(共23张PPT)
课时作业讲评
教学环节二
(教师批阅作业后,据情选点讲评)
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1.(2024·重庆模拟)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:kx-y-k=0恒过右焦点F,交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且x1(1)求椭圆C的方程;
解:因为直线l:kx-y-k=0恒过(1,0)即为右焦点F,
所以c=1,又因为离心率为,所以a=2 b=,
所以椭圆C的方程为+=1.
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(2)求|MF|+4|NF|的最小值.
解:联立有(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
则有x1=,x2=,
易知|MF|===2-x1,
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同理|NF|=2-x2,所以|MF|+4|NF|=10-,将x1,x2代入,有|MF|+4|NF|=10-,令 =m,
f(m)=(m≥1),
f'(m)==,
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所以f(m)在单调递增,
在单调递减,则有f(m)≤f=,
所以|MF|+4|NF|≥10-=,
当k=±时,|MF|+4|NF|取得最小值.
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2.(2024·佛山模拟)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程;
解:依题意,∠BAD=90°,焦半径c=2,由|AF|=|BF|,得a+c=,得a2+2a=22-a2,
解得a=1或a=-2(舍去),所以b2=c2-a2=4-1=3,故双曲线C的方程为x2-=1.
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(2)M,N是C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
解:显然直线MN不可能与x轴平行,故可设直线MN的方程为x=my+n,联立消去x整理得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0,
在条件下,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=, ①
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由k1k2=-2,得y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,
将①式代入得3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,
化简可消去所有的含m的项,解得n=5或n=-1(舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得d=.
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又M,N都在双曲线的右支上,故有3m2-1<0,0≤m2<,
此时1≤ <,d=∈(3,6],所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3,6].
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3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于A,B两点,当A点的横坐标为1时,点A到抛物线的焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
解:抛物线的准线为x=-,由抛物线的定义知xA+=2,又xA=1,所以p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
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(2)设直线AD,BD与C的另一个交点分别为M,N,点P,Q分别是AB,MN的中点,记直线OP,OQ的倾斜角分别为α,β.求tan(α-β)的最大值.
解:由(1)知,F(1,0),D(2,0),
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）,
则P,Q,
设直线AB:x=my+1,
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由
可得y2-4my-4=0,
Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,
则x1+x2=my1+1+my2+1=m(y1+y2)+2=4m2+2,直线AD:x=·y+2,代入抛物线方程可得y2-·y-8=0,
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Δ=+32>0,y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1.
由斜率公式可得kOP===,kOQ=====,
又因为直线OP,OQ的倾斜角分别为α,β,所以kOQ=tan β==,
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若要使tan(α-β)最大,需使α-β最大,则β∈,设kOP=2kOQ=2k>0,
则tan(α-β)===≤=,
当且仅当=2k即k=时,等号成立,
所以tan(α-β)的最大值为.
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关键点拨:本题求解过程中,需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法,在得到两条直线的关系后,设kOP=2kOQ=2k>0,利用换元法,化简式子,求最值是难点,也是关键点.
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4.(2024·上海模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线Γ:y2=4x的焦点与F2重合,若点P为椭圆C和抛物线Γ在第一象限的一个公共点,且△POF2的面积为,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
思维路径:(1)设P(x0,y0)→F2(1,0) y0→点P坐标
a→b→椭圆C的方程.
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(2)设直线DE的方程为y=kx+m(m≠),D(x1,y1),E(x2,y2),|BD|=d1,
|BE|=d2→联立直线DE与椭圆C的方程 x1+x2,x1x2
x1x2+(y1-)(y2-)=0→7m2-6m-3=0→m=-→用含k的关系式表示|DE|→令4k2+3=t(t≥3)→用含t的关系式表示|DE|→|DE|≤ d1+d2≤|DE|≤→得解.
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解:设P(x0,y0),由y2=4x,得焦点F2(1,0),则F1(-1,0).
由=,得×1×y0=,解得y0=,代入抛物线方程y2=4x,得x0=,即P,所以2a=|PF2|+|PF1|=+=4,即a=2,所以b=,所以椭圆C的方程为+=1.
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(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线,分别交椭圆C于点D,E,求|BD|+|BE|的最大值.
解:设直线DE的方程为y=kx+m(m≠),D(x1,y1),E(x2,y2),
|BD|=d1,|BE|=d2.
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联立消去y整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ>0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
因为BD⊥BE,所以·=0,又B(0,),所以=(x1,y1-),=(x2,y2-),
所以x1x2+(y1-)(y2-)=0,x1x2+(kx1+m-)(kx2+m-)=0,即(1+k2)x1x2+k(m-)(x1+x2)+(m-)2=0,
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即(1+k2)·+k(m-)+(m-)2=0,化简得7m2-6m-3=0.
因为m≠,所以m=-,
此时x1+x2=,x1x2=-,
所以|DE|=|x1-x2|·
=·
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=·
=,
令4k2+3=t(t≥3),
则|DE|==≤,
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当且仅当t=3即k=0时,等号成立.
因为+=|DE|2,
所以d1+d2≤|DE|≤,
当且仅当d1=d2,k=0时,等号成立,
故|BD|+|BE|的最大值为.(共28张PPT)
最值与范围问题
习题讲评(六)
题点考法讲评
教学环节一
(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
CONTENTS
目录
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教学点(一) 利用基本不等式求
最值、范围
教学点(二) 利用函数的性质求
最值、范围
利用基本不等式求最值、范围
教学点（一）
[典例] (2024·齐齐哈尔一模)在平面直角坐标系xOy中,点F(0,1),P为动点,以PF为直径的圆与x轴相切,记P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程;
解:设P(x,y),则线段FP的中点坐标为,因为以PF为直径的圆与x轴相切,所以=|FP|=,化简得x2=4y,所以Γ的方程为x2=4y.
(2)设M为直线y=-1上的动点,过M的直线与Γ相切于点A,过A作直线MA的垂线交Γ于点B,求△MAB面积的最小值.
解:设A(x0≠0),由y=,y'=,则点A处的切线斜率为,所以直线MA的方程为y-=(x-x0),整理为y=x-,令y=-1,则x=-,所以M.
易知直线AB斜率为-,所以直线AB:y-=-(x-x0),整理为y=
-x++2,
与x2=4y联立可得-=-(x-x0),有-(x-x0)=,
解得x=--x0,即B的横坐标为--x0,所以|BA|===,
|AM|===,
所以△MAB的面积为|AB||AM|=×·===.又|x0|+≥2=4,当且仅当x0=±2时,等号成立,所以△MAB面积的最小值为×43=16.
|思|维|建|模|
利用基本不等式求范围或最值的5种情况
(1)s=(先换元,注意“元”的范围,再利用基本不等式).
(2)s=≥(基本不等式).
(3)s=(基本不等式).
(4)s==(先分离参数,再利用基本不等式).
(5)s==
.
(2024·晋中模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(2,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
解:∵椭圆C:+=1(a>b>0)过点(2,1),且离心率为,
∴解得∴椭圆C的方程为+=1.
即时训练
(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,当|OQ|取最大值时,求直线AB的方程.
解:由题得圆的圆心为(0,0),半径为,
当切线斜率不存在时,切点即为Q,此时|OQ|=;
当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,∴x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
∴Q
∵直线AB与圆O相切,∴=,即m2=2(1+k2),
∴|OQ|2===2,
当k=0时,|OQ|=;当k≠0时,|OQ|=,
∵4k2+≥2=4,当且仅当4k2=时等号成立,∴<|OQ|≤.
综上,≤|OQ|≤,可得|OQ|的最大值为,此时4k2=,即k=±,
∴m2=2(1+k2)=3,即m=±,∴直线AB的方程为y=x±或y=
-x±.
利用函数的性质求最值、范围
教学点（二）
[典例] 已知点P(1,1)在双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,F1,F2为双曲线的左、右焦点且·=0.
(1)求双曲线Γ的方程;
解:设双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,F1(-c,0),F2(c,0),
因为点P(1,1)在双曲线的一条渐近线上,所以a=b,=(1+c,1),=(1-c,1),
又·=(1+c,1)·(1-c,1)=0,故1-c2+1=0,c=,
又a2+b2=c2,解得a=b=1,故双曲线Γ的方程为x2-y2=1.
(2)过点P的直线l与双曲线Γ恰有一个公共点,求直线l的方程;
解:如图,当直线斜率不存在时,x=1,满足题意;
当斜率存在时,由双曲线的性质结合图象可得,
当直线过点P且平行于双曲线的渐近线y=-x时,
直线与双曲线也只有一个公共点,
此时,k=-=-1,此时直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
综上,直线的方程为x=1或x+y-2=0.
(3)过点P的直线l与双曲线左、右两支分别交于点A,B,求证:|AB|min<2.7.
解:证明:由题知直线斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得(1-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-2=0,则 -1由弦长公式得|AB|=|x1-x2|
=·
=·
=·=2,
令h(k)=(-1则h'(k)=,k∈(-1,1),则>0,
令m(k)=k3-k2+5k-1,k∈(-1,1),m(k)与h'(k)同正负.m'(k)=3k2-2k+5,k∈(-1,1),此时Δ<0,则m'(k)>0,即m(k)单调递增,
则-8=m(-1)0,
则 k0∈,使得m(k0)=0,则当k∈,m(k)<0,即h'(k)<0,则h(k)单调递减.
当k∈,m(k)>0,即h'(k)>0,则h(k)单调递增.则h(k)在k0处取得最小值h(k0),且h(k0)故|AB|=2<2=<==2.7,
即|AB|min=2< <2.7,原命题得证.
|思|维|建|模| 利用函数求最值、范围的策略
利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个(些)量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值.
(2024·潍坊模拟)如图,一张圆形纸片的圆心为点E,F是圆内的一个定点,P是圆E上任意一点,把纸片折叠使得点F与P重合,折痕与直线PE相交于点Q,当点P在圆上运动时,得到点Q的轨迹,记为曲线C.建立适当坐标系,点F(,0),纸片圆方程为+y2=r2,点A(0,1)在C上.
即时训练
即时训练
(1)求C的方程;
解:由对称性可知|QF|=|QP|,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=r>|EF|,
由椭圆定义可知,点Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,
由题意可知建立适当坐标系,点F(,0),纸片圆方程为(x+)2+y2=r2,点A(0,1)在C上.
即以EF的中点为原点,EF所在直线为x轴,EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则椭圆中2c=2,得c=,又因为点A(0,1)在椭圆上,所以b=1,则a2=b2+c2=4,所以椭圆方程为+y2=1.
(2)不过点A的直线l交C于P,Q两点,且AP⊥AQ,求|AP||AQ|的最大值.
解:由题意可知直线l的斜率一定存在,不妨设直线l的方程为y=kx+m,且P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
需满足Δ=16(4k2+1-m2)>0,
所以又因为AP⊥AQ,且=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=(1+k2)x1x2+k(m-1)·(x1+x2)+(m-1)2=0,
将x1+x2以及x1x2的表达式代入上式可得(1+k2)·+k(m-1)+(m-1)2=0,整理得5m2-2m-3=0,解得m=-或m=1.
又因为不过点A的直线l交该曲线于P,Q,所以m=1不合题意,舍去,
所以m=-,满足Δ>0,所以直线l的方程为y=kx-,所以直线l过定点,所以在Rt△APQ中,|AP||AQ|=2S△APQ=|x1-x2|
==·,
令 =t,则k2=且t≥2,
所以|AP||AQ|=·=,
函数y=4t+在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y有最小值,
所以当t=2,即k=0时,|AP||AQ|有最大值.习题讲评(六) 最值与范围问题
教学环节一 题点考法讲评(每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授)
教学点(一) 利用基本不等式求最值、范围
[典例] (2024·齐齐哈尔一模)在平面直角坐标系xOy中,点F(0,1),P为动点,以PF为直径的圆与x轴相切,记P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程;
(2)设M为直线y=-1上的动点,过M的直线与Γ相切于点A,过A作直线MA的垂线交Γ于点B,求△MAB面积的最小值.
[思维建模]
利用基本不等式求范围或最值的5种情况
(1)s=(先换元,注意“元”的范围,再利用基本不等式).
(2)s=≥(基本不等式).
(3)s=(基本不等式).
(4)s==(先分离参数,再利用基本不等式).
(5)s==.
[训练] (2024·晋中模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(2,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,当|OQ|取最大值时,求直线AB的方程.
教学点(二) 利用函数的性质求最值、范围
[典例] 已知点P(1,1)在双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线上,F1,F2为双曲线的左、右焦点且·=0.
(1)求双曲线Γ的方程;
(2)过点P的直线l与双曲线Γ恰有一个公共点,求直线l的方程;
(3)过点P的直线l与双曲线左、右两支分别交于点A,B,求证:|AB|min<2.7.
[思维建模] 利用函数求最值、范围的策略
利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个(些)量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值.
[训练] (2024·潍坊模拟)如图,一张圆形纸片的圆心为点E,F是圆内的一个定点,P是圆E上任意一点,把纸片折叠使得点F与P重合,折痕与直线PE相交于点Q,当点P在圆上运动时,得到点Q的轨迹,记为曲线C.建立适当坐标系,点F(,0),纸片圆方程为+y2=r2,点A(0,1)在C上.
(1)求C的方程;
(2)不过点A的直线l交C于P,Q两点,且AP⊥AQ,求|AP||AQ|的最大值.
教学环节二 课时作业讲评(请在各题的答题框内答题,以便投屏展示,现场评点)
1.(2024·重庆模拟)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:kx-y-k=0恒过右焦点F,交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且x1(1)求椭圆C的方程;
(2)求|MF|+4|NF|的最小值.
2.(2024·佛山模拟)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程;
(2)M,N是C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于A,B两点,当A点的横坐标为1时,点A到抛物线的焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线AD,BD与C的另一个交点分别为M,N,点P,Q分别是AB,MN的中点,记直线OP,OQ的倾斜角分别为α,β.求tan(α-β)的最大值.
4.(2024·上海模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线Γ:y2=4x的焦点与F2重合,若点P为椭圆C和抛物线Γ在第一象限的一个公共点,且△POF2的面积为,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线,分别交椭圆C于点D,E,求|BD|+|BE|的最大值.
习题讲评(六) 最值与范围问题
教学环节一 题点考法讲评
教学点(一) 利用基本不等式求最值、范围
[典例] 解:(1)设P(x,y),则线段FP的中点坐标为,因为以PF为直径的圆与x轴相切,所以=|FP|=,化简得x2=4y,所以Γ的方程为x2=4y.
(2)设A(x0≠0),由y=,y'=,则点A处的切线斜率为,所以直线MA的方程为y-=(x-x0),整理为y=x-,令y=-1,则x=-,所以M.
易知直线AB斜率为-,所以直线AB:y-=-(x-x0),整理为y=-x++2,
与x2=4y联立可得-=-(x-x0),
有-(x-x0)=,
解得x=--x0,即B的横坐标为--x0,
所以|BA|=
= =,
|AM|=
= =,
所以△MAB的面积为|AB||AM|=×·===.又|x0|+≥2=4,当且仅当x0=±2时,等号成立,所以△MAB面积的最小值为×43=16.
[训练] 解:(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)过点(2,1),且离心率为,∴解得
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由题得圆的圆心为(0,0),半径为,当切线斜率不存在时,切点即为Q,此时|OQ|=;
当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,∴x1+x2=-,x1x2=,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
∴Q.
∵直线AB与圆O相切,
∴=,即m2=2(1+k2),
∴|OQ|2==
=2,
当k=0时,|OQ|=;当k≠0时,|OQ|=,
∵4k2+≥2=4,当且仅当4k2=时等号成立,
∴<|OQ|≤.
综上,≤|OQ|≤,可得|OQ|的最大值为,
此时4k2=,即k=±,
∴m2=2(1+k2)=3,即m=±,
∴直线AB的方程为y=x±或y=-x±.
教学点(二) 利用函数的性质求最值、范围
[典例] 解:(1)设双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,F1(-c,0),F2(c,0),
因为点P(1,1)在双曲线的一条渐近线上,所以a=b,=(1+c,1),=(1-c,1),
又·=(1+c,1)·(1-c,1)=0,故1-c2+1=0,c=,又a2+b2=c2,解得a=b=1,故双曲线Γ的方程为x2-y2=1.
(2)如图,当直线斜率不存在时,x=1,满足题意;当斜率存在时,由双曲线的性质结合图象可得,当直线过点P且平行于双曲线的渐近线y=-x时,直线与双曲线也只有一个公共点,
此时,k=-=-1,此时直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
综上,直线的方程为x=1或x+y-2=0.
(3)证明:由题知直线斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得(1-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-2=0,
则 -1=·
=·=2 ,
令h(k)=(-1则|AB|=2,
则h'(k)=,k∈(-1,1),
则>0,
令m(k)=k3-k2+5k-1,k∈(-1,1),m(k)与h'(k)同正负.m'(k)=3k2-2k+5,k∈(-1,1),此时Δ<0,则m'(k)>0,即m(k)单调递增,
则-8=m(-1)0,
则 k0∈,使得m(k0)=0,则当k∈,m(k)<0,即h'(k)<0,则h(k)单调递减.
当k∈,m(k)>0,即h'(k)>0,则h(k)单调递增.
则h(k)在k0处取得最小值h(k0),且h(k0)[训练] 解:(1)由对称性可知|QF|=|QP|,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=r>|EF|,
由椭圆定义可知,点Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,
由题意可知建立适当坐标系,点F(,0),纸片圆方程为(x+)2+y2=r2,点A(0,1)在C上.
即以EF的中点为原点,EF所在直线为x轴,EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
则椭圆中2c=2,得c=,
又因为点A(0,1)在椭圆上,所以b=1,则a2=b2+c2=4,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可知直线l的斜率一定存在,不妨设直线l的方程为y=kx+m,且P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
需满足Δ=16(4k2+1-m2)>0,
所以
又因为AP⊥AQ,且=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=(1+k2)x1x2+k(m-1)·(x1+x2)+(m-1)2=0,
将x1+x2以及x1x2的表达式代入上式可得(1+k2)·+k(m-1)+(m-1)2=0,整理得5m2-2m-3=0,
解得m=-或m=1.
又因为不过点A的直线l交该曲线于P,Q,所以m=1不合题意,舍去,
所以m=-,满足Δ>0,所以直线l的方程为y=kx-,所以直线l过定点,所以在Rt△APQ中,|AP||AQ|=2S△APQ=|x1-x2|==·,
令 =t,则k2=且t≥2,
所以|AP||AQ|=·=,
函数y=4t+在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y有最小值,
所以当t=2,即k=0时,|AP||AQ|有最大值.
教学环节二 课时作业讲评
1.解:(1)因为直线l:kx-y-k=0恒过(1,0)即为右焦点F,所以c=1,
又因为离心率为,所以a=2 b=,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)联立有(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
则有x1=,x2=,
易知|MF|=
= =2-x1,
同理|NF|=2-x2,所以|MF|+4|NF|=10-,将x1,x2代入,有|MF|+4|NF|=10-,令 =m,
f(m)=(m≥1),
f'(m)==,
所以f(m)在单调递增,在单调递减,则有f(m)≤f=,
所以|MF|+4|NF|≥10-=,当k=±时,|MF|+4|NF|取得最小值.
2.解:(1)依题意,∠BAD=90°,焦半径c=2,由|AF|=|BF|,得a+c=,得a2+2a=22-a2,
解得a=1或a=-2(舍去),所以b2=c2-a2=4-1=3,故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)显然直线MN不可能与x轴平行,故可设直线MN的方程为x=my+n,
联立消去x整理得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0,
在条件下,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=, ①
由k1k2=-2,得y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,
将①式代入得3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,
化简可消去所有的含m的项,解得n=5或n=-1(舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得d=.
又M,N都在双曲线的右支上,故有3m2-1<0,0≤m2<,
此时1≤ <,d=∈(3,6],所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3,6].
3.解:(1)抛物线的准线为x=-,由抛物线的定义知xA+=2,又xA=1,所以p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知,F(1,0),D(2,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
则P,Q,
设直线AB:x=my+1,
由
可得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,
则x1+x2=my1+1+my2+1=m(y1+y2)+2=4m2+2,直线AD:x=·y+2,代入抛物线方程可得y2-·y-8=0,
Δ=+32>0,y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1.
由斜率公式可得kOP===,kOQ=====,
又因为直线OP,OQ的倾斜角分别为α,β,所以kOQ=tan β==,
若要使tan(α-β)最大,需使α-β最大,则β∈,设kOP=2kOQ=2k>0,
则tan(α-β)===≤=,
当且仅当=2k即k=时,等号成立,
所以tan(α-β)的最大值为.
关键点拨:本题求解过程中,需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法,在得到两条直线的关系后,设kOP=2kOQ=2k>0,利用换元法,化简式子,求最值是难点,也是关键点.
4.思维路径:(1)设P(x0,y0)→F2(1,0)y0→点P坐标a→b→椭圆C的方程.
(2)设直线DE的方程为y=kx+m(m≠),D(x1,y1),E(x2,y2),|BD|=d1,|BE|=d2→联立直线DE与椭圆C的方程x1+x2,x1x2x1x2+(y1-)(y2-)=0→7m2-6m-3=0→m=-→用含k的关系式表示|DE|→令4k2+3=t(t≥3)→用含t的关系式表示|DE|→|DE|≤d1+d2≤|DE|≤→得解.
解:(1)设P(x0,y0),由y2=4x,得焦点F2(1,0),则F1(-1,0).
由=,得×1×y0=,解得y0=,代入抛物线方程y2=4x,得x0=,即P,所以2a=|PF2|+|PF1|=+=4,即a=2,所以b=,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线DE的方程为y=kx+m(m≠),D(x1,y1),E(x2,y2),|BD|=d1,|BE|=d2.
联立消去y整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ>0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
因为BD⊥BE,所以·=0,又B(0,),所以=(x1,y1-),=(x2,y2-),
所以x1x2+(y1-)(y2-)=0,x1x2+(kx1+m-)(kx2+m-)=0,即(1+k2)x1x2+k(m-)(x1+x2)+(m-)2=0,
即(1+k2)·+k(m-)+(m-)2=0,化简得7m2-6m-3=0.
因为m≠,所以m=-,
此时x1+x2=,x1x2=-,
所以|DE|=|x1-x2|·=·
=·
= ,
令4k2+3=t(t≥3),
则|DE|= = ≤,
当且仅当t=3即k=0时,等号成立.
因为+=|DE|2,
所以d1+d2≤|DE|≤,
当且仅当d1=d2,k=0时,等号成立,
故|BD|+|BE|的最大值为.
