第4章 图形的相似 能力过关检测卷-2025-2026学年北师大版九年级上册数学（含答案）

第4章图形的相似 能力过关检测卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.如果m，n都不为零，且，那么下列等式中正确的是
A. B. C. D.
2.下列各选项中的四条线段长度成比例的是( )
A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm
C. 3cm，4cm，6cm，9cm D. 2cm，3cm，4cm，6cm
3.如图，直线，分别交直线m，n于点A，C，E和点B，D，若，，则的值为
A. B. C. D.
4.如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD，则由下列条件不能判定与相似的是
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，将线段AB缩小，则点A的对应点的坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
6.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明的眼睛与平面镜的水平距离为2 m，旗杆底部与平面镜的水平距离为若小明的眼睛到地面的距离为，则旗杆的高度为( )
A. 20 m B. 16 m C. D.
7.如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是
A. B.
C. D.
8.如图，在由小正方形组成的网格中，和的顶点均在格点上，要使，则点P所在的格点为
A. B. C. D.
9.如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点O，连接若的面积为1，则的面积为
A. 6 B. 9 C. 12 D.
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，连接BE交AC于点若，则线段AB的长为
A. B. C. D. 5
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.若，则 .
12.如图，在四边形ABCD中，，若，，则 .
13.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则BC的长为 结果保留根号
14.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上如图，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，在中，，，动点P从点A开始沿边AB向点B运动，速度为，动点Q从点B开始沿边BC向点C运动，速度为，Q两动点同时开始运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.当动点的运动时间为 时，与相似.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，，求证：
17.如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且，，，，求BD的长.
18.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，且，，
以原点O为位似中心，在x轴上方画出，使得与位似，且相似比为；
在的条件下，分别写出点B，C的对应点，的坐标.
19.如图，在和中，，
求证：；
若，，求EC的长.
20.小明为了测量一深坑的深度，设计出如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点M，在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点N，点B，M，N，D在同一水平线上.已知，，观测仪AB高2 m，观测仪CD高1 m，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑的深度.
21.综合与实践
【主题】探究顶角为的等腰三角形.
【实践操作】步骤1：如图①，在白纸上剪一个顶角为的等腰三角形ABC，；
步骤2：如图②，E为AB边上一点，将沿CE折叠，点B恰好与AC边上的点D重合，连接DE；
步骤3：如图③，将展开，在AC边上取一点F，使得将沿BF折叠时，点C恰好落在AB边上.
【实践探索】
求证：；
求证：；
若，请直接写出DF的长.
22.
【基础巩固】如图①，在中，，，D是AB边上一点，F是BC边上一点，求证：
【尝试应用】如图②，在四边形 ABFC中，D是AB边的中点，若，，求CF的长.
【拓展提高】如图③，在中，，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC边上，点E在AC边上.若，求CD的长.
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】15
15.【答案】2 s或
16.【答案】证明：，，四边形ABCD是正方形，，，，
17.【答案】解：，，，，，
18.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求.
【小题2】
，

19.【答案】【小题1】
证明：，，即又，
【小题2】
解：由，得，，

20.【答案】解：如图，过点P作，垂足为点，，，，，，，，由题意，得，，，，设，则解得，答：深坑的深度为

21.【答案】【小题1】
证明：，，沿CE折叠，点B恰好与AC边上的点D重合，，又，
【小题2】
证明：由知，，即，，，，，
【小题3】
解：DF的长为

22.【答案】【小题1】
证明：，又，
【小题2】
解：如图，延长AC，BF交于点，，，是AB边的中点，又，，在中，，，
【小题3】
解：如图，在CD上取一点F，连接EF，使是等腰直角三角形，，，同可得又，，，，，，又，，

总体分布分析
题型 题量
选择题 10题
填空题 5题
解答题 7题
难度分析
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 比例的性质 1, 11
2 比例线段 2
3 平行线分线段成比例 3
4 相似三角形的判定 4, 8, 15, 16, 19, 21
5 分类讨论思想 5, 15
6 位似中的坐标变化 5, 18
7 相似三角形的应用 6, 20
8 余角和补角 7
9 相似三角形的判定与性质 7, 9, 10, 12, 14, 17, 21, 22
10 三角形的中位线定理 9
11 线段的中点 10
12 正方形的性质 10, 13, 14, 16
13 勾股定理 10, 22
14 平行线的性质 12
15 矩形的判定与性质 13
16 黄金分割 13
17 全等三角形的判定与性质 14, 21
18 作图-位似变换 18
19 相似三角形的性质 19, 21
20 等腰三角形的性质 21
21 等腰三角形的判定 21
22 三角形内角和定理 21
23 翻折变换(折叠问题) 21
24 等腰直角三角形 22
25 三角形的外角性质 22
细目表分析
题号 题型 知识点
1 选择题 比例的性质
2 选择题 比例线段
3 选择题 平行线分线段成比例
4 选择题 相似三角形的判定
5 选择题 分类讨论思想, 位似中的坐标变化
6 选择题 相似三角形的应用
7 选择题 余角和补角, 相似三角形的判定与性质
8 选择题 相似三角形的判定
9 选择题 三角形的中位线定理, 相似三角形的判定与性质
10 选择题 线段的中点, 勾股定理, 正方形的性质, 相似三角形的判定与性质
11 填空题 比例的性质
12 填空题 平行线的性质, 相似三角形的判定与性质
13 填空题 正方形的性质, 矩形的判定与性质, 黄金分割
14 填空题 全等三角形的判定与性质, 正方形的性质, 相似三角形的判定与性质
15 填空题 相似三角形的判定, 分类讨论思想
16 解答题 正方形的性质, 相似三角形的判定
17 解答题 相似三角形的判定与性质
18 解答题 作图-位似变换, 位似中的坐标变化
19 解答题 相似三角形的判定, 相似三角形的性质
20 解答题 相似三角形的应用
21 解答题 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 等腰三角形的判定, 全等三角形的判定与性质, 翻折变换(折叠问题), 相似三角形的判定, 相似三角形的性质, 相似三角形的判定与性质
22 解答题 三角形的外角性质, 勾股定理, 等腰直角三角形, 相似三角形的判定与性质
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