(共54张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.(2024·铜川三模)已知双曲线C:x2+=1(m≠0)的一条渐近线方程为y=x,则C的焦点坐标为( )
A.(±,0) B.(0,±)
C.(±1,0) D.(0,±1)
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解析:易知m<0,(注意:此处易忽视m的范围)令x2+=0,解得y=±x,依题有=,即m=-2,双曲线方程为C:x2-=1,从而c==,从而C的焦点坐标为(±,0).
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2.(2024·菏泽模拟)已知点A(a,2)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,且点A到抛物线的焦点F的距离为3,则p= ( )
A. B.1
C.2 D.4
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解析:因为抛物线为x2=2py(p>0),则其焦点在y轴正半轴上,焦点坐标为,由于点A(a,2)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,且点A到抛物线的焦点F的距离为3, 所以|AF|=2+=3,解得p=2.
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3.古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明,他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线:当01时,轨迹为双曲线.则方程 =表示的圆锥曲线为( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
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解析:方程=,即为方程=<1表示动点P(x,y)到定点O(0,0)的距离与到定直线x+y-2=0的距离的比为且小于1,所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆.
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4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点F,则该双曲线的离心率e=( )
A.2- B.1+
C. D.1+
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解析:法一:由题意知=c,两曲线交点的连线过点F,由对称性得连线垂直于x轴,则其中一个交点坐标为,即(c,2c),代入双曲线方程,得-=1,则=-1=,即b2=2ac,所以c2-a2-2ac=0,即e2-2e-1=0(e>1),解得e=1+.
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法二:妙用二级结论 由对称性及已知经过两曲线交点的直线恰好过焦点,知该两交点连线为抛物线、双曲线的通径,所以=2p.因为两圆锥曲线共焦点,所以=c,所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,即e2-2e-1=0(e>1),解得e=1+.
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5.(2024·九江三模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上,△AF1F2的面积为2,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
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解析:如图,∵O为线段F1F2的中点,B为线段AF1的中点,
∴OB∥AF2.又OB⊥x轴, ∴AF2⊥x轴. 在Rt△AF1F2中, ∠AF1F2=,设|AF2|=t,则|AF1|=2t,|F1F2|=t.∵△AF1F2的面积为2,∴×t×t=2,t=2.
∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,a=3,2c=|F1F2|=t=
2,c=,b2=a2-c2=6,则C的方程为+=1.
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6.(2024·海南二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=1与E交于A,B两点,直线x=4与E交于C,D两点,若A,B,C,D四点构成的梯形的面积为18,则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|= ( )
A.14 B.12
C.16 D.18
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解析:将x=1代入y2=2px,得y=±,将x=4代入y2=2px,得y=±2,
所以|AB|+|CD|=2+4=6.因为A,B,
C,D四点构成的梯形的面积为18,所以(|AB|+|CD|)×(4-1)=9=18,解得p=2,故由抛物线定义知|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=(1+1)+(1+1)+(4+1)+(4+1)=14.
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7.(2024·福建模拟)设双曲线C其中一支的焦点为F,另一支的顶点为A,其两渐近线分别为m,n. 若点B在m上,且BF⊥m,AB⊥n,则m与n的夹角的正切值为 ( )
A. B.
C.2 D.
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解析:记两渐近线的交点为O,设C:-=1,
双曲线实轴长2a,焦距2c,
由双曲线的定义得|OA|=a,|OF|=c,
其渐近线方程m:y=x,n:y=-x,
由BF⊥m,知
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所以|BF|=b,|OB|=a.由|OA|=|OB|,AB⊥n,知n为∠BOA的平分线,记n交AB于点H,由渐近线的性质,有∠HOA=∠BOF,综上,∠HOA=∠BOF=∠HOB=,则m与n的夹角的正切值为.
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8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点分别为A,B,右焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于,O为坐标原点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率之比的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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解析:由已知得,直线AB的方程为y=x+b,
设椭圆的焦距为2c(c>0),由题意设点E(c,y0),则y0=+b,即E,
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所以kOE==.又kAB=<,所以e==>,即1
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9.已知双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线2x+3y+m=0(m∈R)与C的一条渐近线平行,若点D在C的右支上,点B(,1),则|DB|+|DF2|的最小值为( )
A.-3 B.6
C.-6 D.8
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解析:因为双曲线C:-=1(a>0),所以双曲线的渐近线方程为y=±x.因为直线2x+3y+m=0(m∈R)与C的一条渐近线平行,所以=,得a=3,
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所以c2=a2+b2=9+4=13,所以F1(-,0),F2(,0).因为B(,1),所以|BF1|==,因为点D在C的右支上,所以|DB|+|DF2|=
|DB|+|DF1|-2a≥|BF1|-2a=-6,所以|DB|+|DF2|的最小值为-6.
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10.(2024·陕西模拟)设O为坐标原点,直线y=(x-2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则下列结论正确的是( )
A.p=2
B.|MN|=
C.△OMN的面积为
D.以MN为直径的圆与l有两个交点
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解析:当y=0时,x=2,所以抛物线的焦点为(2,0),所以=2,得p=4,所以A错误;
由选项A可知y2=8x,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由得3x2-20x+12=0,
所以x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+p=+4=,所以B错误;
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点O到直线MN的距离为d==,由选项B可知|MN|=,所以△OMN的面积为××=,所以C正确;
抛物线的准线为x=-2,设线段MN的中点为Q,则xQ=,则点Q到准线l的距离为xQ+=+2==|MN|,所以以MN为直径的圆与准线l相切,即以MN为直径的圆与准线l只有一个交点,所以D错误.
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11.(2024·河北三模)[多选]已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯,其底面半径为3 cm,玻璃杯高为16 cm(玻璃厚度忽略不计),其倾斜状态的正视图如图所示,PQ表示水平桌面.当玻璃杯倾斜时,瓶内水面为椭圆形,阴影部分ABNM为瓶内水的正视图.设∠CBQ=θ,则下列结论正确的是 ( )
A.当θ=30°时,椭圆的离心率为
B.当椭圆的离心率最大时,tan θ=
C.当椭圆的焦距为4时,tan θ=
D.当θ=45°时,椭圆的焦距为6
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解析:过M作ME⊥BN于E,如图,
由∠CBQ=∠MNE=θ,当θ=30°时,在Rt△MNE中,|MN|===12,所以椭圆中2a=12,2b=6,e===,故A正确;
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因为椭圆的短轴长为定值6,e=,所以当椭圆的长轴最长时,椭圆的离心率最大,由图可知,椭圆长轴为AC时,椭圆的长轴最长,此时tan θ=tan∠ACB==,故B错误;
当椭圆的焦距为4时,a===,即|MN|=2,所以|NE|===4,所以tan θ=tan∠MNE
===,故C错误;
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当θ=45°时,tan θ=tan∠MNE===1,所以|EN|=6,由勾股定理可得|MN|===6,即2a=6,a=3,所以c===3,所以焦距2c=6,故D正确.
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12.(2024·上海高考)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9,那么点P到x轴的距离为 .
解析:设P(x0,y0),因为点P到准线x=-1的距离为9,所以x0+1=9,则x0=8,=4x0=32,解得y0=±4,即点P到x轴的距离为4.
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13.在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是双曲线E:-=1的左、右焦点,设点P是E的右支上一点,则-的最大值为 .
解析:双曲线E:-=1中a=2,b=,则c==3,设|PF1|=m(m≥a+c=5),|PF2|=n(n≥c-a=1),由双曲线的定义可得m-n=2a=4,则-=-=(m-n)=≤=
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(6-2)=,当且仅当=,即m=n,即n=+1>1,m=5+时取等号,所以-的最大值为.
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14.已知点P是椭圆+y2=1上的动点(点P不在坐标轴上),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点;若M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围为 .
解析:令直线PF2与F1M相交于点N,连接OM,
由F1M⊥MP,且PM为∠F1PF2的角平分线,得|PN|=|PF1|,且点M为F1N的中点,而O为F1F2的中点,则|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||.
(0,)
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设点P(x0,y0),椭圆+y2=1的长短半轴长、半焦距分别为a=2,b=1,c=,显然-2|PF1|=====x0+2,则|PF2|=4-|PF1|=2-x0,所以|OM|=||PF1|-|PF2||=|x0|∈(0,).
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15.(2024·锦州7月检测)[多选]已知F1,F2是椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,e1,e2分别是C1与C2的离心率,且P是C1与C2的一个公共点,满足·=0,则下列结论正确的是( )
A.+=- B.+=2
C.+2的最小值为 D.+的最大值为2
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解析:因为椭圆和双曲线共焦点,所以-=+,故A错误;
由·=0,得∠F1PF2=,如图,不妨设P为第一象限内的点,则|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即+=2c2,+=2,故B正确;
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由+=2,得+2=(+2)·=≥,当=,即=时等号成立,又e11
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设=sin θ,=cos θ,
(妙解:平方和为定值,因而可采用三角换元)
+=sin θ+cos θ=2sin,若最大值为2,则θ+=+2kπ,k∈Z,θ=+2kπ,k∈Z,=,=,得e1=,e2=,成立,故D正确.
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习得方法:①本题C项,还可构造函数,利用对勾函数判断=,则+2=+2,令2-1=t,t>1,所以+2=+t+1=++t,由于t>1,且函数y=+t在t>1上单调递增,故+2=++t>++1=3,+2没有最小值.
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②本题D项还可利用柯西不等式求解,≤(3+1)=8,所以+≤2,当·=1·,即e2=e1时取最大值,故D正确.
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知识拓展:共焦点F1,F2的椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(p>0,q>0)的交点为P,那么△PF1F2为两曲线的共焦点三角形,如图,若椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,那么①a2-b2=p2+q2;
②若∠F1PF2=,则+=2;③||·||=a2-p2.
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16.(2024·宜春三模)[多选]设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P,使得|OP|=,则下列说法正确的是( )
A.cos∠F1PF2=
B.·=5
C.△F1PF2的面积为2
D.△F1PF2的内切圆半径为-1
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解析:法一:由题意得a=2,|F1F2|=2c=2=4,则F1(-2,0),F2(2,0).由对称性可设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ,由解得
又F1(-2,0),F2(2,0),所以m= =,n==,所以mn=·==5.
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由椭圆的定义得m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos θ,即42=(m+n)2-2mn-2mncos θ=-2×5-2×5cos θ,解得cos θ=,故A正确;
·=mncos θ=5×=3,故B错误;
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△F1PF2的面积=mnsin θ=×5×=2,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,得=(m+n+|F1F2|)r,即2=(4+4)r,解得r=-1,故D正确.
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法二:设|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ.易知a=2,c==2,由极化恒等式,得·=|OP|2-|OF1|2=7-4=3,故B错误;
由中线长定理得m2+n2=2(|OP|2+|OF1|2)=22,由椭圆定义得m+n=2a=4,所以(m+n)2=m2+n2+2mn=22+2mn=32,所以mn=5,所以cos θ==,故A正确;
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由cos θ=,得sin θ==,所以=mnsin θ
=×5×=2,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,得=(m+n+|F1F2|)r,即2=(4+4)r,解得r=-1,故D正确.
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17.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则( )
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
√
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解析:设曲线上的动点P(x,y),则x>-2且·|x-a|=4,因为曲线过坐标原点,故×|0-a|=4,结合a<0,解得a=-2,故A正确.
若点(2,0)在C上,则·|2+2|=(2)2-22=4成立,即点(2,0)在C上,故B正确.
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由曲线的方程可得y2=-(x-2)2(-20,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.
对于D,当点(x0,y0)在曲线上时,由C的分析可得=-(x0-2)2≤,当且仅当x0=2时等号成立,故-≤y0≤,故D正确.
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18.(2024·枣庄模拟)设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P为抛物线C:x2=2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p= ;若斜率为的直线l过点Q,点M是直线l上一动点,则d(P,M)的最小值为 .
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解析:设P,则d(P,Q)=|m-3|+≥-m+3=(m-p)2+3- 3-=2,即p=2,当且仅当p=m=2时取得最小值;易知l:y=x-,C:x2=4y,联立有x2-6x+18=0,显然无解,即直线与抛物线无交点,如图所示,
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过P作PN∥x轴交l于N,过M作ME⊥PN,则d(P,M)=|PE|+|EM|≥|PE|+|EN|=|PN|(M,N重合时取得等号),由P,则N,所以|PN|=-m+3=(m-3)2+≥.(共44张PPT)
圆锥曲线的方程与性质
习题讲评（二）
圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及其应用,多以选择题、填空题或解答题一问的形式命题,难度中等,有时会以多选题或新形式题出现在压轴题的位置.
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
2
教学点(一) 圆锥曲线的定义
与标准方程
教学点(二) 椭圆、双曲线
的几何性质
3
教学点(三) 抛物线的几何性质
圆锥曲线的定义与标准方程
教学点（一）
[例1] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠PF1F2=,则△PF1F2的面积为( )
A. B.1 C.3 D.2
解析:法一:由题意得c2=4-3=1,解得c=1,由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2,由余弦定理得cos∠PF1F2=,因为|PF2|=4-|PF1|,∠PF1F2=,所以=,解得|PF1|=2,则=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=×2×2×=.
√
法二:由椭圆方程知a=2,b=,则c=1,通过a,b,c之间的关系和∠PF1F2=知P为椭圆的上(下)顶点,则=|F1F2|b=×2×=.
[例2] (2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
解析:由题意可知,∠F1PF2=90°,又由直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1==2.根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,
|PF2|=2a.因为=|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2=10.又a2+b2=c2,所以b2=8,所以双曲线的方程为-=1.
[例3] 已知圆N:x2+y2-6y+5=0,直线y=-1,圆M与圆N外切,且与直线y=-1相切,则点M的轨迹方程为 .
解析:由题意得,直线l:y=-1,且圆N:x2+(y-3)2=4,
设圆M半径为r,则点M到l':y=-3与点M到点N的距离相等,都是r+2,故点M的轨迹是以N为焦点,以l'为准线的抛物线,故方程为x2=12y.
x2=12y
|思|维|建|模|
1.椭圆、双曲线定义的应用方法
(1)判断点的轨迹并求解其轨迹方程.
(2)根据定义进行计算,常结合正弦定理、余弦定理解焦点三角形.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
(1)所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置.
(2)所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
[练1] 已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
√
即时训练
解析:由抛物线y2=8x知,焦点F(2,0),准线方程为l:x=-2,根据题意作图如图所示,
点P到直线l:4x-3y+12=0的距离为|PA|,到准线l1:x=-2的距离为|PB|,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,所以点P到直线l:4x-3y+12=0和准线l1:x=-2的距离之和为|PF|+|PA|,且点F(2,0)到直线l:4x-3y+12=0的距离为d==4,所以d1+d2的最小值为4.
[练2] (2024·聊城高三期中)已知圆C:(x-2)2+y2=64,F(-2,0)为圆内一点,将圆折起使得圆周过点F(如图),然后将纸片展开,得到一条折痕l,这样继续下去将会得到若干折痕,观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线,则该圆锥曲线的方程为__________.
+=10
思维路径:记点F关于折痕l的对称点为A,折痕l与AC相交于点P,分析|PF|+|PC|的值,结合椭圆定义可解.
解析:由题知F(-2,0),C(2,0),记点F关于折痕l的对称点为A,
折痕l与AC相交于点P,则点A在圆周上,折痕l为线段AF的垂直平分线,如图所示,则有|PA|=|PF|,可知|PF|+|PC|=|PA|+|PC|=|AC|=8>|FC|=4,所以点P的轨迹是以F,C为左、右焦点的椭圆,其中长轴2a=8,焦距2c=4,所以a=4,c=2,b=2,所以点P的轨迹方程,即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为+=1.
[练3] (2024·泰安一模)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
解析:设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知|PF|=2a+|PF1|,
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∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+
|PF1|+|AF|+2a,由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1共线,∵A(0,6),F1(-3,0),∴直线AF1的方程为+=1,即x=-3,代入x2-=1整理得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),所以P点的纵坐标为2,∴S△APF=-
=×6×6-×6×2=12.
椭圆、双曲线的几何性质
教学点（二）
[例1] 已知F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若E上存在不同的两点A,B,使得= ,则E的离心率的取值范围为( )
A.(0,-1) B.(0,-1]
C.(3-2,1) D.[3-2,1)
√
解析:思维路径:利用向量关系结合椭圆的对称性,找到当A1,A分别位于E的左、右顶点时,有最大值,求出离心率的取值范围.
如图,延长AF1交椭圆于A1,根据椭圆的对称性,得=,=,当A1,A分别位于E的左、右顶点时,有最大值,又因为A,B不重合,所以>,即>,解得e>3-2,所以E的离心率的取值范围为(3-2,1).
[例2] (2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
解析:法一:由题可知A,B,F2三点横坐标相等,
设A在第一象限,将x=c代入-=1得y=±,即A,B,故|AB|==10,|AF2|==5.
又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
法二:由题意,得|AF2|=|BF2|=5,|F1A|=13,则|F1F2|=2c=
=12,则c=6.又当x=c时,-=1,c2=a2+b2,则|y|=,所以|AB|=2|y|==10,则===5,解得a=4,所以e==.
[例3] 在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的两支上,若点C满足=+,且直线OC,AB的斜率之积为3,则Γ的渐近线的斜率为 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=+,所以=(x1+x2,y1+y2),则C点坐标为(x1+x2,y1+y2),因为直线OC,AB的斜率之积为3,所以·=3,即=3,
±
(解题结论:设A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入Γ的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点M和直线AB斜率有关的式子(AB,OM都不与坐标轴垂直,O为坐标原点):kABkOM=)
因为点A,B均在Γ上,所以-=1,-=1,两式相减得==3,所以=,所以Γ的两条渐近线的斜率为±.
易错提醒:双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,而Γ:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,注意区别,不要搞混.
|思|维|建|模| 与离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求的值或范围.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
[练1] (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.
即时训练
√
即时训练
解析:法一:方程组法 根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则由得所以离心率e==2.
法二:定义法 根据焦点坐标可知c=4,由双曲线的定义,得2a=|-|=|6-10|=4,所以离心率e==2.
[练2] (多选)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2,斜率为正的渐近线为l1,过点F2作直线l1的垂线,垂足为点A,交双曲线于点P,设点M是双曲线C上任意一点,若|PF2|=|AF2|,=,则( )
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的共轭双曲线方程为y2-=1
C.当点M位于双曲线C右支时,∈
D.点M到两渐近线的距离之积为
√
√
√
解析:如图,因为|AF2|=b,所以|PF2|=b,|yP|=|PF2|sin∠PF2F1=
b·=,则=·2c·=,所以ab=2.又|PF1|=b+2a,
在△PF2F1中,cos∠PF2F1==
=,化简得b=2a,
所以a=1,b=2,c=,双曲线C的方程为x2-=1.
双曲线C的离心率为=,A正确;
双曲线C的共轭双曲线方程为-x2=1,B错误;
==1+,因为|MF2|≥-1,则1<1+≤,即∈,C正确;
渐近线方程为y=±2x,设M(x0,y0),点M到两渐近线的距离之积为·===,D正确.
抛物线的几何性质
教学点（三）
[典例] (2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
√
√
√
解析:由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1,☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A正确;
P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,由=4xP,得xP=4,故P(4,4),此时切线长|PQ|===,B正确;
当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2),当点P的坐标为(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1,
当点P的坐标为(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1,于是PA⊥AB不成立,C错误;
D选项,法一:因为抛物线的焦点F(1,0),|PB|=|PF|,所以|PA|=|PB|等价于点P在线段AF的中垂线上,易得该中垂线的方程为y=x+,与抛物线方程联立,得消去y整理得4x2-196x+225=0,
Δ=(-196)2-4×4×225>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,D正确.
法二:设点直接求解
设P,由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),|PA|=|PB|,根据两点间的距离公式,
=+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162
-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,
即存在两个这样的P点,D正确.故选ABD.
|思|维|建|模|
利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论见(P195抛物线焦点弦的常用结论),使问题简单化且减少数学运算.
(2024·重庆市巴蜀中学适应性月考)[多选]抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,直线m与C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点,O是坐标原点,则下列说法正确的是 ( )
A.过点(0,p)可作3条与抛物线C只有一个公共点的直线
B.若∠AOB=,则直线m过定点(2p,0)
C.若直线m经过焦点F,且|AF|+4|BF|的最小值是9,则p=3
D.若|AB|=a(a为一常数且a≥2p),则点M到y轴距离的最小值为
√
即时训练
√
√
解析:过点(0,p)可作2条与抛物线C相切的直线,可作1条与抛物线C对称轴平行的直线,所以共有3条与C只有一个公共点的直线①,故A正确;
设直线AB的方程为x=ny+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pny-2pt=0,则y1y2=-2pt.由∠AOB=,得x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,y1y2=-4p2,所以-2pt=-4p2,解得t=2p,所以直线m:x=ny+2p,即过定点(2p,0),故B正确;
设直线AB的倾斜角为α,不妨令点A在第一象限,则由抛物线定义可得|AF|=p+|AF|cos α,|BF|=p-|BF|cos α,
则|AF|=,|BF|=,故+=②,则|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)·=≥=9,因而p=2,
当且仅当|AF|=2|BF|,即|AF|=p,|BF|=p时,取得最小值,此时cos α=,故C错误;
过A,B,M分别作C的准线l的垂线,垂足分别是A1,B1,M1,MM1与y轴交于点N,如图,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)≥a,当AB过焦点F时取等号③,这样M到y轴的距离|MN|≥(a-p),故最小值为,故D正确.
关键点:①处,直线与抛物线有一个交点,不一定与直线相切,也可能与坐标轴平行,故直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件;
②处,给出了抛物线焦点弦的证明,在解选择、填空题时,可直接应用;
③处,三角形两边之和大于第三边,因为a≥2p(通径长即最短焦点弦长),所以AB能过焦点.习题讲评(二) 圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及其应用,多以选择题、填空题或解答题一问的形式命题,难度中等,有时会以多选题或新形式题出现在压轴题的位置.
教学环节一 题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一) 圆锥曲线的定义与标准方程
[例1] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠PF1F2=,则△PF1F2的面积为 ( ) A. B.1 C.3 D.2 [例2] (2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [例3] 已知圆N:x2+y2-6y+5=0,直线y=-1,圆M与圆N外切,且与直线y=-1相切,则点M的轨迹方程为 . [练1] 已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [练2] (2024·聊城高三期中)已知圆C:(x-2)2+y2=64,F(-2,0)为圆内一点,将圆折起使得圆周过点F(如图),然后将纸片展开,得到一条折痕l,这样继续下去将会得到若干折痕,观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线, 则该圆锥曲线的方程为 . [练3] (2024·泰安一模)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为 . [自助空间] 思维建模: 1.椭圆、双曲线定义的应用方法 (1)判断点的轨迹并求解其轨迹方程. (2)根据定义进行计算,常结合正弦定理、余弦定理解焦点三角形. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” (1)所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置. (2)所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
教学点(二) 椭圆、双曲线的几何性质
[例1] 已知F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若E上存在不同的两点A,B,使得= ,则E的离心率的取值范围为 ( ) A.(0,-1) B.(0,-1] C.(3-2,1) D.[3-2,1) [例2] (2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 . [例3] 在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的两支上,若点C满足=+,且直线OC,AB的斜率之积为3,则Γ的渐近线的斜率为 . [练1] (2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( ) A.4 B.3 C.2 D. [练2] (多选)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2,斜率为正的渐近线为l1,过点F2作直线l1的垂线,垂足为点A,交双曲线于点P,设点M是双曲线C上任意一点,若|PF2|=|AF2|,=,则 ( ) A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的共轭双曲线方程为y2-=1 C.当点M位于双曲线C右支时,∈ D.点M到两渐近线的距离之积为 [自助空间] 思维建模:与离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求的值或范围. (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到. [例3] 易错提醒: 双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,而Γ:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,注意区别,不要搞混.
教学点(三) 抛物线的几何性质
[典例] (2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则 ( ) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 [训练] (2024·重庆市巴蜀中学适应性月考)[多选]抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,直线m与C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点,O是坐标原点,则下列说法正确的是 ( ) A.过点(0,p)可作3条与抛物线C只有一个公共点的直线 B.若∠AOB=,则直线m过定点(2p,0) C.若直线m经过焦点F,且|AF|+4|BF|的最小值是9,则p=3 D.若|AB|=a(a为一常数且a≥2p),则点M到y轴距离的最小值为 [自助空间] 思维建模: 利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论见(P112抛物线焦点弦的常用结论),使问题简单化且减少数学运算.
教学环节二 课时作业讲评(教师批阅作业后,据情选点讲评)
1.(2024·铜川三模)已知双曲线C:x2+=1(m≠0)的一条渐近线方程为y=x,则C的焦点坐标为 ( ) A.(±,0) B.(0,±) C.(±1,0) D.(0,±1) 2.(2024·菏泽模拟)已知点A(a,2)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,且点A到抛物线的焦点F的距离为3,则p= ( ) A. B.1 C.2 D.4 3.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明,他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线:当01时,轨迹为双曲线.则方程=表示的圆锥曲线为 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 [自助空间]
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点F,则该双曲线的离心率e= ( ) A.2- B.1+ C. D.1+ 5.(2024·九江三模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上,△AF1F2的面积为2,则C的方程为 ( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.(2024·海南二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=1与E交于A,B两点,直线x=4与E交于C,D两点,若A,B,C,D四点构成的梯形的面积为18,则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|= ( ) A.14 B.12 C.16 D.18 7.(2024·福建模拟)设双曲线C其中一支的焦点为F,另一支的顶点为A,其两渐近线分别为m,n.若点B在m上,且BF⊥m,AB⊥n,则m与n的夹角的正切值为 ( ) A. B. C.2 D. 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点分别为A,B,右焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于,O为坐标原点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率之比的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第5题 深化拓展: 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合椭圆(双曲线)的定义,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
9.已知双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线2x+3y+m=0(m∈R)与C的一条渐近线平行,若点D在C的右支上,点B(,1),则|DB|+|DF2|的最小值为 ( ) A.-3 B.6 C.-6 D.8 10.(2024·陕西模拟)设O为坐标原点,直线y=(x-2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则下列结论正确的是 ( ) A.p=2 B.|MN|= C.△OMN的面积为 D.以MN为直径的圆与l有两个交点 11.(2024·河北三模)[多选]已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯,其底面半径为3 cm,玻璃杯高为16 cm(玻璃厚度忽略不计),其倾斜状态的正视图如图所示,PQ表示水平桌面.当玻璃杯倾斜时,瓶内水面为椭圆形,阴影部分ABNM为瓶内水的正视图.设∠CBQ=θ,则下列结论正确的是 ( ) A.当θ=30°时,椭圆的离心率为 B.当椭圆的离心率最大时,tan θ= C.当椭圆的焦距为4时,tan θ= D.当θ=45°时,椭圆的焦距为6 12.(2024·上海高考)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9,那么点P到x轴的距离为 . 13.在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是双曲线E:-=1的左、右焦点,设点P是E的右支上一点,则-的最大值为 . 14.已知点P是椭圆+y2=1上的动点(点P不在坐标轴上),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点;若M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围为 . 15.(2024·锦州7月检测)[多选]已知F1,F2是椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,e1,e2分别是C1与C2的离心率,且P是C1与C2的一个公共点,满足·=0,则下列结论正确的是 ( ) A.+=- B.+=2 C.+2的最小值为 D.+的最大值为2 16.(2024·宜春三模)[多选]设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P,使得|OP|=,则下列说法正确的是 ( ) A.cos∠F1PF2= B.·=5 C.△F1PF2的面积为2 D.△F1PF2的内切圆半径为-1 17.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则 ( ) A.a=-2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ 18.(2024·枣庄模拟)设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P为抛物线C:x2=2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p= ;若斜率为的直线l过点Q,点M是直线l上一动点,则d(P,M)的最小值为 . [自助空间] 第15题 知识拓展: 共焦点F1,F2的椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(p>0,q>0)的交点为P,那么△PF1F2为两曲线的共焦点三角形,如图,若椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,那么①a2-b2=p2+q2;②若∠F1PF2=,则+=2;③||·||=a2-p2. 常用结论: 设P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,F为焦点,则有|PF|≥;焦点弦AB以通径(2p)为最小值;若A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.
习题讲评(二) 圆锥曲线的方程与性质
教学环节一 题点考法讲评
教学点(一) 圆锥曲线的定义与标准方程
[例1] 选A
法一:由题意得c2=4-3=1,解得c=1,由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2,由余弦定理得cos∠PF1F2=,因为|PF2|=4-|PF1|,∠PF1F2=,所以=,解得|PF1|=2,则=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=×2×2×=.
法二:由椭圆方程知a=2,b=,则c=1,通过a,b,c之间的关系和∠PF1F2=知P为椭圆的上(下)顶点,则=|F1F2|b=×2×=.
[例2] 选C
由题意可知,∠F1PF2=90°,又由直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1==2.根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a.因为=|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2=10.又a2+b2=c2,所以b2=8,所以双曲线的方程为-=1.
[例3] 答案:x2=12y
解析:由题意得,直线l:y=-1,且圆N:x2+(y-3)2=4,设圆M半径为r,则点M到l':y=-3与点M到点N的距离相等,都是r+2,故点M的轨迹是以N为焦点,以l'为准线的抛物线,故方程为x2=12y.
[练1] 选D
由抛物线y2=8x知,焦点F(2,0),准线方程为l:x=-2,根据题意作图如图所示,点P到直线l:4x-3y+12=0
的距离为|PA|,到准线l1:x=-2的距离为|PB|,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,所以点P到直线l:4x-3y+12=0和准线l1:x=-2的距离之和为|PF|+|PA|,且点F(2,0)到直线l:4x-3y+12=0的距离为d==4,所以d1+d2的最小值为4.
[练2] 答案:+=1
思维路径:记点F关于折痕l的对称点为A,折痕l与AC相交于点P,分析|PF|+|PC|的值,结合椭圆定义可解.
由题知F(-2,0),C(2,0),记点F关于折痕l的对称点为A,折痕l与AC相交于点P,则点A在圆周上,折痕l为线段
AF的垂直平分线,如图所示,则有|PA|=|PF|,可知|PF|+|PC|=|PA|+|PC|=|AC|=8>|FC|=4,所以点P的轨迹是以F,C为左、右焦点的椭圆,其中长轴2a=8,焦距2c=4,所以a=4,c=2,b=2,所以点P的轨迹方程,即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为+=1.
[练3] 答案:12
设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1共线,∵A(0,6),F1(-3,0),∴直线AF1的方程为+=1,即x=-3,代入x2-=1整理得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),所以P点的纵坐标为2,∴S△APF=-=×6×6-×6×2=12.
教学点(二) 椭圆、双曲线的几何性质
[例1] 选C
思维路径:利用向量关系结合椭圆的对称性,找到当A1,A分别位于E的左、右顶点时,有最大值,求出离心率的取值范围.
如图,延长AF1交椭圆于A1,根据椭圆的对称性,得=,=,
当A1,A分别位于E的左、右顶点时,有最大值,又因为A,B不重合,所以>,即>,解得e>3-2,所以E的离心率的取值范围为(3-2,1).
[例2] 答案:
解析:法一:由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入-=1得y=±,即
A,B,故|AB|==10,|AF2|==5.
又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
法二:由题意,得|AF2|=|BF2|=5,|F1A|=13,则|F1F2|=2c==12,则c=6.又当x=c时,-=1,c2=a2+b2,则|y|=,所以|AB|=2|y|==10,则===5,解得a=4,所以e==.
[例3] 答案:±
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=+,所以=(x1+x2,y1+y2),则C点坐标为(x1+x2,y1+y2),因为直线OC,AB的斜率之积为3,所以·=3,即=3,
因为点A,B均在Γ上,所以-=1,-=1,两式相减得==3,所以=,所以Γ的两条渐近线的斜率为±.
[练1] 选C
法一:方程组法 根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则由得所以离心率e==2.
法二:定义法 根据焦点坐标可知c=4,由双曲线的定义,得2a=|-|=|6-10|=4,所以离心率e==2.
[练2] 选ACD
如图,因为|AF2|=b,所以|PF2|=b,|yP|=|PF2|sin∠PF2F1=b·=,则=·2c·=,所以ab=2.又|PF1|=b+2a,在△PF2F1中,cos∠PF2F1===,化简得b=2a,所以a=1,b=2,c=,双曲线C的方程为x2-=1.双曲线C的离心率为=,A正确;
双曲线C的共轭双曲线方程为-x2=1,B错误;
==1+,因为|MF2|≥-1,则1<1+≤,即∈,C正确;
渐近线方程为y=±2x,设M(x0,y0),点M到两渐近线的距离之积为·===,D正确.
教学点(三) 抛物线的几何性质
[典例] 选ABD
由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1,☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A正确;
P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,由=4xP,得xP=4,故P(4,4),此时切线长|PQ|===,B正确;
当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2),当点P的坐标为(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1,当点P的坐标为(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1,于是PA⊥AB不成立,C错误;
D选项,法一:因为抛物线的焦点F(1,0),|PB|=|PF|,所以|PA|=|PB|等价于点P在线段AF的中垂线上,易得该中垂线的方程为y=x+,与抛物线方程联立,得消去y整理得4x2-196x+225=0,
Δ=(-196)2-4×4×225>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,D正确.
法二:设点直接求解
设P,由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),|PA|=|PB|,根据两点间的距离公式, =+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,
即存在两个这样的P点,D正确.故选ABD.
[训练] 选ABD
过点(0,p)可作2条与抛物线C相切的直线,可作1条与抛物线C对称轴平行的直线,所以共有3条与C只有一个公共点的直线①,故A正确;
设直线AB的方程为x=ny+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pny-2pt=0,则y1y2=-2pt.由∠AOB=,得x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,y1y2=-4p2,所以-2pt=-4p2,解得t=2p,所以直线m:x=ny+2p,即过定点(2p,0),故B正确;
设直线AB的倾斜角为α,不妨令点A在第一象限,则由抛物线定义可得|AF|=p+|AF|cos α,|BF|=p-|BF|cos α,
则|AF|=,|BF|=,故+=②,
则|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)·=≥=9,因而p=2,当且仅当|AF|=2|BF|,即|AF|=p,|BF|=p时,取得最小值,此时cos α=,故C错误;
过A,B,M分别作C的准线l的垂线,垂足分别是A1,B1,M1,MM1与y轴交于点N,如图,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)≥a,当AB过焦点F时取等号③,这样M到y轴的距离|MN|≥(a-p),故最小值为,故D正确.
关键点:①处,直线与抛物线有一个交点,不一定与直线相切,也可能与坐标轴平行,故直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件;
②处,给出了抛物线焦点弦的证明,在解选择、填空题时,可直接应用;
③处,三角形两边之和大于第三边,因为a≥2p(通径长即最短焦点弦长),所以AB能过焦点.
教学环节二 课时作业讲评
1.选A
易知m<0,
(注意:此处易忽视m的范围)令x2+=0,解得y=±x,依题有=,即m=-2,双曲线方程为C:x2-=1,从而c==,从而C的焦点坐标为(±,0).
2.选C
因为抛物线为x2=2py(p>0),则其焦点在y轴正半轴上,焦点坐标为,由于点A(a,2)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,且点A到抛物线的焦点F的距离为3, 所以|AF|=2+=3,解得p=2.
3.选A
方程=,即为方程=<1表示动点P(x,y)到定点O(0,0)的距离与到定直线x+y-2=0的距离的比为且小于1,所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆.
4.选B
法一:由题意知=c,两曲线交点的连线过点F,由对称性得连线垂直于x轴,则其中一个交点坐标为,即(c,2c),代入双曲线方程,得-=1,则=-1=,即b2=2ac,所以c2-a2-2ac=0,即e2-2e-1=0(e>1),解得e=1+.
法二:妙用二级结论 由对称性及已知经过两曲线交点的直线恰好过焦点,知该两交点连线为抛物线、双曲线的通径,所以=2p.因为两圆锥曲线共焦点,所以=c,所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,即e2-2e-1=0(e>1),解得e=1+.
5.选D
如图,∵O为线段F1F2的中点,B为线段AF1的中点,∴OB∥AF2.又OB⊥x轴, ∴AF2⊥x轴. 在Rt△AF1F2中, ∠AF1F2=,设|AF2|=t,则|AF1|=2t,|F1F2|=t.∵△AF1F2的面积为2,∴×t×t=2,t=2.∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,a=3,2c=|F1F2|=t=2,c=,b2=a2-c2=6,则C的方程为+=1.
6.选A
将x=1代入y2=2px,得y=±,将x=4代入y2=2px,得y=±2,所以|AB|+|CD|=2+4=6.因为A,B,C,D四点构成的梯形的面积为18,所以(|AB|+|CD|)×(4-1)=9=18,解得p=2,故由抛物线定义知|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=(1+1)+(1+1)+(4+1)+(4+1)=14.
7.选B
记两渐近线的交点为O,设C:-=1,双曲线实轴长2a,焦距2c,由双曲线的定义得|OA|=a,|OF|=c,其渐近线方程m:y=x,n:y=-x,由BF⊥m,知所以|BF|=b,|OB|=a.由|OA|=|OB|,AB⊥n,知n为∠BOA的平分线,记n交AB于点H,由渐近线的性质,有∠HOA=∠BOF,综上,∠HOA=∠BOF=∠HOB=,则m与n的夹角的正切值为.
8.选D
由已知得,直线AB的方程为y=x+b,设椭圆的焦距为2c(c>0),由题意设点E(c,y0),则y0=+b,即E,所以kOE==.又kAB=<,所以e==>,即9.选C
因为双曲线C:-=1(a>0),所以双曲线的渐近线方程为y=±x.因为直线2x+3y+m=0(m∈R)与C的一条渐近线平行,所以=,得a=3,所以c2=a2+b2=9+4=13,所以F1(-,0),F2(,0).因为B(,1),所以|BF1|==,因为点D在C的右支上,所以|DB|+|DF2|=|DB|+|DF1|-2a≥|BF1|-2a=-6,所以|DB|+|DF2|的最小值为-6.
10.选C
当y=0时,x=2,所以抛物线的焦点为(2,0),所以=2,得p=4,所以A错误;
由选项A可知y2=8x,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由得3x2-20x+12=0,所以x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+p=+4=,所以B错误;
点O到直线MN的距离为d==,由选项B可知|MN|=,所以△OMN的面积为××=,所以C正确;
抛物线的准线为x=-2,设线段MN的中点为Q,则xQ=,则点Q到准线l的距离为xQ+=+2==|MN|,所以以MN为直径的圆与准线l相切,即以MN为直径的圆与准线l只有一个交点,所以D错误.
11.选AD
过M作ME⊥BN于E,如图,由∠CBQ=∠MNE=θ,当θ=30°时,在Rt△MNE中,|MN|===12,所以椭圆中2a=12,2b=6,e===,故A正确;
因为椭圆的短轴长为定值6,e=,所以当椭圆的长轴最长时,椭圆的离心率最大,由图可知,椭圆长轴为AC时,椭圆的长轴最长,此时tan θ=tan∠ACB==,故B错误;
当椭圆的焦距为4时,a===,即|MN|=2,所以|NE|===4,所以tan θ=tan∠MNE===,故C错误;
当θ=45°时,tan θ=tan∠MNE===1,所以|EN|=6,由勾股定理可得|MN|===6,即2a=6,a=3,所以c===3,所以焦距2c=6,故D正确.
12.答案:4
解析:设P(x0,y0),因为点P到准线x=-1的距离为9,所以x0+1=9,则x0=8,=4x0=32,解得y0=±4,即点P到x轴的距离为4.
13.答案:
解析:双曲线E:-=1中a=2,b=,则c==3,设|PF1|=m(m≥a+c=5),|PF2|=n(n≥c-a=1),由双曲线的定义可得m-n=2a=4,则-=-=(m-n)=≤=(6-2)=,当且仅当=,即m=n,即n=+1>1,m=5+时取等号,所以-的最大值为.
14.答案:(0,)
解析:
令直线PF2与F1M相交于点N,连接OM,由F1M⊥MP,且PM为∠F1PF2的角平分线,得|PN|=|PF1|,且点M为F1N的中点,而O为F1F2的中点,则|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||.设点P(x0,y0),椭圆+y2=1的长短半轴长、半焦距分别为a=2,b=1,c=,显然-215.选BD
因为椭圆和双曲线共焦点,所以-=+,故A错误;
由·=0,得∠F1PF2=,如图,不妨设P为第一象限内的点,则|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即+=2c2,+=2,故B正确;
由+=2,得+2=(+2)·=≥,当=,即=时等号成立,又e1设=sin θ,=cos θ,
(妙解:平方和为定值,因而可采用三角换元)
+=sin θ+cos θ=2sin,若最大值为2,则θ+=+2kπ,k∈Z,θ=+2kπ,k∈Z,=,=,得e1=,e2=,成立,故D正确.
习得方法:①本题C项,还可构造函数,利用对勾函数判断=,则+2=+2,令2-1=t,t>1,所以+2=+t+1=++t,由于t>1,且函数y=+t在t>1上单调递增,故+2=++t>++1=3,+2没有最小值.
②本题D项还可利用柯西不等式求解,≤(3+1)·=8,所以+≤2,当·=1·,即e2=e1时取最大值,故D正确.
16.选ACD
法一:由题意得a=2,|F1F2|=2c=2=4,则F1(-2,0),F2(2,0).由对称性可设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ,由解得
又F1(-2,0),F2(2,0),所以m= =,n==,所以mn=·==5.
由椭圆的定义得m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos θ,即42=(m+n)2-2mn-2mncos θ=-2×5-2×5cos θ,解得cos θ=,故A正确;
·=mncos θ=5×=3,故B错误;
△F1PF2的面积=mnsin θ=×5× =2,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,得=(m+n+|F1F2|)r,即2=(4+4)r,解得r=-1,故D正确.
法二:设|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ.易知a=2,c==2,由极化恒等式,得·=|OP|2-|OF1|2=7-4=3,故B错误;
由中线长定理得m2+n2=2(|OP|2+|OF1|2)=22,由椭圆定义得m+n=2a=4,所以(m+n)2=m2+n2+2mn=22+2mn=32,所以mn=5,所以cos θ==,故A正确;
由cos θ=,得sin θ==,所以=mnsin θ=×5×=2,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,得=(m+n+|F1F2|)r,即2=(4+4)r,解得r=-1,故D正确.
17.选ABD
设曲线上的动点P(x,y),则x>-2且·|x-a|=4,因为曲线过坐标原点,故×|0-a|=4,结合a<0,解得a=-2,故A正确.
若点(2,0)在C上,则·|2+2|=(2)2-22=4成立,即点(2,0)在C上,故B正确.
由曲线的方程可得y2=-(x-2)2(-20,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.
对于D,当点(x0,y0)在曲线上时,由C的分析可得=-(x0-2)2≤,当且仅当x0=2时等号成立,故-≤y0≤,故D正确.
18.答案:2
解析:设P,则d(P,Q)=|m-3|+≥-m+3=(m-p)2+3- 3-=2,即p=2,当且仅当
p=m=2时取得最小值;易知l:y=x-,C:x2=4y,联立有x2-6x+18=0,显然无解,即直线与抛物线无交点,如图所示,过P作PN∥x轴交l于N,过M作ME⊥PN,则d(P,M)=|PE|+|EM|≥|PE|+|EN|=|PN|(M,N重合时取得等号),由P,则N,所以|PN|=-m+3=(m-3)2+≥.
