(共38张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.(2024·新乡二模)已知直线x+2y+2=0与抛物线C:y2=ax的图象相切,则C的焦点坐标为 ( )
A. B.(-1,0)
C. D.(1,0)
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解析:依题意,联立消去x,得y2+2ay+2a=0,则Δ=4a2-8a=0,因为a≠0,所以a=2,故抛物线C方程为y2=2x,则其焦点坐标为.
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2.(2024·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,P为AB中点,O为坐标原点,则直线OP的斜率为( )
A.-1 B.-
C.- D.-
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解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则kAB==1,x0=,y0=,所以kOP==,所以kABkOP=,将A,B两点坐标代入椭圆方程可得两式作差可得+-=0,所以kABkOP==-,则kOP=-.
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3.(2024·大同模拟)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-
=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,若线段AB中点的坐标是(x0,y0),且x0∶y0=4∶3,则=( )
A. B.
C. D.2
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解析:将(x0,y0)代入直线x-3y+m=0(m≠0)中,得x0-3y0+m=0,联立x0∶y0=4∶3,解得x0=m,y0=m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2-a2)=0,则Δ=36b4m2-4b2(9b2-a2)(m2-a2)=4a2b2(9b2+m2-a2)>0,因此y1+y2==,整理得a2=4b2,则a=2b,所以=2.
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4.(2024·上饶模拟)如图所示,曲线C是由半椭圆C1:+=1(y<0),半圆C2:(x-1)2+y2=1(y≥0)和半圆C3:(x+1)2+y2=1(y≥0)组成,过C1的左焦点F1作直线l1与曲线C仅交于A,B两点,过C1的右焦点F2作直线l2与曲线C仅交于M,N两点,且l1∥l2,则|AB|+|MN|的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
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解析:由题意知|AB|+|MN|=|BF1|+|NF2|+2,∵l1∥l2,∴由对称性可知|BF1|+|NF2|为椭圆+=1截直线l2的弦长,由题意知l2斜率不为0,设l2:x=my+1,其与椭圆+=1交于点(x1,y1)和(x2,y2),由
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得(3m2+4)y2+6my-9=0,则Δ=144(m2+1)>0,∴y1+y2=-,y1y2=
-,∴|BF1|+|NF2|=·==4-,当m=0时,|BF1|+|NF2|取得最小值4-1=3,∴|AB|+|MN|的最小值为3+2=5.
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5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别是C的左、右焦点,经过点F2且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A,B两点,若△ABF1的面积为64,则双曲线C的实轴长为( )
A.6 B.8
C.12 D.16
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解析:∵e===,∴=,即b=a,c=a,∴渐近线方程为y=±x.由题意不妨设直线l的方程为x=-y+c,由消去x得3y2-4ay+4a2=0,则Δ=(-4a)2-4×3×4a2=48a2>0.
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设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,∴=|-|=|F1F2|·|y1-y2|=|F1F2|·==4a2=64,解得a=4,即2a=8,故双曲线C的实轴长为8.
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6.(2024·广州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),平行于x轴的直线与C交于点P,Q,平行于y轴的直线与C交于点M,N,直线PQ与直线MN在第一象限交于点E,且|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,若过点E的直线l与C交于点A,B,且点E为AB的中点,则l的方程为______________.
解析:设E(x0,y0),由|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,
得x0==2,y0==1,所以E(2,1),
x+2y-4=0
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所以Q(-4,1),M(2,2),代入C的方程得解得故C的方程为+=1.
法一:易知l的斜率存在且不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,
+=1,两式相减得·=-,由点E为AB的中点得x1+x2=4,y1+y2=2,则l的斜率为=-,所以l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
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法二:易知l的斜率存在且不为0,设l的方程为y-1=k(x-2)(k≠0),联立C的方程并整理,得(1+4k2)x2+8(k-2k2)x+4(2k-1)2-20=0,满足Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点E为AB的中点,所以=-=2,解得k=-,所以l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
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7.已知点A为椭圆E:+=1的左顶点,点F为椭圆E的右焦点,过点F作一条直线(直线与x轴不重合)交椭圆E于M,N两个不同点,连接AM,AN,则kAM·kAN= .
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解析:由题知A(-5,0),F(4,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+4,联立消去x整理得(9m2+25)y2+72my-81=0,所以y1+y2=,y1y2=,因此kAM·kAN=·==
==-.
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8.(2024·西安模拟)在直角坐标系xOy中,动点P到定点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
解:设P(x,y),P到y轴的距离为d,d=|x|.轨迹C即集合{P||PF|=|x|+2},∴=|x|+2,化简整理,得y2=4x+4|x|.①当x<0时,①即y=0;当x≥0时,①即y2=8x.
∴点P的轨迹C的方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
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(2)过x轴上的点E(a,0)(a>0)的任意直线l,交轨迹C于不同两点A和B;交y轴于M,且=λ,=μ,求λ+μ的值.
解:由题意及a>0知直线l与轨迹C的交点不可能在x轴的负半轴(包括原点)上.
所以只需考虑x≥0时,轨迹C:y2=8x与直线l的关系.由题意,直线l的斜率存在且不等于零,设直线l的方程为x=my+a(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),如图,则M,x1=my1+a,x2=my2+a,
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由消去x,得y2-8my-8a=0,
Δ=(-8m)2-4×1×(-8a)=64m2+32a>0恒成立.
则y1+y2=8m,y1y2=-8a.∵=λ,=μ.
∴=λ(-my1,-y1),=μ(-my2,-y2),
解得λ=-1-,μ=-1-.∴λ+μ=-2-=-2-·=-2-·=-1.
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9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点C,右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
解:由题意可得解得所以椭圆的方程为+=1.
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(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,点A是右顶点,直线MA,NA分别与直线x=4交于点P,Q,求∠PFQ的大小.
解:当直线l的斜率不存在时,不妨设M在第一象限,有M,N,P(4,-3),Q(4,3),F(1,0),则=(3,-3),=(3,3),
故·=0,即∠PFQ=90°.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),其中k≠0.
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联立得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由题意,知Δ>0恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
x1x2=.直线MA的方程为y=(x-2),令x=4,得yP=,即P,同理可得Q.所以=,=.
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因为·=9+=9+
=9+=9+
=9+=9-9=0,
所以∠PFQ=90°.综上所述,∠PFQ=90°.
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10.(2024·衡水模拟)[多选]已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且与坐标轴不垂直的直线与E交于A,B两点,过AB的中点M作y轴的平行线交l于点N.设MN的中点为P,直线PA,AB,PB的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是 ( )
A.点P在E上
B.过点P且与E相切的直线m与直线AB平行
C.|AB|=3|PF|
D.k1+k3=2k2
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解析:由题意知直线AB的方程为y=k2x+, 联立得x2-2pk2x-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
M(x0,y0),则x1+x2=2pk2,x1x2=-p2,则x0==pk2,
y0=k2x0+=p+,即M,由MN∥y轴,得N,则MN的中点P,满足方程x2=2py,故点P在E上,故A正确;
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由y=,得y'=,所以E在点P处的切线m的斜率为km==k2,所以m∥AB,故B正确;
由抛物线的定义,得|PF|=+=(+1),|AB|=|AF|+|BF|=
y1+y2+p=2y0+p=2+p=2p(+1),所以|AB|=4|PF|,故C错误;
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由k1===,同理可得k3=,所以k1+k3===2k2,故D正确.
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11.(2024·张掖模拟)[多选]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx与双曲线交于A,B两点(点A在第一象限),且∠F1AF2=,若|BF2|=3|AF2|,则下列结论正确的是( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.2a=3b
D.若点P是双曲线上异于A,B的任意一点,则kPA·kPB=
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解析:如图,连接BF1,由双曲线定义可知,|AF1|-|AF2|=2a,
由题意得A,B关于原点对称,故|AF1|=|BF2|且AF1∥BF2,即四边形BF1AF2为平行四边形,因为|BF2|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a,且|BF2|=3|AF2|,
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所以|BF2|=3a,|AF2|=a,由∠F1AF2=,所以∠AF2B=.由=(+),得=(++2|F2A||F2B|cos∠AF2B),即有c2==a2,所以=,所以离心率e==,故A正确;
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又==-1=,所以=,所以渐近线方程为y=±x,2b=3a,故B、C错误;
设点P(x0,y0),A(x1,y1),因为A,B是直线y=kx与双曲线的交点,根据对称性可得B(-x1,-y1),所以kPA·kPB=·=.
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又点P,A在双曲线上,代入可得两式相减可得=,所以kPA·kPB==,故D正确.
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12.(2024·绍兴三模)已知双曲线Γ:x2-=1与直线l:y=x+1交于A,B两点(A在B左侧),过点A的两条关于l对称的直线l1,l2分别交双曲线Γ于C,D两点(C在右支,D在左支).
(1)设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,求k1·k2的值;
解:由题意知直线l斜率为1,∴直线l的倾斜角α=,设直线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2(θ1,θ2∈(0,π)),直线l1,l2关于直线l对称,∴θ1+θ2=2α=,
∴k1·k2=tan θ1·tan θ2=tan θ1·tan=·=1.
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(2)若直线CD与双曲线Γ在点B处的切线交于点P,求△ABP的面积.
解:联立 A(-1,0),B,
∴双曲线Γ在点B处的切线方程为x-y=1.不妨设直线CD为m(x+1)+ny=1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立得 4(x+1)2-8(x+1)[m(x+1)+ny]-y2=0,
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整理得+8n·+8m-4=0,将等式看作关于的方程:两根之和+=-8n,两根之积·=8m-4,而其中k1·k2=kAC·kAD=·=8m-4,由(1)得k1·k2=1,∴m=,∴直线CD为(x+1)+ny=1,过定点.
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又∵双曲线Γ在点B处的切线方程为x-y=1,过点,∴P,设P到AB的距离为d,∴S△ABP=|AB|d=×××=.(共47张PPT)
直线与圆锥曲线的位置关系
习题讲评(三)
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,难度中等.
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
1
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教学点(一) 直线与圆锥曲线位置
关系的判断及应用
教学点(二) 中点弦问题
3
教学点(三) 弦长问题
直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
教学点（一）
[例1] 已知抛物线C:x2=y,点M(m,1),则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析:过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条,则当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线为x=m;当直线的斜率存在时,设直线为y-1=k(x-m),则消去y整理得x2-kx+km-1=0,
∴Δ=0,即k2-4km+4=0有两个不同的解,所以Δ1>0,即16m2-16>0,解得m<-1或m>1,所以 “m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
[例2] 已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的焦点,且C1与直线l:x-y+3=0相切,则椭圆C1的离心率为( )
A. B.
C. D.
√
解析:由椭圆C2:+y2=1,得焦点F1(1,0),F2(-1,0),因为椭圆C1与C2有相同的焦点,所以椭圆C1的焦点F1(1,0),F2(-1,0),则C1:+=1.又因为C1与直线l:x-y+3=0相切,则椭圆C1与直线l只有1个交点,联立方程组得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,则Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)=0,化简得a4-6a2+5=0,解得a2=5或a2=1(不合题意舍去),则a=.又c=1,所以e==.
|思|维|建|模|
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
[练1] 已知O为坐标原点,椭圆C:+=1(0A. B.
C. D.
√
即时训练
解析:由直线过椭圆C的右焦点且斜率为,则直线MN的方程为x=2y+c(其中c=),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组 整理得4(b2+1)y2+4b2cy-b4=0,则y1+y2=-,y1y2=,所以kOMkON==
===
=,可得25b4-80b2+64=0,解得b=.
[练2] (2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为______________.
解析:由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.
(答案不唯一)
中点弦问题
教学点（二）
[例1] 直线y=kx与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点(点A在第一象限),过点A作x轴的垂线,垂足为E,AE的中点为M,设直线BM与椭圆的另一交点为P,若·=0,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
√
解析:设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),M,
∴=(x2-x1,y2-y1),=(-2x1,-2y1),
∴·=2x1(x1-x2)+2y1(y1-y2)=0,∴=-.①
B,M,P三点共线,∴kBM=kBP,∴==·,②
A,P在椭圆上,两式相减可得+=0,∴+··=0,③
将①②代入③可得+··=0,∴=,∴=,所以椭圆的离心率e=====.
[例2] 如图,已知过原点的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,双曲线C的右支上一点P满足tan∠APB=,若直线PB的斜率为-3,则双曲线C的离心率为 .
解析:如图,取PB的中点M,连接OM,则OM∥AP,所以tan∠OMB=tan∠APB=,设直线PB的倾斜角为α,则tan α=-3,所以tan∠xOM=-tan(∠OMB+α)=-=,所以直线OM的斜率为-.设B(x1,y1),P(x2,y2),
则M.由得到·=,所以=-3×=,所以e2=1+=,则e=.
知识拓展:已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上两点,AB的中点C(x0,y0),直线AB的斜率为k.
(1)若椭圆E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·;
(2)若双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·;
(3)若抛物线E的方程为y2=2px(p>0),则k==.
|思|维|建|模| 求解与中点弦有关问题的两种方法
(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.
(2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零.
[练1] 椭圆+=1中以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程为( )
A.4x+9y-17=0 B.4x-9y-17=0
C.x+3y-2-3=0 D.x-3y-2+3=0
即时训练
√
即时训练
解析:设以点M(2,1)为中点的弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得+=0,因为M(2,1)为中点,所以=2,=1,所以斜率k==-=-,
所以所求直线方程为y-1=-(x-2),即4x+9y-17=0.
[练2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为 ( )
A.(1,-1) B.(2,0)
C. D.(1,1)
√
解析:∵焦点到准线的距离为p,则p=1,∴抛物线方程为y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=.
又∵P,Q关于直线l对称.∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴=-1.又∵PQ的中点一定在直线l上,∴=+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).
弦长问题
教学点（三）
[典例] (2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;
解:由题意得解得
所以e===.
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
解:法一:思维路径:以|AP|为底,求出三角形的高,即点B到直线AP的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B点坐标,则得到直线l的方程.
易知kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0,
|AP|==,由(1)知C:+=1.
设点B到直线AP的距离为d,则d==,
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为x+2y+C=0,则=,解得C=6或C=-18,
当C=6时,联立解得或
即B(0,-3)或,
当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0,
当B时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0,
当C=-18时,联立得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
设B(x0,y0),则解得或
即B(0,-3)或,以下同法一.
法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
设B(2cos θ,3sin θ),其中θ∈[0,2π),则有=,
联立cos2θ+sin2θ=1,解得或
即B(0,-3)或,以下同法一.
法四:当直线AB的斜率不存在时,此时B(0,-3),
S△PAB=×6×3=9,符合题意,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3,
联立椭圆方程有则(4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,即k≠-,
解得x=0或x=,k≠0,k≠-.
令x=,则y=,
则B,
同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
则=,解得k=,
此时B,则得到此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0,
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
法五:当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3),
令P(x1,y1),B(x2,y2),消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,
Δ=-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-,
|PB|=
=,
点A到直线PB的距离d=,
S△PAB=··=9,
∴k=或k=,均满足题意,
∴l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
法六:当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+,
设l与y轴的交点为Q,令x=0,
则Q,
联立则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0,
其中Δ=(8k)2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-,
则3xB=,xB=,
则S=|AQ||xP-xB|==9,解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意.
则直线l为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
|思|维|建|模|
1.当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.
2.若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|==·|x1-x2|
=·或|AB|=·|y1-y2|
=(k≠0).
3.圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式:S=×底×高.
(2)正弦面积公式:S=absin C.
(3)铅锤高水平宽面积公式:
①过x轴上的定点:S=a|y1-y2|(a为x轴上定长);
②过y轴上的定点:S=a|x1-x2|(a为y轴上定长).
已知双曲线C与椭圆+y2=1有公共焦点,其渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的标准方程;
解:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由已知得c=,=,所以a=,b=1.
所以双曲线方程为-y2=1.
即时训练
(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=4,求实数m的值.
解:直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=4,
联立方程组得x2+4mx+2m2+2=0,
当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-4m,x1x2=2m2+2.
所以|AB|=|x1-x2|= =×=4,
解得m=±.
经检验Δ>0符合题意,所以m=±.习题讲评(三) 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,难度中等.
教学环节一 题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一) 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
[例1] 已知抛物线C:x2=y,点M(m,1),则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [例2] 已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的焦点,且C1与直线l:x-y+3=0相切,则椭圆C1的离心率为 ( ) A. B. C. D. [练1] 已知O为坐标原点,椭圆C:+=1(0教学点(二) 中点弦问题
[例1] 直线y=kx与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点(点A在第一象限),过点A作x轴的垂线,垂足为E,AE的中点为M,设直线BM与椭圆的另一交点为P,若·=0,则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. [例2] 如图,已知过原点的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,双曲线C的右支上一点P满足tan∠APB=,若直线PB的斜率为-3,则双曲线C的离心率为 . [练1] 椭圆+=1中以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程为 ( ) A.4x+9y-17=0 B.4x-9y-17=0 C.x+3y-2-3=0 D.x-3y-2+3=0 [练2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为 ( ) A.(1,-1) B.(2,0) C. D.(1,1) [自助空间] 思维建模: 求解与中点弦有关问题的两种方法 (1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系. (2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零. [例2] 知识拓展: 已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上两点,AB的中点C(x0,y0),直线AB的斜率为k. (1)若椭圆E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·; (2)若双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·; (3)若抛物线E的方程为y2=2px(p>0),则k==.
教学点(三) 弦长问题
[典例] (2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
[思维建模]
1.当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.
2.若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|==·|x1-x2|=·或|AB|=·|y1-y2|=(k≠0).
3.圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式:S=×底×高.
(2)正弦面积公式:S=absin C.
(3)铅锤高水平宽面积公式:
①过x轴上的定点:S=a|y1-y2|(a为x轴上定长);
②过y轴上的定点:S=a|x1-x2|(a为y轴上定长).
[训练] 已知双曲线C与椭圆+y2=1有公共焦点,其渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=4,求实数m的值.
教学环节二 课时作业讲评(请在各题的答题框内答题,以便投屏展示,现场评点)
1.(2024·新乡二模)已知直线x+2y+2=0与抛物线C:y2=ax的图象相切,则C的焦点坐标为 ( ) A. B.(-1,0) C. D.(1,0) 2.(2024·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,P为AB中点,O为坐标原点,则直线OP的斜率为 ( ) A.-1 B.- C.- D.- 3.(2024·大同模拟)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,若线段AB中点的坐标是(x0,y0),且x0∶y0=4∶3,则= ( ) A. B. C. D.2 4.(2024·上饶模拟)如图所示,曲线C是由半椭圆C1:+=1(y<0),半圆C2:(x-1)2+y2=1(y≥0)和半圆C3:(x+1)2+y2=1(y≥0)组成,过C1的左焦点F1作直线l1与曲线C仅交于A,B两点,过C1的右焦点F2作直线l2与曲线C仅交于M,N两点,且l1∥l2,则|AB|+|MN|的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别是C的左、右焦点,经过点F2且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A,B两点,若△ABF1的面积为64,则双曲线C的实轴长为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.16 6.(2024·广州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),平行于x轴的直线与C交于点P,Q,平行于y轴的直线与C交于点M,N,直线PQ与直线MN在第一象限交于点E,且|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,若过点E的直线l与C交于点A,B,且点E为AB的中点,则l的方程为 . 7.已知点A为椭圆E:+=1的左顶点,点F为椭圆E的右焦点,过点F作一条直线(直线与x轴不重合)交椭圆E于M,N两个不同点,连接AM,AN,则kAM·kAN= . [自助空间]
8.(2024·西安模拟)在直角坐标系xOy中,动点P到定点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过x轴上的点E(a,0)(a>0)的任意直线l,交轨迹C于不同两点A和B;交y轴于M,且=λ,=μ,求λ+μ的值.
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点C,右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,点A是右顶点,直线MA,NA分别与直线x=4交于点P,Q,求∠PFQ的大小.
易错提醒:
(1)设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在,斜率为0等.
(2)涉及直线与圆相交时,Δ>0易漏掉.
10.(2024·衡水模拟)[多选]已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且与坐标轴不垂直的直线与E交于A,B两点,过AB的中点M作y轴的平行线交l于点N.设MN的中点为P,直线PA,AB,PB的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是 ( )
A.点P在E上
B.过点P且与E相切的直线m与直线AB平行
C.|AB|=3|PF|
D.k1+k3=2k2
11.(2024·张掖模拟)[多选]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx与双曲线交于A,B两点(点A在第一象限),且∠F1AF2=,若|BF2|=3|AF2|,则下列结论正确的是 ( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.2a=3b
D.若点P是双曲线上异于A,B的任意一点,则kPA·kPB=
12.(2024·绍兴三模)已知双曲线Γ:x2-=1与直线l:y=x+1交于A,B两点(A在B左侧),过点A的两条关于l对称的直线l1,l2分别交双曲线Γ于C,D两点(C在右支,D在左支).
(1)设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,求k1·k2的值;
(2)若直线CD与双曲线Γ在点B处的切线交于点P,求△ABP的面积.
习题讲评(三) 直线与圆锥曲线的位置关系
教学环节一 题点考法讲评
教学点(一) 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
[例1] 选A
过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条,则当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线为x=m;当直线的斜率存在时,设直线为y-1=k(x-m),则消去y整理得x2-kx+km-1=0,∴Δ=0,即k2-4km+4=0有两个不同的解,所以Δ1>0,即16m2-16>0,解得m<-1或m>1,所以 “m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
[例2] 选A
由椭圆C2:+y2=1,得焦点F1(1,0),F2(-1,0),因为椭圆C1与C2有相同的焦点,所以椭圆C1的焦点F1(1,0),F2(-1,0),则C1:+=1.又因为C1与直线l:x-y+3=0相切,则椭圆C1与直线l只有1个交点,联立方程组得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,则Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)=0,化简得a4-6a2+5=0,解得a2=5或a2=1(不合题意舍去),则a=.又c=1,所以e==.
[练1] 选B
由直线过椭圆C的右焦点且斜率为,则直线MN的方程为x=2y+c(其中c=),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组整理得4(b2+1)y2+4b2cy-b4=0,则y1+y2=-,y1y2=,所以kOMkON======,可得25b4-80b2+64=0,解得b=.
[练2] 答案:(答案不唯一)
解析:由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.
教学点(二) 中点弦问题
[例1] 选A
设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),M,∴=(x2-x1,y2-y1),=(-2x1,-2y1),
∴·=2x1(x1-x2)+2y1(y1-y2)=0,∴=-.①
B,M,P三点共线,∴kBM=kBP,∴==·,②
A,P在椭圆上,两式相减可得+=0,∴+··=0,③
将①②代入③可得+··=0,∴=,∴=,所以椭圆的离心率e==== =.
[例2] 答案:
解析:如图,取PB的中点M,连接OM,则OM∥AP,
所以tan∠OMB=tan∠APB=,设直线PB的倾斜角为α,则tan α=-3,所以tan∠xOM=-tan(∠OMB+α)=-=,所以直线OM的斜率为-.设B(x1,y1),P(x2,y2),则M.
由得到·=,所以=-3×=,所以e2=1+=,则e=.
[练1] 选A
设以点M(2,1)为中点的弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得+=0,
因为M(2,1)为中点,所以=2,=1,
所以斜率k==-=-,
所以所求直线方程为y-1=-(x-2),即4x+9y-17=0.
[练2] 选A
∵焦点到准线的距离为p,则p=1,∴抛物线方程为y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=.
又∵P,Q关于直线l对称.∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴=-1.又∵PQ的中点一定在直线l上,∴=+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).
教学点(三) 弦长问题
[典例] 解:(1)由题意得解得
所以e===.
(2)法一:
思维路径:以|AP|为底,求出三角形的高,即点B到直线AP的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B点坐标,则得到直线l的方程.
易知kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0,
|AP|= =,
由(1)知C:+=1.
设点B到直线AP的距离为d,则d==,
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为x+2y+C=0,
则=,解得C=6或C=-18,
当C=6时,联立
解得或
即B(0,-3)或,
当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0,
当B时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0,
当C=-18时,联立得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
设B(x0,y0),则
解得或
即B(0,-3)或,以下同法一.
法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
设B(2cos θ,3sin θ),其中θ∈[0,2π),
则有=,
联立cos2θ+sin2θ=1,
解得或
即B(0,-3)或,以下同法一.
法四:当直线AB的斜率不存在时,此时B(0,-3),
S△PAB=×6×3=9,符合题意,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3,
联立椭圆方程有则(4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,即k≠-,
解得x=0或x=,k≠0,k≠-.
令x=,则y=,
则B,
同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=,
则=,解得k=,
此时B,则得到此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0,
综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
法五:当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3),
令P(x1,y1),B(x2,y2),
消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0,
Δ=-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-,
|PB|= =,
点A到直线PB的距离d=,S△PAB=··=9,
∴k=或k=,均满足题意,∴l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
法六:当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,点A到PB的距离d=3,
此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件.
当l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+,
设l与y轴的交点为Q,令x=0,
则Q,
联立则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0,
其中Δ=(8k)2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-,
则3xB=,xB=,
则S=|AQ||xP-xB|==9,解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意.
则直线l为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0.
[训练] 解:(1)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由已知得c=,=,所以a=,b=1.
所以双曲线方程为-y2=1.
(2)直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=4,联立方程组得x2+4mx+2m2+2=0,
当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-4m,x1x2=2m2+2.
所以|AB|=|x1-x2|= =×=4,
解得m=±.
经检验Δ>0符合题意,所以m=±.
教学环节二 课时作业讲评
1.选C
依题意,联立消去x,得y2+2ay+2a=0,则Δ=4a2-8a=0,因为a≠0,所以a=2,故抛物线C方程为y2=2x,则其焦点坐标为.
2.选D
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则kAB==1,x0=,y0=,所以kOP==,所以kABkOP=,将A,B两点坐标代入椭圆方程可得两式作差可得+-=0,所以kABkOP==-,则kOP=-.
3.选D
将(x0,y0)代入直线x-3y+m=0(m≠0)中,得x0-3y0+m=0,联立x0∶y0=4∶3,解得x0=m,y0=m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2-a2)=0,则Δ=36b4m2-4b2(9b2-a2)(m2-a2)=4a2b2(9b2+m2-a2)>0,因此y1+y2==,整理得a2=4b2,则a=2b,所以=2.
4.选C
由题意知|AB|+|MN|=|BF1|+|NF2|+2,∵l1∥l2,∴由对称性可知|BF1|+|NF2|为椭圆+=1截直线l2的弦长,由题意知l2斜率不为0,设l2:x=my+1,其与椭圆+=1交于点(x1,y1)和(x2,y2),由得(3m2+4)y2+6my-9=0,则Δ=144(m2+1)>0,∴y1+y2=-,y1y2=-,∴|BF1|+|NF2|=·==4-,当m=0时,|BF1|+|NF2|取得最小值4-1=3,∴|AB|+|MN|的最小值为3+2=5.
5.选B
∵e===,∴=,即b=a,c=a,∴渐近线方程为y=±x.由题意不妨设直线l的方程为x=-y+c,由消去x得3y2-4ay+4a2=0,则Δ=(-4a)2-4×3×4a2=48a2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,∴=|-|=|F1F2|·|y1-y2|=|F1F2|·==4a2=64,解得a=4,即2a=8,故双曲线C的实轴长为8.
6.答案:x+2y-4=0
解析:设E(x0,y0),由|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,得x0==2,y0==1,所以E(2,1),
所以Q(-4,1),M(2,2),代入C的方程得解得故C的方程为+=1.
法一:易知l的斜率存在且不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得·=-,由点E为AB的中点得x1+x2=4,y1+y2=2,则l的斜率为=-,所以l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
法二:易知l的斜率存在且不为0,设l的方程为y-1=k(x-2)(k≠0),联立C的方程并整理,得(1+4k2)x2+8(k-2k2)x+4(2k-1)2-20=0,满足Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点E为AB的中点,所以=-=2,解得k=-,所以l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
7.答案:-
解析:由题知A(-5,0),F(4,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+4,联立消去x整理得(9m2+25)y2+72my-81=0,
所以y1+y2=,y1y2=,
因此kAM·kAN=·=
=
==-.
8.解:(1)设P(x,y),P到y轴的距离为d,d=|x|.轨迹C即集合{P||PF|=|x|+2},∴=|x|+2,化简整理,得y2=4x+4|x|.①当x<0时,①即y=0;当x≥0时,①即y2=8x.
∴点P的轨迹C的方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
(2)由题意及a>0知直线l与轨迹C的交点不可能在x轴的负半轴(包括原点)上.
所以只需考虑x≥0时,轨迹C:y2=8x与直线l的关系.由题意,直线l的斜率存在且不等于零,设直线l的方程为x=my+a(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),如图,则M,x1=my1+a,x2=my2+a,
由消去x,得y2-8my-8a=0,
Δ=(-8m)2-4×1×(-8a)=64m2+32a>0恒成立.
则y1+y2=8m,y1y2=-8a.
∵=λ,=μ.
∴=λ(-my1,-y1),
=μ(-my2,-y2),
解得λ=-1-,μ=-1-.
∴λ+μ=-2-=-2-·=-2-·=-1.
9.解:(1)由题意可得解得所以椭圆的方程为+=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不妨设M在第一象限,有M,N,P(4,-3),Q(4,3),F(1,0),则=(3,-3),=(3,3),
故·=0,即∠PFQ=90°.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),其中k≠0.
联立得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由题意,知Δ>0恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.直线MA的方程为y=(x-2),令x=4,得yP=,即P,同理可得Q.
所以=,=.
因为·=9+
=9+
=9+
=9+
=9+
=9-9=0,
所以∠PFQ=90°.综上所述,∠PFQ=90°.
10.选ABD
由题意知直线AB的方程为y=k2x+, 联立得x2-2pk2x-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=2pk2,x1x2=-p2,则x0==pk2,y0=k2x0+=p+,即M,由MN∥y轴,得N,则MN的中点P,满足方程x2=2py,故点P在E上,故A正确;
由y=,得y'=,所以E在点P处的切线m的斜率为km==k2,所以m∥AB,故B正确;
由抛物线的定义,得|PF|=+=(+1),|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=2y0+p=2+p=2p(+1),所以|AB|=4|PF|,故C错误;
由k1===,同理可得k3=,所以k1+k3===2k2,故D正确.
11.选AD
如图,连接BF1,由双曲线定义可知,|AF1|-|AF2|=2a,由题意得A,B关于原点对称,故|AF1|=|BF2|且AF1∥BF2,即四边形BF1AF2为平行四边形,因为|BF2|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a,且|BF2|=3|AF2|,所以|BF2|=3a,|AF2|=a,由∠F1AF2=,所以∠AF2B=.由=(+),得=(++2|F2A||F2B|cos∠AF2B),即有c2==a2,所以=,所以离心率e==,故A正确;
又==-1=,所以=,所以渐近线方程为y=±x,2b=3a,故B、C错误;
设点P(x0,y0),A(x1,y1),因为A,B是直线y=kx与双曲线的交点,根据对称性可得B(-x1,-y1),所以kPA·kPB=·=.又点P,A在双曲线上,代入可得两式相减可得=,所以kPA·kPB==,故D正确.
12.解:(1)由题意知直线l斜率为1,∴直线l的倾斜角α=,设直线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2(θ1,θ2∈(0,π)),直线l1,l2关于直线l对称,∴θ1+θ2=2α=,∴k1·k2=tan θ1·tan θ2=tan θ1·tan=·=1.
(2)联立 A(-1,0),B,
∴双曲线Γ在点B处的切线方程为x-y=1.不妨设直线CD为m(x+1)+ny=1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立得 4(x+1)2-8(x+1)[m(x+1)+ny]-y2=0,整理得+8n·+8m-4=0,将等式看作关于的方程:两根之和+=-8n,两根之积·=8m-4,而其中k1·k2=kAC·kAD=·=8m-4,由(1)得k1·k2=1,∴m=,∴直线CD为(x+1)+ny=1,过定点.又∵双曲线Γ在点B处的切线方程为x-y=1,过点,∴P,设P到AB的距离为d,
∴S△ABP=|AB|d=×××=.
