4.2 认识一次函数（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

4.2 认识一次函数（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各点中，在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．表示一次函数，则m等于（ ）
A．1 B． C．0或 D．1或
4．一次函数的图象经过点（ ）
A． B． C． D．
5．下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积；
②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间；
③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
6．小珍学习函数后，探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度（单位：）随碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小珍经过测量得到的与之间的对应数据：
/个 ．．．
/ ．．．
根据表格中的数据，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．每增加一个碗，高度增加厘米
C．与的函数关系式为
D．若厘米，则
7．一次函数，当，的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
8．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．14
二、填空题
10．若函数是一次函数，则的值为 ．
11．如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，则的面积为 ．（用含a的代数式表示）．

12．已知是关于的正比例函数，则 ．
13．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 ．
14．点在直线上，则代数式的值是 ．
三、解答题
15．已知与x成正比例，当时，
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)计算时，y的值．
16．（1）已知点在函数（a，b为常数，且）的图象上，求的值；
（2）判断点是否在函数的图象上．
17．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)每盒铅笔12支，售价元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系；
(2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系；
(3)一个长方形的面积是，它的一边长与邻边长的关系．
18．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（张） 1 2 3 4 …
叠放凳子的总高度（厘米） 45 50 55 60 …
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)按照表格所示的规律，写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式______；
(3)按照表格所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11张凳子吗？说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足自变量的次数为1且无其他项．
【详解】A.含常数项“”，不符合的形式，不是正比例函数．
B.符合（），是正比例函数．
C.中的次数为2，不符合次数为1的条件．
D.中位于分母，次数为，不符合次数为1的条件．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，把选项中的各点代入解析式，通过等式左右两边是否相等来判断点是否在函数图象上即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵一次函数图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数的解析式；
A、当时，，即点在该函数图象上；故本选项正确，符合题意；
B、当时，，即点不在该函数图象上；故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，即点不在该函数图象上；故本选项错误，不符合题意；
D、当时，，即点不在该函数图象上；故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，求出即可．
【详解】解：表示一次函数，
，
解得：，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了一次函数，代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论．
【详解】解：A、当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意；
B．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意；
C．当时，，故一次函数的图象经过这个点；此选项符合题意；
D．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意；
故选C．
5．B
【分析】本题考查了一次函数的概念，掌握一次函数的概念是关键；判断每个情境中的变量关系是否为一次函数，需根据一次函数的定义（形如，）逐一分析．
【详解】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合；
情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合；
情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解表格中的数据规律并确定与的函数关系式，然后对各选项进行分析即可作出判断．掌握待定系数法确定函数关系式是解题的关键．
【详解】解：由表中的数据知：
每增加一个碗，高度增加厘米， 即的增加量不变，故选项B不符合题意；
∴是的一次函数，
设，
∵当时，；当时，；
∴，
解得：，
∴与之间的函数表达式为，故选项C不符合题意；
当时，，故选项A符合题意；
当时，得：，
解得：，故选项D不符合题意．
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键．
根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴当时，时取得最大值，
此时，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数是一次函数，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2．
第4个应是增加了3，即为11．
这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系．
∴这个计算有误的函数值是12，
故选：C．
10．
【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，由一次函数定义得到，且，求解即可得到答案．熟记一次函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：函数是一次函数，
，且，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用正比例函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标，进而可求出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积．
【详解】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
．
又点的坐标为，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解．
【详解】解：∵是关于的正比例函数，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键．
【详解】解：点在直线上，
将点代入直线得到，
，
故答案为：．
15．(1)
(2)11
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握与x成正比例，即设为．
(1)因为与x成正比例，所以可设，又因时，，所以，即，从而可求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用(1)中求得的函数关系式，求出时，y的值即可．
【详解】（1）解： 与x成正比例，
设，
又时，，
，即
，
即．
故y与x之间的函数关系式．
（2）解：当时，．
故y的值为11．
16．（1）；（2）点A不在函数的图象上，点B在函数的图象上
【分析】本题考查一次函数图象上点：
（1）把代入，得到，进而得到，整体代入代数式求值即可；
（2）求出相应自变量对应的函数值，判断点是否在函数图象上即可．
【详解】(1)因为点在函数的图象上，
所以．
所以．
所以．
(2)∵，
∴当时，；当时，，
所以点A不在函数的图象上，点B在函数的图象上．
17．(1)，是的一次函数，也是的正比例函数
(2)，是的一次函数，不是的正比例函数
(3)，既不是的一次函数，也不是的正比例函数
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数，熟记各定义是解题关键．
（1）根据铅笔售价铅笔单价铅笔支数即可得；
（2）根据汽车距天津的路程速度时间即可得；
（3）根据长方形的面积长宽即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
所以是的一次函数，也是的正比例函数．
（2）解：由题意得：，
所以是的一次函数，不是的正比例函数．
（3）解：由题意得：，
所以既不是的一次函数，也不是的正比例函数．
18．(1)70
(2)（是正整数）
(3)不能能叠放11个．理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，有理数四则混合运算的应用，找到数据变化的规律并求出函数关系式是解题的关键．
（1）每叠放一个凳子，增加的高度是5厘米，据此作答即可；
（2）根据“总高度的增加量凳子数量每叠放一个凳子增加的高度”写出h与n的关系式，并标明n的取值范围即可；
（3）将代入（2）中得到的关系式，求出对应h的值并与92比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5，
当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米，
故答案为：70；
（2）解：由题意得，
故答案为：（是正整数）；
（3）解：不能能叠放11个．理由如下：
当时，，
不能叠放11个．