第1章 特殊平行四边形 能力过关检测卷-2025-2026学年北师大版九年级上册数学（含答案）

第1章特殊平行四边形 能力过关检测卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补
2.如图，在菱形ABCD中，，，则AC的长为
A. 10 B. C. D. 5
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标是
A. B. C. D.
4.如图是一农村民居的侧面示意图，屋顶AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形BDEC为矩形.若测得，则的度数为
A. B. C. D.
5.下列说法正确的有( )
①对角线相等的四边形是矩形；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有一个角为直角的四边形是矩形；
④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. 对角线BD的长度减小
C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，则AD边上的高为
A. B. 8 C. D. 10
8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，若，则四边形CODE的周长为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9.如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形要使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是
A. B. C. D.
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，是等边三角形，连接AC交EF于点下列结论：①；②；③AC垂直平分EF；④其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.已知一直角三角形的斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为 .
12.如图，已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请你添加一个适当的条件： ，使菱形ABCD变为正方形.
13.将三个大小不同的正方形按如图所示的方式放置，且顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为 .
14.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，在中，，，，点D从点C出发，沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发，沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.过点D作于点F，连接EF，设点D，E运动的时间是当t的值为 时，四边形AEFD为菱形.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，且求证：四边形ABCD是矩形.
17.如图，已知，AC平分，交BF于点
尺规作图：作的平分线，交AE于点D；保留作图痕迹，不写作法
连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
18.如图，在中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，于点G，
求证：；
若，，连接ED，求的面积.
19.科技改变生活，科技的发展提升了我们的生活品质.如图①是某公司生产的正方形玻璃清洁机器人.如图②，某一时刻，机器人到达玻璃窗的边沿清洁，其顶点A，D分别在玻璃窗的边EF，EG上，玻璃窗的顶角，，已知该公司生产的正方形玻璃清洁机器人的型号和相关数据如下表所示，则此次参与清洁的机器人是哪一种型号？
型号 对角线长
5001 10cm
5030
5075 15cm
6010
20.综合与实践：折纸中的数学
【主题】四边形与折纸
【素材】如图①，一张矩形纸片ABCD，长，宽
【实践操作1】
步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕记为HF；
步骤二：继续左右对折，折痕记为GE；
步骤三：继续沿对角线对折，将对折后的纸片展开还原后，得到如图②所示的四边形
【实践探索1】四边形EFGH的形状为 ，面积为
【实践操作2】
步骤一：将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折；
步骤二：将纸片折叠使点A与点C重合，折痕记为EF；
步骤三：将纸片展开还原后，连接AE，CF，得到如图③所示的四边形
【实践探索2】判断四边形AECF的形状，并加以证明.
21.综合探究
【新知学习】小明遇到这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，，连接EF，求证：小明的思路是这样的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.具体步骤是将绕点A顺时针旋转得到如图②，此时GF的长度即为
请顺着小明的思路证明这个问题.
【理解应用】如图③，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点.若，，求BE的长.
【拓展探索】如图④，在中，，，以AB为边作正方形ADEB，连接当______时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质和矩形的性质.掌握菱形的性质和矩形的性质是解题关键.菱形的对角相等，但不一定互补;对角线相互平分、垂直但不一定相等.矩形的对角相等且互补;对角线互相平分、相等，但不一定垂直，据此即可解答.
【解答】菱形的对角相等，但不一定互补;对角线相互平分、垂直但不一定相等.
矩形的对角相等且互补;对角线互相平分、相等，但不一定垂直.
故选
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．由，，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形CODE是菱形，则可求得答案．
【解答】
解：，，
四边形CODE是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
四边形CODE是菱形，
四边形CODE的周长为：
故选
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的中位线定理和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可．
【解答】
解：、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
，，，，
，，
四边形EFGH是平行四边形，
当时，，
，
四边形EFGH为矩形，
10.【答案】D
11.【答案】8
12.【答案】 /答案不唯一
13.【答案】25
14.【答案】3
15.【答案】10
16.【答案】证明： ， ，
四边形 ABCD 是平行四边形.
， .
，
.
四边形 ABCD 是矩形.
17.【答案】【小题1】
解：如图，射线BD即为所求.
【小题2】
证明：，平分，同理可得又，四边形ABCD是平行四边形.又，四边形ABCD是菱形.

18.【答案】【小题1】
证明：如图，连接是BC边上的高，，即是直角三角形是AB边上的中线，是AB的中点，又，
【小题2】
解：如图，过点E作于点，，，，由，得

19.【答案】解：如图，连接，，四边形ABCD为正方形，，在中，由勾股定理，得由机器人的型号和相关数据可知，此次参与清洁的机器人的型号是

20.【答案】【小题1】
菱形
120
【小题2】
四边形AECF是菱形.证明如下：如图，记AC，EF相交于点由折叠的性质，得，四边形ABCD是矩形，在和中，≌又，四边形AECF是平行四边形.又，四边形AECF是菱形.

21.【答案】【小题1】
证明：由旋转的性质，得，，，，在和中，≌
【小题2】
解：如图，过点A作，交CB的延长线于点，，四边形AFCD是矩形，四边形AFCD是正方形根据中的结论，可知设，，在中，由勾股定理，得解得
【小题3】
解：
如图，将绕点A逆时针旋转得到，此时，连接由旋转的性质，得，在等腰直角三角形ACF中，由三角形的三边关系可知，，当且仅当B，C，F三点共线时，BF取最大值，此时，，的最大值为，即CD最大值为

总体分布分析
题型 题量
选择题 10题
填空题 5题
解答题 6题
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 菱形的性质 1, 2, 7, 12
2 矩形的性质 1, 4, 6, 8, 14, 20
3 等边三角形的判定与性质 2
4 平面直角坐标系中点的坐标 3
5 坐标与图形性质 3
6 正方形的性质 3, 10, 13, 19, 21
7 三角形内角和定理 4
8 等腰三角形的性质 4, 18
9 矩形的判定 5, 9, 16
10 正方形的判定 5, 12
11 菱形的判定 5, 15, 17, 20
12 平行四边形的判定 6, 15, 17
13 平行四边形的性质 6, 20
14 勾股定理 7, 10, 13, 18, 19, 21
15 菱形的判定与性质 8, 20
16 三角形的中位线定理 9
17 等边三角形的性质 10
18 全等三角形的判定与性质 10, 14, 20, 21
19 等腰直角三角形 10, 21
20 直角三角形斜边上的中线 11, 18
21 一元一次方程的应用 15
22 平行四边形的判定与性质 16
23 角的平分线 17
24 作一个角的平分线 17
25 平行线的性质 17
26 等腰三角形的判定 17
27 三角形的面积 18
28 三角形的角平分线、中线和高 18
29 含30°角的直角三角形 19
30 翻折变换(折叠问题) 20
31 旋转的基本性质 21
32 正方形的判定与性质 21
细目表分析
题号 题型 知识点
1 选择题 矩形的性质, 菱形的性质
2 选择题 等边三角形的判定与性质, 菱形的性质
3 选择题 正方形的性质, 平面直角坐标系中点的坐标, 坐标与图形性质
4 选择题 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 矩形的性质
5 选择题 矩形的判定, 菱形的判定, 正方形的判定
6 选择题 平行四边形的性质, 平行四边形的判定, 矩形的性质
7 选择题 勾股定理, 菱形的性质
8 选择题 矩形的性质, 菱形的判定与性质
9 选择题 矩形的判定, 三角形的中位线定理
10 选择题 等边三角形的性质, 勾股定理, 全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形, 正方形的性质
11 填空题 直角三角形斜边上的中线
12 填空题 菱形的性质, 正方形的判定
13 填空题 勾股定理, 正方形的性质
14 填空题 全等三角形的判定与性质, 矩形的性质
15 填空题 一元一次方程的应用, 平行四边形的判定, 菱形的判定
16 解答题 矩形的判定, 平行四边形的判定与性质
17 解答题 角的平分线, 平行线的性质, 等腰三角形的判定, 平行四边形的判定, 菱形的判定, 作一个角的平分线
18 解答题 等腰三角形的性质, 勾股定理, 三角形的面积, 直角三角形斜边上的中线, 三角形的角平分线、中线和高
19 解答题 勾股定理, 含30°角的直角三角形, 正方形的性质
20 解答题 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质, 矩形的性质, 菱形的判定, 菱形的判定与性质, 翻折变换(折叠问题)
21 解答题 勾股定理, 全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形, 正方形的性质, 正方形的判定与性质, 旋转的基本性质
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