4.4 一次函数的应用（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

4.4 一次函数的应用（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为( )

A． B． C． D．
3．如图，是某水果店销售某种水果的付款金额（元）与购买量之间的函数图象，李阳和王辉同学打算一起去该水果店分别购买这种水果，若他们合起来一次购买这种水果，则一共可节省（ ）

A．6元 B．5元 C．4元 D．3元
4．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，分别表示甲、乙两名学生步行中的路程和时间的关系的图像，根据图像判断甲、乙两名学生的速度（ ）
A．乙快 B．甲快 C．两人一样快 D．无法判断
6．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程之间的关系如图所示．已知这辆车的“满电量”为，则王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分比是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
8．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ）
A．甲车从A地到B地时间为分钟
B．甲车速度是乙车速度的倍
C．甲车行驶路程是乙车的2倍
D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟
9．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降时，石块在水里
B．当时，与之间的函数关系式为
C．石块下降时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底
10．如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（ ）．
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④
二、填空题
11．若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点 ．
12．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．

13．某水库的水位在一个时间段内持续上涨，初始水位高度为，水位以每小时的速度匀速上升，则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 ．
14．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论，其中正确的为 （填序号）．
①拉力随着物体重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为．
15．一次函数，当时， ，这条直线与x轴的交点的坐标是 ，因此，方程的解是 ．
三、解答题
16．已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的表达式．
17．如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出方程的解为 ；
(3)求的面积．
18．某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
19．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示．
(1)此次跑步训练的全程是________m．
(2)求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式．
【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即．
故选：A．
2．A
【分析】利用待定系数法即可求出函数的解析式．
【详解】从图示来看，点A、点B的坐标分别是、，设直线l的解析式为，将点A、点B的坐标代入直线l的解析式得：，
∴．
∴直线l的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组．
3．A
【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案．
【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
，
当时，（元），
由图象可知，单独购买这种水果需要20元，
（元），
即若他们合起来一次购买这种水果，则一共可节省6元．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，熟练运用数形结合思想是解题的关键．观察图象找到当时的值为3，即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故选：A
5．B
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，需注意函数图像中交点表示的实际意义．
由图中可知，函数图像都是直线，说明甲乙同学都是匀速前进的，结合交点的实际意义即可做出判断．
【详解】点表示甲、乙两同学相遇，点和点分别表示甲、乙两同学的出发点．由图中可以得知乙同学原本在甲的前方，但是两人同时在点相遇．
∵，，
∴甲速度快于乙速度 ．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，求出函数关系式是解题的关键．
利用待定系数法求出函数解析式，求得当时，的值，再计算即可求解．
【详解】解：设与之间的关系式为，
将代入得，
解得：，
∴与之间的关系式为；
当时，，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴当时，，
∴方程的解是，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可．
【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟），
故A选项不符合题意；
甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟，
行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为，
甲、乙两车的速度之比为，
甲车速度是乙车速度的3倍，
故B选项符合题意；
甲车行驶路程是乙车的2倍，
故C选项不符合题意；
设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米，
设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则
解得，
设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则，
解得，
（分钟），
甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟，
故D选项不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意；
B．当时，设所在直线的函数表达式为：，
则，
解得，
∴，故选项B说法错误，不符合题意；
C．当石块下降的高度为时，即时，，
此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意；
D．当弹簧测力计的示数为时，，
解得，
石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④．
【详解】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，故②不正确；
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，故③正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
当时，，
，
点的坐标为，故④不正确．
故选：B．
11．
【分析】x的方程的解是，说明时，,由此可以理解图象经过的点．
【详解】解：关于x的方程的解是，
把代入方程得，
在函数中，当时，
该函数图象一定经过点
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解．
结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解．
【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点，
∴的解为
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查列函数关系式，根据题中水位以每小时的速度匀速上升列出关系式为解题的关键．
根据“高度等于速度乘以时间加上初始高度”列出关系式即可．
【详解】解：根据题意可得：．
故答案为：．
14．①④/④①
【分析】本题主要考查一次函数的应用、函数图象等知识点，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息成为解题的关键．
由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②．
【详解】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故①正确；
∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为，
则 ，解得： ，
∴拉力F与重力G的函数解析式为，
当时，，故②错误；
由图象知，拉力F是重力G的一次函数，不是正比例函数，故③错误；
由图象知，当时，拉力，即④正确．
综上，正确的有①④．
故答案为：①④．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解．
【详解】解：当时，，
解得：，
这条直线与轴的交点是．
方程的解是，
故答案为：；，．
16．
【分析】本题主要考查了待定系数法求与函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
根据待定系数法即可求得．
【详解】解：设一次函数的表达式为．
把点和点分别代入表达式，
得，
解得．
故一次函数的表达式为．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解；
（3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可．
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得：，
故这个一次函数的解析式为；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交于点C的坐标为，
∴方程的解为．
故答案为：．
（3）解：的面积为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式．
18．(1)，，且为整数；
(2)66000元，生产A产品60件，B产品30件．
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：
，且，为整数；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵，随的增大而增大，
∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元），
∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为元．
19．(1)500
(2)315米
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键：
（1）用男子组的速度乘以时间再加上已经跑过的路程，进行求解即可；
（2）求出函数关系式，联立两个解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：（米），
故答案为：500；
（2）女子组的速度为：，男子组队员跑步的路程：，女子组队员跑步的路程：，
联立：
解得：
（米），
男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．