5.4 二元一次方程与一次函数（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

5.4 二元一次方程与一次函数（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：
1 2 3 ．．．
10 14 18 ．．．
若不挂重物时，秤跎到提纽的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
3．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象与函数的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.已知点A在x轴上，点C在y轴上，且，，直线l与y轴的交点在线段上，则直线l的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表：
… 33 36 39 …
… 62 67 72 …
根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．对每个是三个值中的最大值，则当变化时，函数的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
9．物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示：
重物质量
弹簧总长
根据以上信息，表中的的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（ ）
①方程组的解为；
②；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．一个弹簧不挂重物时长，挂重物后伸长的长度与所挂重物的质量x成正比例．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是 ．
12．以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ．
13．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
14．某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是 ．
15．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，．
（1）含氧量与大气压强之间的关系式是 ；
（2）当大气压强是时，含氧量是 ．
三、解答题
16．已知一次函数的图像经过，两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点是否在这个一次函数的图像上．
17．已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式．
18．已知一次函数，它的图象经过，两点．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求函数值的最小值．
19．在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C．
(1)写出点C的坐标；
(2)写出过B、C两点的函数表达式．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案．
【详解】解：联立两函数解析式得：
将第一个方程代入第二个方程得：，
∴．
把代入得：．
所以交点Q的坐标为．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．
根据表格信息，运用待定系数法得到解析式，由此即可求解．
【详解】解：秤砣到提纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，
∴设，
结合表格得到，
解得，，
∴一次函数解析为，
∴当时，，
∴不挂重物时，秤跎到提纽的水平距离是，
故选：C ．
3．B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
【详解】解：满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了一次函数，点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．通过联立两个函数方程求解交点坐标，再根据坐标的符号判断所在象限．
【详解】解：联立解析式，
解得，
∴ 交点坐标为 ，
∵ ，，
∴ 交点在第四象限．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【详解】解：函数和的图象交于点，点坐标为，
的解为．
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，先求出长方形的面积，根据直线l将长方形分成面积比为的两部分可求出，求得，得，即，运用待定系数法可求出直线的解析式．
【详解】解：如图，
∵，，
∴长方形的面积，，
∴，
∵经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.
∴,
∴，
∵，
，
∴，
∴，
设直线l的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线l的解析式为，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查求一次函数解析式，根据表格中的数据，确定是一次函数关系，运用待定系数法求出一次函数的关系式，代入验证即可得出正确选项．
【详解】解：当x由33增加到36时，h由62增加到67（增加）；同理，x由36增加到39时，h由67增加到72，仍增加，可知h与x成一次函数，
设h与x之间函数关系式为，
把代入得，，
解得：，
所以，h关于x的函数表达式为，
当时，，满足条件，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键．分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，画出大致图象，再根据交点坐标和图象即可求解．
【详解】解∶联立方程组，
解得，
∴直线与的交点为，
联立方程组，
解得，
∴直线与的交点为，
联立方程组，
解得，
∴直线与的交点为，
∴函数图象如下，
∴由图象可知当时，最大，且；
当时，最大，且，
∴当x变化时，函数y的最小值为，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键．
根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，利用已知数据点求出k和c，再代入和计算对应的a和b，最后求的值．
【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，
把点和代入得，，
解得：，
因此，函数解析式为：，
当时，，
当时，，
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意．
【详解】解：直线：与直线：都经过点，
方程组的解为；故符合题意；
把，点代入得，
，
直线：，
直线直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线：，
解；得，
，
在中，令，则，
解得，
，
，故符合题意；
，，
，
∴，故符合题意；
直线交轴于点，
，
作点作轴的对称点，连接交轴于，则，
当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，符合题意；
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查函数解析式问题，将实际问题抽象成函数解析式成为解题的关键．
根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，然后列出函数关系即可．
【详解】解：由题意得，弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数时，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
利用一次函数与二元一次方程的关系和一次函数与二元一次方程组的关系解决问题．
【详解】解：以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；以方程的解为坐标的所有点组成的图形是函数的图象；用函数观点看，解方程组的含义是解得当自变量取时，函数和函数有相同的函数值．
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥．
13．
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键．先将点代入求出的值，再根据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系得出方程组的解．
【详解】解：把代入，得，解得，
所以点的坐标为．
因为一次函数与的图象相交于点，
所以方程组的解是．
故答案为：．
14．340
【分析】本题考查了一次函数的实际运用，设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：，结合图象求出函数关系式，再将代入关系式中求解，即可解题．
【详解】解：设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：，
由题意得，
解得，
即实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：，
当时，，
故答案为：．
15． 87
【分析】本题考查正比例函数的应用，掌握用待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式，求出y即可．
【详解】解：（1）设含氧量与大气压强的正比例函数关系为，
把，代入，得，
解得：，
∴
故答案为：．
（2）把代入 ，得
，
故答案为：87．
16．(1)
(2)点不在一次函数的图象上
【分析】本题考查了一次函数的解析式和代入求值的知识点．
（1）由一次函数的图像过，两点，可求一次函数解析式；
（2）把代入（1）的函数解析式即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数关系式为，把，代入得：，
解得：
∴这个一次函数的关系式为；
（2）解：∵当时，，
不在这个一次函数的图像上．
17．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．运用待定系数法求解，设这个一次函数的解析式为，将点和点代入，求出k，b的值，即可解答．
【详解】解：设这个一次函数的解析式为，
∵该函数图象经过点和点，
∴，解得，
∴这个一次函数的解析式为．
18．(1)
(2)函数值的最小值为
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，
（1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值；
熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键．
【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）对于，
∵，
∴y随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，y的值为最小，最小值．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关于y轴对称的点的特点等知识．
（1）根据关于y轴的对称点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数求解即可．
（2）利用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】（1）解：∵，点A关于y轴的对称点为点C，
∴
（2）解：设B、C两点的函数表达式为，
则，
解得，
∴过B、C两点的函数表达式为．