动的时间之比为
C. 粒子、的比荷之比为
D. 粒子、在磁场中运动轨迹的半径之比为
12.如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从点沿电场方向射入，为其一段运动轨迹，点为轨迹的最右端，点为的正下方，不计空气阻力。关于小球从经到点的过程中，下列说法正确的是( )
A. 小球做匀变速运动 B. 小球的机械能守恒
C. 小球从到速度先减小后增加 D. 小球在、两点的动能可能相等
13.如图所示为空间直角坐标系，平面为水平面。空间存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。一可视为质点的带正电小球从轴上处以初速度水平抛出。已知小球的比荷，重力加速度取，则小球落到水平面的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.如图所示，以为圆心、为半径的半圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，点为半圆弧的二等分点，点为半圆弧四等分点。现有一束带正电的粒子垂直于直径和磁场方向以速度射入磁场区域。已知经过点的粒子恰好与相切通过点，则下列说法中正确的是( )
A. 从圆弧上射入磁场的粒子，在磁场中的运动时间相等
B. 从圆弧上射入磁场的粒子均可以通过点
C. 从点射入磁场的粒子，在磁场中的运动时间为
D. 若粒子的射入速度变为，则除点入射的粒子外仍有粒子能够通过点
15.如图所示，平面直角坐标系中，第四象限内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外，第二、三象限内存在匀强电场，电场强度大小为，方向沿轴正方向。一个带负电的粒子从点以速度沿轴正方向射出，恰好从坐标原点进入磁场，从点射出磁场。不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A. 运动过程中，电场力、洛伦兹力对带电粒子都做正功
B. 带电粒子的比荷为
C. 粒子从点射出时速度的大小为
D. 粒子从点运动到的时间为
16.如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上。该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场。不计粒子重力，，。下列说法正确的是( )
A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度
B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间
C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为
D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过
17.匀强磁场水平向左，一带正电的粒子以速度进入磁场，初速度方向与磁场反方向夹角为，已知粒子质量为，电荷量为，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正确的是
A. 螺旋的半径为
B. 相邻两螺旋间距为
C. 带电粒子在运动时加速度大小不变
D. 若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角为满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值
18.如图所示，在某空间的一个区域内有一直线与水平面成角，在两侧存在垂直于纸面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小为。从直线上的点水平向右射出速率为的粒子，粒子带正电，比荷为，若粒子运动过程中经过直线上的点，粒子从点运动到点的时间为。已知，不计粒子重力。则( )
A. 可能为 B. 可能为 C. 可能为 D. 一定为
19.如图所示，在直角坐标系平面内，的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子源位于坐标为的点，向坐标为的点发射质量为，电荷量为的粒子，粒子重力忽略不计，速度大小可以调节。在坐标为处放置一平行于轴的挡板，挡板中点位于轴上，长度略大于。已知粒子与挡板碰撞后，方向的分速度不变，方向的分速度等大反向。若粒子最终能返回点，则粒子的速度大小可能是( )
A. B. C. D.
三、计算题
20.如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心的正下方点离开磁场。求：
粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径；
粒子射入磁场的速度大小；
圆形磁场的磁感应强度。
21.如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在范围足够大、磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ；第四象限内，在区域存在沿轴正方向的匀强电场未画出，在区域存在一定宽度且足够长、磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ。已知，坐标为的点处固定一粒子源，沿轴正方向发射速度大小为、带正电的粒子束。粒子的质量为，电荷量为，粒子第一次经过轴的位置为点。已知，忽略粒子间的相互作用及粒子所受重力。
求磁场的磁感应强度大小；
粒子第一次进入磁场后，恰好不从磁场的下边界射出，求磁场的宽度。
22.如图所示，在纸面内建立平面直角坐标系，在第一象限的部分区域分布有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小的有界匀强磁场图中未画出，磁场的左边界与轴重合，磁场的右边界与曲线其中，单位：相切。从轴上的点沿轴正方向射入许多质量均为、电荷量均为的带正电粒子，不计粒子的重力及相互作用力，已知所有粒子均垂直磁场左边界射出，取。求：
粒子在磁场中运动的时间；
磁场区域的最小面积；
速率最大的粒子从点到达磁场右边界时动量改变量的大小。
23.如图所示，直角坐标系在竖直平面内，整个区域内有垂直于坐标系平面向外，磁感应强度为的匀强磁场，轴左侧还有场强为、方向竖直向上的匀强电场。在第一象限内有一倾角为的细直杆，某时刻从杆上的点以非常小的速度释放一个质量为，电荷量为的小球小球套在细杆上，可当作质点，其与杆之间的动摩擦因数。小球在点离开细杆进入到轴左侧的复合场中继续运动，已知重力加速度为。
小球在杆上运动时，先达到一最大加速度，又在到达前达到一个稳定的速度，求出和的大小；
求小球离开后离轴的最远距离和从点至第一次打到轴的时间；
答案和解析
1.【答案】
【解析】A、洛伦兹力提供向心力，周期，电子运动的过程中，周期不变，角速度不变，AB错误；
C、向心加速度，减小，向心加速度越来越小，C错误D错误。
2.【答案】
【解析】A.根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故A正确
B.根据，正电子速度减小，受到的洛仑兹力减小，故B错误
C.设正电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有，解得，所以运动半径减小，故C错误
D.正电子在磁场中做匀速圆周运动的周期，穿过铅板前后，运动的周期不变，故D错误。
3.【答案】
【解析】、粒子能穿过轴正半轴，则由左手定则知粒子带正电，故CD错误；
、刚好没能从右边界射出磁场，轨迹与右边界相切，作出运动轨迹，如图，
由几何关系知，结合得：。故B正确，A错误。
故选B。
4.【答案】
【解析】、已知入射方向和出射点对轨迹的分析，根据几何关系，粒子在点受到的洛伦兹力向左，圆心在边所在直线上，的中垂线过圆心，交点在点，所以圆心在点，粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为，而速度偏转角等于圆心角，故AB错误，C正确；
D、是否会从某顶点射出基本判断方法：当时，可以过磁场边界交点，发射点到磁场边界交点的距离为，如图甲所示；当时，不能通过磁场边界交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示，本题入射方向与方向成角，大于，无法到达点，故D错误。
5.【答案】
【解析】正电子恰好从边界射出的轨迹如图所示，根据正电子的运动的轨迹可知，不可能从点射出磁场，选项A错误；
负电子从点离开磁场的轨迹如图，负电子从点离开磁场时，由几何关系知，解得，则负电子的速度大小为，选项 B错误；
当从边射出的正电子运动的轨迹与相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为，则最长时间，选项 C正确；
负粒子在磁场中运动的最长时间为从射出，则在磁场中运动的最长时间为，选项 D错误。
6.【答案】
【解析】粒子离开磁场时弦长为：，其中表示初速度与的夹角，则可以表示速度在垂直方向的分速度，此值不变，故选 B。
7.【答案】
【解析】D、下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，若离子通过下部分磁场直接到达点，如图甲所示，
根据几何关系则有，由，可得，
根据对称性可知出射速度与成角斜向上，但是出射方向与入射方向的夹角为。故D错误
C、当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，，则根据几何关系可得有，，
根据洛伦兹力提供向心力，有，可得，此时出射方向与入射方向相同。故C正确；
、通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，此时出射方向与入射方向的夹角为；
当离子从上部分磁场射出时，需满足，此时出射方向与入射方向相同。
8.【答案】
【解析】根据洛伦兹力提供向心力可得 ，
可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围有，
则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得能从上边界射出的电子的发射角度在 ，
设轨迹半径为 ，则由几何关系知，
，
代入得，故ABD错误，C正确。
故选C。
9.【答案】
【解析】粒子运动轨迹如图所示
带电粒子在圆中半径为，每次偏转角为，洛伦兹力提供向心力，解得，故，可得，
带电粒子在圆外半径为，每次偏转角为，，可得，，解得，洛伦兹力提供向心力，解得，
圆、之间电势差为，有
解得，
故选C。
10.【答案】
【解析】由洛伦兹力充当向心力得，所以半径为，运动轨迹如下图所示
若是圆形区域磁场，则以为直径的圆面积最小，，故最小面积为 ，AB错误；
若是矩形区域磁场，则以为长，以圆弧最高点到的距离为宽，则矩形的面积最小，，所以矩形区域磁场最小面积为，C正确，D错误。
故选C。
11.【答案】
【解析】A.粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则由左手定则可得，粒子都带正电，故A错误；
D.两个粒子进入磁场时速度指向圆心且水平，则出磁场时速度反向延长线过圆心，轨迹圆半径与速度方向垂直，则可作图得到圆心分别为、，如图设磁场圆半径为，则由几何关系可得，两轨迹圆半径分别为
则粒子、在磁场中运动轨迹的半径之比为
故D错误；
粒子在磁场中做圆周运动有
化简得
由于速度相同，相同磁场，则可知比荷之比等于轨迹半径的反比，即 ，两粒子在磁场中运动时间分别为
综合可得
故B错误，C正确。
故选C。
12.【答案】
【解析】A.小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，洛伦兹力与速度方向垂直，所以洛伦兹力的大小和方向均会发生变化，小球的加速度会变化，故A错误；
B.洛伦兹力不做功，电场力做功，所以机械能不守恒，故B错误；
C.把重力和电场力合成为一个等效重力，其方向斜向左下方，等效最高点在到的中途某处，而洛伦兹力不做功，所有小球从到的过程中速度先减小后增大，故C正确
D.小球从点到点洛伦兹力不做功，但重力和电场力都做了正功，动能增加，故D错误。
13.【答案】
【解析】将小球的运动分解为以初速度的水平面匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动，对于水平面匀速圆周运动有，解得轨道半径为，周期为，小球在竖直方向，解得，，小球在水平面上转动圈，坐标为，选项A正确。
14.【答案】
【解析】由题给条件得，粒子在磁场中运动轨道半径为，由磁聚焦可判断从圆弧射入磁场的粒子，均可汇聚到点，但时间不相等，入射点越接近点，运动时间越短，故A错误、B正确
沿着点入射的粒子，其运动轨迹如图甲，由题意可知，点到的距离，即，而粒子运动的半径为，因此粒子轨迹对应的圆心角，故而粒子的运动时间，故C正确
方法一：根据磁聚焦原理，只有当粒子的速度为时，才能经过点，当速度为时，除点入射的粒子外，不会有粒子经过点。
方法二：假设粒子可以通过点，则可以得到如图乙轨迹，为轨迹的圆心，轨迹的半径，在上选取一点，使得，则此时四边形为菱形，再有，，但是此时，无法构成三角形，因此粒子不可能经过点，故D错误。
15.【答案】
【解析】A、运动过程中，电场力对带电粒子做正功，洛伦兹力不做功，故 A错误；
B、粒子在电场中做类平抛运动，水平方向
可得
竖直方向
加速度
联立解得 ，故B正确；
C、粒子在电场中运动只有电场力做功，从到，根据动能定理有，
可得 ，粒子进入磁场后，洛伦兹力不做功，速度大小不变，所以从点射出时速度大小为 ，故C错误；
D、粒子在电场中运动时间 ，
粒子进入磁场时，与水平方向夹角的余弦值 ，
即 ，
运动轨迹如图所示：
由几何关系 ，
可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为 ，
运动轨迹所对应的圆心角为 ，在磁场中运动时间 ，
可得，
粒子从点运动到的时间 ，故D正确。
故选BD。
16.【答案】
【解析】A. 若粒子恰好从点射出磁场，几何关系可知，粒子圆周运动半径为，根据解得，故A错误；
B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，轨迹如图：
设轨迹圆半径为，由几何关系可知，解得，则，可知，则粒子在磁场中运动的时间，故B正确
C. 若，则轨迹圆半径，这种情况粒子从边射出，设粒子射出磁场时速度方向与轴正方向夹角为，则，即，故C错误
D. 若粒子从边射出磁场，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大不超过，则最长运动时间，所以粒子在磁场中运动的时间一定不超过，故D正确。
17.【答案】
【解析】，带电粒子螺旋半径为，故A错误
，相邻两螺旋间距为，B错误
，带电粒子在水平方向上做匀速直线运动，竖直面内匀速圆周运动，所以其加速度大小不变，C正确
，由图可知，，，，
一个周期内通过的体积，
又因为，
当时，带电粒子在一个周期内通过的体积有最大值。D正确
18.【答案】
【解析】将分成等份，可知半径，由，可得，故选项A正确，选项B错误；
时间一定为，选项C错误，选项D正确。
故选AD。
19.【答案】
【解析】粒子经过一段时间回到点，有两种情况：经磁场偏转后直接回到点经若干次磁场偏转和若干次与挡板碰撞后回到点。
如图所示，
若粒子与挡板任意位置发生碰撞，设，，粒子在磁场中运动的轨迹半径为，为，有，，又，可得，设粒子与挡板碰撞次为自然数，取时粒子经磁场偏转后直接回到点，则有，可得，当粒子第一次从磁场中射出后与挡板的最上端发生碰撞时，粒子的发射速度最小，有，，，，，因，得，粒子在磁场中运动有，联立得，当、、、时，速度分别为、、、，BCD正确，A错误。
20. 【解析】画出轨迹图如图：
；
在矩形磁场区域，根据几何关系
求得。
根据
解得。
粒子在圆形磁场区域内，根据
解得。
21.【解析】粒子在磁场Ⅰ中的运动轨迹如图所示，
有

可得粒子在磁场中的运动轨迹半径
解得
设粒子第一次进入电场时速度与轴负方向的夹角为，
则
粒子在电场中受到水平向右的恒力，故在轴方向做匀速直线运动，在轴方向做匀变速直线运动
故粒子第一次进入磁场Ⅱ时垂直磁场边界入射，如图所示
粒子在磁场Ⅱ中运动时
得轨迹半径为
故磁场宽度为
22.【解析】由于所有粒子均垂直磁场左边界射出，可知粒子在磁场中做半个圆周运动。根据周期公式，将，，代入可得：，粒子在磁场中运动的时间，即；
速率最大的粒子在磁场中运动到磁场右边界，其轨迹圆与曲线相切。设此粒子的轨迹圆半径为，轨迹方程为，又，可得，由于两曲线相切，只有一解，则，可得，则磁场区域的最小面积为，解得；
如图甲，速率最大的粒子的轨迹圆与曲线的切点为。
由知速率最大的粒子轨迹圆半径，代入轨迹方程求得点的横坐标为，粒子从点运动到轨迹圆心角满足，，由，得， 如图乙，由矢量运算法则知，此过程中粒子动量改变量大小为。
23.【解析】小球在杆上运动，当所受弹力时，摩擦力，此时加速度最大，
有：
解得：
当速度稳定时即达最大速度，加速度为，此时小球受力如右图示，有
垂直杆方向：
沿杆方向：
又：
解得：
小球在电场中受到的电场力大小为，方向竖直向上，与重力平衡。
小球以速率离开杆进入到轴左侧的复合场后，相当于洛伦兹力的作用下做的匀速圆周运动，轨迹如下图所示，有：
可得：
由图中几何关系得小球离轴的最远距离：

运动周期：
从点运动第一次到轴的时间为：
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