第2章 一元二次方程 能力过关检测卷-2025-2026学年北师大版九年级上册数学（含答案）

第2章一元二次方程 能力过关检测卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A. 1，， B. 1，，2 C. 1，3， D. 1，3，2
3.方程的解是
A. ， B. ，
C. D. ，
4.若2是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值为
A. 1 B. C. 2 D.
5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是
A. B. C. D.
6.已知，是一元二次方程的两个实数根，则等于
A. 3 B. C. D.
7.已知几组x和它对应的二次多项式的值如下表：
x
根据表格可以判断方程为常数的一个解x的取值范围是
A. B. C. D.
8.参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场.设参加比赛的球队有x支，根据题意可列方程为
A. B. C. D.
9.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是
A. B. 且 C. D. 且
10.定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程.若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则下列方程中，与这个“凤凰”方程的解完全相同的是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.一元二次方程的解是 .
12.若是关于x的一元二次方程的一个解，则 .
13.请在关于x的方程 的空格处填写一个常数，使得该方程有两个不相等的实数根.
14.已知一元二次方程有两个实数根，，若，则实数 .
15.如图为一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，在它的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分刚好可制成一个底面积是的有盖长方体铁盒，则该铁盒的体积为
三、计算题：本大题共8分。
16.解下列方程：
；
四、解答题：本大题共6小题，共67分。
17.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下：
小敏同学 小霞同学
解：方程两边同除以，得 解得 解：移项，得 因式分解，得 于是得，或 因此，
请你判断她们的解答过程是否正确，若正确，请说明理由；若错误，请写出正确的解答过程.
18.关于x的一元二次方程的一个根是，求方程的另一个根及k的值.
19.团体操是一项集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有着密切的联系.某校为打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升学生素质，开展了团体操表演活动.已知原团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行？
20.已知关于x的一元二次方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
若的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当是直角三角形时，求k的值.
21.为了更好地推广顺德美食——双皮奶，某班开展了双皮奶销售方案制定活动.
主题：双皮奶销售方案制定
顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的顾客进店消费，某甜品店推出了“卡通财神双皮奶”“缤纷双皮奶”两个新品.
素材1
素材2 经统计，该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份的销售量为480份，7月份的销售量为750份；“缤纷双皮奶”7月份的销售量为600份.
素材3 为了尽快减少库存，该甜品店决定8月份对“缤纷双皮奶”做降价促销，经试验，发现该款双皮奶每份每降价1元，月销售量就会增加100份.已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元.
问题解决
任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”从5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 为了使该甜品店8月份“缤纷双皮奶”的销售利润达到6300元，该款双皮奶每份应降价多少元？
22.综合探究
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，沿边AB以的速度向终点B运动，点Q从点B出发，沿边BC以的速度向终点C运动，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为
填空： cm， 用含t的代数式表示
当t为何值时，PQ的长度等于5 cm？
是否存在某一时刻t，使得五边形APQCD的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、不是一元二次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】A
【解析】解：，
，
所以二次项系数是1，一次项系数是，常数项是，
故选：
先整理，然后再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，准确找出二次项系数，一次项系数和常数项是解题的关键．
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．系数化为1再移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】
解：，
，
即，
故选
6.【答案】C
【解析】解：根据根与系数的关系得
故选：
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
【解析】解：，
，
这个“凤凰”方程的两根分别为1和2，
，
选项A符合题意，
故选：
根据，即可判断．
本题主要考查了新定义型，一元二次方程的解，根与系数的关系，解答本题的关键要明确常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑，这两个前提条件．
11.【答案】，
12.【答案】
13.【答案】0
答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】48
16.【答案】【小题1】
解：移项，得配方，得，两边开平方，得，即，或，
【小题2】
这里，，，原方程无实数根.

17.【答案】解：小敏和小霞的解答过程均错误.正确的解答过程为：原方程可变形为，于是得，或因此，
18.【答案】解：设它的另一个根是a，则由根与系数的关系，得解得把代入原方程，得解得答：方程的另一个根是5，k的值为
19.【答案】解：设增加了x行，则增加了x列.根据题意，得解得，不符合题意，舍去答：增加了3行.
20.【答案】【小题1】
证明：，
方程有两个不相等的实数根．
【小题2】
解：，
即，
解得：，
当BC为直角边时，，
解得：；
当BC为斜边时，，
解得：，不合题意，舍去
答：k的值为12或3

【解析】
详细解答和解析过程见【答案】

详细解答和解析过程见【答案】
21.【答案】解：任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”从5月份到7月份销售量的月平均增长率为根据题意，得解得或不符合题意，舍去答：该甜品店“卡通财神双皮奶”从5月份到7月份销售量的月平均增长率是
任务2：设该款双皮奶每份降价m元，则每份的利润为元，月销售量为份.根据题意，得解得，要尽快减少库存，答：该款双皮奶每份应降价3元.

22.【答案】【小题1】
2t
【小题2】
在中，由勾股定理，得解得不合题意，舍去，当t的值为2时，PQ的长度等于
【小题3】
存在，此时t的值为当点Q运动到点C时，解得由题意，得解得不合题意，舍去，当t的值为1时，五边形APQCD的面积等于

总体分布分析
题型 题量
选择题 10题
填空题 5题
计算题 1题
解答题 6题
难度分析
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 一元二次方程的概念 1, 9
2 一元二次方程的一般形式 2
3 解一元二次方程-因式分解法 3, 17, 20, 22
4 一元二次方程的解 4, 10, 12, 18
5 解一元二次方程-配方法 5, 16
6 一元二次方程的根与系数的关系* 6, 10, 14, 18
7 估算一元二次方程的近似解 7
8 由实际问题抽象出一元二次方程 8
9 根的判别式 9, 13, 16, 20
10 新定义型 10
11 解一元二次方程-直接开平方法 11
12 代数式求值 12
13 一元一次方程的解法 14
14 一元二次方程的应用 15, 19, 21, 22
15 勾股定理 20, 22
16 列代数式 22
17 矩形的性质 22
18 三角形的面积 22
细目表分析
题号 题型 知识点
1 选择题 一元二次方程的概念
2 选择题 一元二次方程的一般形式
3 选择题 解一元二次方程-因式分解法
4 选择题 一元二次方程的解
5 选择题 解一元二次方程-配方法
6 选择题 一元二次方程的根与系数的关系*
7 选择题 估算一元二次方程的近似解
8 选择题 由实际问题抽象出一元二次方程
9 选择题 一元二次方程的概念, 根的判别式
10 选择题 一元二次方程的根与系数的关系*, 一元二次方程的解, 新定义型
11 填空题 解一元二次方程-直接开平方法
12 填空题 代数式求值, 一元二次方程的解
13 填空题 根的判别式
14 填空题 一元一次方程的解法, 一元二次方程的根与系数的关系*
15 填空题 一元二次方程的应用
16 计算题 解一元二次方程-配方法, 根的判别式
17 解答题 解一元二次方程-因式分解法
18 解答题 一元二次方程的根与系数的关系*, 一元二次方程的解
19 解答题 一元二次方程的应用
20 解答题 解一元二次方程-因式分解法, 根的判别式, 勾股定理
21 解答题 一元二次方程的应用
22 解答题 列代数式, 解一元二次方程-因式分解法, 一元二次方程的应用, 勾股定理, 三角形的面积, 矩形的性质
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