5.2 圆的对称性 同步训练（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.2 圆的对称性
知识梳理
核心性质：
轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意直线都是对称轴（垂径定理是其重要体现）。
中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是对称中心，旋转180°后与自身重合。
弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等（反之亦然）。
关键结论：
等弧判定：能完全重合的弧为等弧，等弧所对的圆心角、弦均相等。
弧的和差：同圆中，弧的和差对应圆心角的和差，对应弦的关系需结合三角形三边关系判断（如弧AB=2弧CD，不代表AB=2CD，而是AB<2CD）。
对称性质应用：过弧中点的圆心连线垂直平分弧所对的弦；圆心到等弦的距离相等。
常用关联知识：
等腰三角形性质：半径构成的三角形为等腰三角形，顶角为圆心角。
全等三角形判定：证明弦、线段相等时，常通过SAS、AAS证明半径与弦构成的三角形全等。
三角形内角和与外角性质：结合圆心角、圆周角关系推导角度。
解题思路：
角度计算：利用弧与圆心角的等量关系，结合等腰三角形、平行线性质推导。
线段相等证明：转化为证明对应弧相等或对应圆心角相等，或通过全等三角形证明。
弧的关系判断：紧扣“同圆或等圆”前提，利用弧、弦、圆心角的双向对应关系分析。
同步训练
一、单选题
1．下列命题中，正确的个数是（ ）
①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦：④优弧一定长于劣弧；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．O到的距离相等
6．如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
8．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ．
9．如图，在中，，，则的度数为 ．
10．如图，在⊙O中，，，则的度数为 ．
11．如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ．
三、解答题
12．如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：．
13．如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求面积．
14．如图，已知是的直径，点C、D都在上，．
(1)求证：；
(2)若的度数为，求的度数．
15．如图，是的直径，点C，E都在上，，，交于点D，延长至点F，使，连接．
(1)求证：．
(2)若的直径是4，求的长．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了圆的基本概念．熟练掌握圆的定义，半圆，弧，优弧，劣弧，弦，半径定义，是解题的关键．根据弧、弦、半径、优弧劣弧以及圆的定义．逐一判断各命题的正确性．
【详解】①∵ 半圆是圆的一半，属于弧，∴ ①正确；
②∵ 弦是连接圆上两点的线段，而非“部分”，∴ ②错误；
③∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，不是弦（弦需两端点在圆上），∴ ③错误；
④∵ 优弧和劣弧的长度比较取决于圆的大小，不在同圆中不一定成立，∴ ④错误；
⑤∵ 在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上，是圆的定义，∴ ⑤正确．
∴ 正确的命题有①和⑤，共2个．
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，即点O是与的交点，
∴，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
【详解】解：∵，
，，故A正确；
∴，故C正确；
，，故D正确；
∵和无法确定相等，
无法判断，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到．
【详解】解：∵的度数为，
，
，
为中点，
．
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴O到的距离相等，
由题意，不一定成立，
结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．
如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：如图，取弧的中点E，连接，
，，
，
，
，
．
故选：B．
8．①②③
【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在中，，
，故①正确；
是公共弧，
，故②正确；
，故③正确；
根据已有条件无法推得，故④错误．
综上，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
9．/72度
【分析】本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
10．/20度
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键．
根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可．
【详解】解：在⊙O中，，
，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
上一点关于直线对称的点落在上，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
不妨设，
，
，
，
（舍去）或，
．
故答案为：．
12．证明见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【详解】证明：如图，连接，
∵在中，为的中点，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)的面积为
【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键．
（1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等；
（2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积．
【详解】（1）证明：连接，如图：
为的中点，
，
，分别为半径，的中点，，
，
在和中，
，
．
（2）解：如图：过点作于点，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系．
（1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即．
（2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
，
，．
．
；
（2）解：的度数是，
．
．
，
，
．
15．(1)证明见详解；
(2)．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键．
（1）连接，如图，利用得到，则可判定为等边三角形，接着证明，然后根据等边三角形的性质得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算．
【详解】（1）解：证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
而，
为等边三角形，
，
，
；
（2）的直径是4，
，
在中，，
在中，．