5.1 认识二元一次方程组（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

5.1 认识二元一次方程组（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．以为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．若是二元一次方程的一个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，求这个队胜的场数．若设胜x场，平y场，则可列的方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满六进一，即“结绳计数”．如图是一名妇女和儿童在绳子上打结记录的采集总数量，图是妇女比儿童多采集的数量．设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．为打造福州西湖公园风光带，现有一段长为160米的人行步道修建任务，由两个工程小组先后接力完成，工程小组每天修建12米，工程小组每天修建10米，共用时，设工程小组修建人行步道米，工程小组修建人行步道米，依题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ）
①，；
②若，则；
③若，则m，n有且仅有2组整数解；
④若无论取何值时，的值均不变，则；
⑤若对任意有理数，都成立，则．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．写出一组解是的一个二元一次方程： ．
12．是关于，的二元一次方程，则 ．
13．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ．
表
表2
14．小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？
解：设“五一”前同样的电视机每台元，空调每台元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是______，方程①是______．
15．一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完．如果弹子数为99，盒子数大于9．那么，大盒子有 个、小盒子有 个．
三、解答题
16．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
17．若是方程的一个解，求的值．
18．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
19．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
参考答案
1．D
【分析】将代入代数式和分别求值即可得到最后结果．
【详解】解：，，
，，
以为解的方程组是．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了是否是二元一次方程组的解，正确去括号解答是解题关键．
2．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于和的二元一次方程，再求解．
把方程的解代入，则可得到一个关于和的二元一次方程，解答即可．
【详解】解：是方程的解，
，
∴
，是正整数，
或或，
的最大值是．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
直接将代入计算即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查列二元一次方程组，设胜x场，平y场，根据“打了14场比赛，负5场，共得19分”列方程组解答即可．
【详解】解：设设胜x场，平y场，根据题意列方程得，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了六进制数与十进制数之间的转换、二元一次方程组的应用．首先把六进制数转换为十进制数，可知采集的总数量为，妇女比儿童多采集的数量为，根据采集总量和妇女比儿童多采集的数量列方程组即可．
【详解】解：由图可知采集的总数量为，
由图可知妇女比儿童多采集的数量为，
设妇女采集的数量为，儿童采集的数量为，
则可列方程组．
故选： D．
7．D
【分析】本题考查了二元一次方程组，根据题意，人行步道总长为160米，A、B两队的工作量之和应等于总长度；两队的工作时间之和为20天，由此可建立两个方程组成方程组．
【详解】解：设A工程小组修建x米，B工程小组修建y米，
两队修建的总长度等于160米，
即，
A队每天修12米，修x米需天；B队每天修10米，修y米需天，总时间为20天，
即，
综上，方程组为，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义．
利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
④，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组．
【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ；
垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即；
综上，符合条件的二元一次方程组为，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确．
【详解】解：，
，
解得，故（1）正确；
，
，
，
，
，故（2）正确；
、均取整数，
，，，
∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去）
∴m，n有2组整数解，故（3）正确；
∵，无论取何值时，的值均不变，
，
∴或，故（4）不正确；
，
，
，
对任意有理数、都成立，
，故（5）正确；
综上所述：（1）（2）（3）（5）正确，
故选：C．
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此求解即可．
【详解】解；符合题意的二元一次方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12．1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得，
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．
【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解，
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14．同样的空调每台降价400元；
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）由方程②的信息可得答案；
（2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可．
【详解】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，
故答案为：同样的空调每台优惠400元；
（2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，
根据题意得：，
故答案为：；
15． 2或7 15或3
【分析】设大盒子有x个，小盒子有y个，根据题意，得，求整数解即可．
本题考查了不等式的解法，二元一次方程的整数解，熟练掌握解不等式，求整数解是解题的关键．
【详解】解：设大盒子有x个，小盒子有y个，根据题意，得，
故，
故，
解得，
由x是正整数，
故，
又，
此时时，y不是正整数，舍去；
当时，，符合题意；
当时，y不是正整数，舍去；
当时，y不是正整数，舍去；
当时，y不是正整数，舍去；
当时，y不是正整数，舍去；
当时，，符合题意；
取得正整数解得两组数的和都大于9，
故大盒子2个或7个，小盒子15个或3个．
故答案为：2或7；15或3．
16．(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
(3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析
(5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
(6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析
【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
（6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可．
【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；
（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；
（4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；
（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键．
17．
【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解．
【详解】解：因为是方程的一个解，
所以，
所以．
18．(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位
(2)需租用A型车4辆，B型车2辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
（1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解；
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案．
【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
19．(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子
(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．