5.3 二元一次方程组的应用（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

5.3 二元一次方程组的应用（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组：①，②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
3．《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有只雀、只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相同，只雀、只燕重量为斤．问燕、雀每只各重多少？（注：古代斤两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为9 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0
则佳佳时看到的两位数是（ ）
A．18 B．27 C．36 D．54
6．周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（ ）
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额单位：元
A．， B．， C．， D．，
7．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（ ）
A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种
8．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　）
A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70
9．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ．
11．A、B两种商品售价共为960元，若A打8折，B打9折出售后共售814元，求打折前A、B售价分别为 ．
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各原有几文钱．设甲原有文钱，乙原有文钱，则可列方程组为 ．
13．如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则与的差为 ．
14．甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在A点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在A点相遇，则两地相距 米．
三、解答题
15．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形．
(1)图2中间阴影小正方形的边长为_____；
(2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____；
(3)求每个小长方形的面积．
16．树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？
17．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答．
18．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解．
方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少
方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少
请你从以上两种方案中任选一种完成解答．
参考答案
1．A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．第一个条件为绳子剩余4.5尺，第二个条件为对折绳子后量木头不足1尺，需转化为对应的方程．
【详解】解：设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得：
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同（或相反）时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程．针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法．
【详解】解：由题意得，①，③用代入法；
②；④，用加减法，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“只麻雀和只燕子一共重两；只麻雀和只燕子的重量等于只麻雀和只燕子的重量”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数，并建立方程，即可得出答案．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，
∵五只雀和六只燕共重两，
故；
∵交换一只雀和一只燕后，剩余只雀加只燕的重量等于只燕加只雀的重量，
∴；
故．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为9且行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设佳佳时看到的两位数中十位数字为，个位数字为，
根据题意，得
解得，
所以佳佳时看到的两位数是27．
故选：B．
6．B
【分析】设他们买了包饼干，瓶矿泉水，利用，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均数正整数，即可出结论．
【详解】解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水，
根据题意得：，
又，均为正整数，
，
他们买了包饼干，瓶矿泉水．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解．
【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得
,
，
为正整数，
，且为偶数，
解得，
，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有9种购买方案．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组．
分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案．
【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得，
解得：．
即甲队分到28人，乙队分到62人．
故选A．
9．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组．
【详解】根据题意，得．
故选：C．
10．13
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：13．
11．500元，460元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设打折前A、B售价分别为x，y元，根据题意列二元一次方程组即可．
【详解】设打折前A、B售价分别为x，y元
由题意得：，解得：
∴打折前A、B售价分别为500元，460元
故答案为：500，460．
12．
【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是解决此问题的关键．等量关系为“甲的钱数＋乙的钱数＝50”和“乙的钱数＋甲的钱数＝50”，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：根据等量关系列方程组：．
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用；
设小长方形的长为a，宽为b，根据大长方形的周长为28，小长方形的周长为12列方程组求出，然后设，可得，，则，故．
【详解】解：如图：
设小长方形的长为a，宽为b，
由题意得，，
解得：，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．2196
【分析】设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；
设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；列方程组，得，解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；
设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；
根据题意，得，
解得，
故两地路程为米．
故答案为：2196．
15．(1)3
(2)，；
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可；
（2）根据设每个小长方形的长为，宽为，根据长方形对边相等列二元一次方程组求解即可．
（3）求出、，即可得出每个小长方形的面积.
【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为，依题意得：
，解得：，（负值不合题意已经舍去）
（2）设每个小长方形的长为，宽为，
则由图1可列二元一次方程为，
由图2可列二元一次方程为.
（3）设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：每个小长方形面积为．
16．树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得
，
解得．
答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子．
17．树上有7只鸟，地上有5只鸟．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟．
根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：；
若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：；
即，
解得：．
答：树上有7只鸟，地上有5只鸟．
18．方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可；
方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为：
，
解得：，
答：的长度分别为．
方案二：根据题意可列方程组为：
，
解得：，
答：的长度分别为．