5.3 垂经定理 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.3 垂经定理
知识梳理
核心定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（逆定理：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧）。
关键推论：
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常用关联知识：
勾股定理：构造“半径+弦心距+半弦长”的直角三角形（设半径为，弦心距为，弦长为，则）。
等腰三角形性质：圆心到弦的连线为等腰三角形（两腰为半径）的高、中线、角平分线。
矩形/直角三角形性质：解决实际应用中（如隧道、拱桥）的弦长、高度计算问题。
解题思路：
求弦长/半径/弦心距：作圆心到弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算。
证明弧/弦相等：利用垂径定理转化为“垂直平分”关系证明。
实际应用：将实际场景（如拱桥、轮船过隧道）抽象为圆与弦的模型，用垂径定理+勾股定理求解临界值。
同步训练
一、单选题
1．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）．
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
4．如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是 ．
8．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 米．
9．如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是 ．
10．如图，四边形在圆内，点B，C在圆上，，，，过中点作交圆于点，若，则该圆的半径为 ．
三、解答题
11．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．若，，求的半径．
12．如图，的半径为，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作于，，．
(1)求证：；
(2)求半径的长．
13．如图，的顶点，，在上，．
(1)求证是菱形；
(2)求的度数．
14．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，．
(1)求该圆弧形拱桥的半径；
(2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过．
参考答案
1．C
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．
过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案．
【详解】解：过点O作，连接，
∵是的直径，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中
，
∵，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作交于点，交于点，连接，可得，设圆形框架的半径为，则，，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接，
∵，
∴，
设圆形框架的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴圆形框架的半径为，
故选：．
3．A
【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键．
根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可．
【详解】解：如图，卡车应在最中间通行，
∵车宽为2.4米，
∴米，
由题意可知，半圆形的半径米，
在直角中，，
∴米，
∵下半部分为矩形，
∴米，
∴米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点，
，
，
由轴对称的性质可知，，
在中，，
是半径，，
，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答即可．
【详解】解：连接，如图
由题意得：，O为圆心，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用勾股定理求得，过作，交于点，那么，接着利用三角形面积求得，然后用勾股定理求得，最后算得即可．
【详解】解：在中，，，，
∴．
过作，交于点，如图所示：
，
，且，，，
∴，
在中，，，
∴．
故选：A．
7．或
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意可得两条平行弦的位置关系分为当和在的两旁时，当和在的同旁时两种情况，分别画出图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：如图，当和在的两旁时，过作于，交于N，连接，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
如图，当和在的同旁时，
同理可得：；
故答案为：或．
8．2
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
根据题意可得，米，则米，在中，运用勾股定理可得米，然后根据即可得解．
【详解】解：根据题意可得，，米，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
∴轮子的吃水深度米．
故答案为：2．
9．16
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理．连接，先由勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵的半径为10，
∴，
∵，
∴在中，，
∵为弦，，是半径，
∴．
故答案为∶16．
10．
【分析】通过延长线段、作垂线构造矩形和平行四边形，利用矩形的性质得到线段相等关系；根据中点和平行线分线段成比例得出线段中点，进而确定过圆心的直线；再结合等腰直角三角形的性质求出相关线段长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解圆的半径．
【详解】解：延长交于，过作于，交于，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∵，（点是的中点），
∴，
∴，，
∴过圆心，，
如图，令圆心为，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设该圆的半径为，则，，
在中，即
解得圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理的应用，熟练掌握这些知识并能通过构造辅助线将问题转化为直角三角形问题是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意可得，，连接，设的半径为，则，，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，，
如图：连接，设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为．
12．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是应用两次勾股定理求半径．
（1）根据中位线定理即可得证；
（2）根据垂径定理得到，在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出半径即可得到答案．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，F为的中点，
，
又∵O为的中点，
则是的中位线，
；
（2）解：，，，
，
在中，，
如下图所示，连接，
在中，，
即，
解得：．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理以及角平分线上的点的特征得出，，再根据全等三角形的判定和性质得出，进而得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）根据垂径定理，圆的对称性以及全等三角形的性质可得，设，得到，，，由三角形内角和定理列方程求出的值即可．
本题考查菱形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系以及菱形的判定和性质是正确解答的关键．
【详解】（1）证明：如图，过点作，，垂足分别为、，
，
，，，
，
又，，
，
在和中，
，，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
（2）解：连接、、、，
由垂径定理以及圆的对称性可知，，
设，则，，
，
在中，，，
由三角形内角和定理得，，
解得，
．
14．(1)10米
(2)不能顺利通过，理由见解析；
【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可；
（2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案．
【详解】（1）解： 连接，如图所示：
∵，，
∴，
设半径为，在中，，，
∴，
∴，
答：拱桥圆弧的半径是10米．
（2）解：该货船不可以顺利通过，理由如下：
连接，如图所示：
依题意可知，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∵，
∴，
∵，此时点在圆外，
∴该货船不可以顺利通过．