5.5 三元一次方程组（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

5.5 三元一次方程组（同步练习）初中数学北师大版（2024）八年级上册
一、单选题
1．解方程组，最简便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
2．下列方程是三元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
4．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
5．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
6．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．
A．25 B．100 C．50 D．125
7．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
8．关于的方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．设，，．．．，，是从1，0，这三个数中任意取一个值后，所组成的一列数，设，则下列说法：
①的值可能是0；
②的不同的值共有9个；
③若，且，则，，．．．，中为0的个数是6．正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．请写出一个以为解的三元一次方程： ．
12．如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需的费用为 元．
13．若三元一次方程组的解使，则的值是 ．
14．已知a，b，c满足：，则 ．
15．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需 元．
三、解答题
16．解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
17．解方程组：
(1)；
(2)
18．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长．
19．解下列方程组：
(1)；
(2)．
参考答案
1．B
【解析】略
2．A
【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答．
【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意；
B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意；
C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意；
D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键．
3．B
【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小，
本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组．
【详解】解：，
②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意把代入原方程组，得，
把代入，得，
可组成方程组，
解得，
则．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查三元一次方程组的建模及其特殊解法：根据系数特点，将两式相加，整体求解．设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．
【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为元、元、元，
根据题意：得，
把这两个方程相加得：，
，
购甲、乙、丙各一件共需元，
故选：C．
7．B
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得：，
得：，即，
∴，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键．
【详解】解：把 代入得，，
∴，
∴，
故选：．
9．A
【分析】①当，，时可验证可能是0；②枚举法确定的可能值的数量即可判断②；③通过方程组求解0的个数．
【详解】①∵设，，．．．，，是从1，0，这三个数中任意取一个值
∴当，，时，，
∴的值可能是0，故①正确；
∵
∴当，，，分别为1，1，1，时，；
当，，，分别为1，1，1，时，；
当，，，分别为1，1，1，0时，；
当，，，分别为1，1，，时，；
当，，，分别为1，1，，0时，；
当，，，分别为1，1，0，0时，；
当，，，分别为1，，，时，；
当，，，分别为1，，，0时，；
当，，，分别为1，，0，0时，；
当，，，分别为1，0，0，0时，；
当，，，分别为0，0，0，0时，；
当，，，分别为0，0，0，时，；
当，，，分别为0，0，，时，；
当，，，分别为0，，，时，；
当，，，分别为，，，时，；
综上所述，的不同的值有：，，，，，，，，，共有9个，故②正确；
③设1的个数为x，0的个数为y，的个数为z
根据题意得，
解得
∴，，．．．，中为0的个数是6，故③正确．
综上，正确的个数是3．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的加法和乘方运算，三元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题意．
10．D
【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式．
先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值．
【详解】解：
，
∵（A、B、C均为常数）的计算结果为，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义．
将、、的值代入能使等式成立即可．
【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如，
把，，代入：，
∴得到三元一次方程．
故答案为：（答案不唯一）．
12．150
【分析】设购买1件甲需要元，购买1件乙需要元，购买1件丙需要元，由题意列出三元一次方程组，整理变形即可求解．
【详解】解：设购买1件甲需要元，购买1件乙需要元，购买1件丙需要元，由题意得：
，
由得：
，
因此，
答：购买甲、乙、丙各一件共需的费用为150元，
故答案为：150．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用，理清题意，列出方程组是解题的关键．
13．
【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值．
【详解】解：，
得：，
得：，解得，
把代入得，，
把代入得：，
三元一次方程组的解为：，
把代入得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．
14．
【分析】本题考查三元一次方程组的求解，通过消元法逐步化简方程，最终求出各未知数的值，并代入所求式子是解题的关键．
运用消元思想求三元一次方程组的解，代入式子即可解答．
【详解】解：，
，得，
即，
，得，
即，
④与⑤组成方程组，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴方程组的解为，
∴．
故答案为：．
15．/
【分析】根据题意，设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，由购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元，列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：设购买每支铅笔元、每本练习本元、每支圆珠笔元，则
，
①②得，
现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需元，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程，根据问题灵活求解是解决问题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键．
（1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（3）利用加减消元求解即可．
【详解】（1）解：
解得：，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴原方程的解为：；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴原方程组的解为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）先整理，再用加减消元法进行运算即可；
（2）先运用加减消元法把三元一次方程组化成二元一次方程组，再运用代入消元法进行运算即可．
【详解】（1）解：整理得，
得，
解得，
把代入②，得，
解得，
方程组的解为；
（2）解：，
得，
得，即，
得，
解得，
把代入④得，
解得，
把，代入①得，
解得，
方程组的解为．
18．8，9，13
【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴，
∴，
①②得：④，
把③代入④得：⑤，
①②得：⑥，
⑥3得：⑦，
⑤⑦得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
（1）用代入消元法解三元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解三元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由②得：，
把④代入①得：，即，
把④、⑤分别代入③得：，
解得：，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
得：，
解得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．