5.5 确定圆的条件 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.5 确定圆的条件
知识梳理
核心概念：
确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆（圆心是任意两点垂直平分线的交点，半径是圆心到任一点的距离）。
三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，具有对角互补的性质。
关键性质：
外心位置：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。
圆内接四边形性质：对角之和为180°；一个外角等于它的内对角。
垂径定理推论：弦的垂直平分线必过圆心（用于确定圆心位置）。
常用关联知识：
勾股定理：计算圆的半径、线段长度。
垂直平分线的作法：尺规作图确定圆心。
圆周角定理：同弧所对的圆周角相等（用于角度推导）。
解题思路：
确定圆心：作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心。
求半径：利用勾股定理，结合已知线段长度计算。
角度计算：利用圆内接四边形对角互补、圆周角定理推导角度。
四点共圆证明：证明四个点到同一点（圆心）的距离相等，或证明对角互补。
同步训练
一、单选题
1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
2．四边形内接于，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为 ．
8．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
9．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 ．
10．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ．
三、解答题
11．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求残片所在圆的半径．
12．如图，已知．
(1)请作的外接圆，连接并延长交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的半径．
13．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．

14．如图，四边形内接于，平分．
(1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，连接，若，求的度数．
15．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F．
(1)若，求证：；
(2)求四边形的面积；
参考答案
1．D
【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案．
【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，利用圆内接四边形对角互补的性质，根据角度比例关系求解．
【详解】∵四边形内接于，
∴．
设，，，
则，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
、，
与关于直线对称，
即垂直平分；
，
中点坐标是，
则连接与，刚好是正方形的对角线，
即这条正方形对角线垂直平分；
如图所示：

则圆心是，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、．
∴最多可画出圆的个数为个．
故选：D．
6．B
【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴点在的边的垂直平分线上，
当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点，
当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴此时点在的边的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，
∴点一定在上，
∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，
在中，，
，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，垂直平分，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键．
7．
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：四边形是的内接四边形，，
，
．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知，，，
取的中点，则，，
连接，，，
由勾股定理可得：，，
∴，
即：点为、、三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心，
连接，
由勾股定理得，，
即圆弧所在圆的半径是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，，
与是等圆，
，
，
，
点是的中点，
，
，
在中，，，
，
，则
的半径为：
故答案为：．
11．(1)见解析
(2)7.5
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理：
（1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可；
（2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：如图，连接，
设圆的半径为r，则，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即圆的半径为
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查确定圆心，圆周角定理，直角三角形的性质；
（1）分别作和的垂直平分线交于点，则，以为圆心为半径画圆，即为的外接圆，连接并延长交于点，连接．
（2）由圆周角和它的推论得到，，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：作的外接圆，连接并延长交于点，连接，如图所示：
（2）解：由圆周角和它的推论得到，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
即的直径，
∴的半径为．
13．见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明．
【详解】证明：连接，

∵，
∴，
又，
，
，
取的中点O，连接，
∴，
∴点在同一个圆上．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的综合知识，基本作图、圆周角定理、内接四边形对角互补，角平分定义等相关知识，得出是解题关键
（1）作、的垂直平分线，垂直平分线交于点O，则点O为外接圆的圆心，作图即可；
（2）由四边形内接于，可得，则，有同弧所对圆周角相等可得的度数．
【详解】（1）解：如图（画法不唯一）；
（2）解：连接，
∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)40
【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识；
（1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答．
【详解】（1）证明：为直径，，
，
；
（2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
，
四边形的面积四边形的面积，
，，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
四边形的面积四边形的面积．