5.4圆周角与圆心角的关系同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.4 圆周角与圆心角的关系
知识梳理
核心定理：
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半。
推论1：直径所对的圆周角是直角（）；的圆周角所对的弦是直径。
推论2：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等。
关键性质：
圆心角与弧的关系：相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
圆周角的传递性：若两弧相等，则它们所对的圆周角相等；反之，若两圆周角相等，则它们所对的弧相等。
圆内接多边形关联：圆内接四边形中，同弧所对的圆周角可用于角度转化。
常用关联知识：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧（常与圆周角定理结合求角度或线段）。
勾股定理：在直径所对的直角三角形中，用于计算弦长、半径等。
等腰三角形性质：圆心到弦的连线平分弦，可构造等腰三角形辅助计算。
解题思路：
角度计算：先确定待求角所对的弧，再找到该弧所对的圆心角或已知圆周角，利用定理换算。
线段计算：遇直径优先构造直角三角形，结合圆周角定理和勾股定理求解。
证明弧/弦相等：转化为证明它们所对的圆周角或圆心角相等。
同步训练
一、单选题
1．如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ）
A． B．6 C． D．4
4．如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，是三角形的高线，，，，则三角形的外接圆的直径的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
6．如图，是半圆的直径，，等于，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，是的弦，连接并延长交于点D，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ．
9．如图，在中，弦和相交于点P，若，的度数为，则的度数为 ．
10．如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ．
11．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ．
三、解答题
12．如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，求和的长．
13．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的直径．
14．如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
15．如图，点A，B，C在上，于点G，交于点E，连接，于点D，与相交于点．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理并能熟练运用求解．
利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求．
【详解】解：，
．
．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了垂径定理与圆周角定理的综合应用，解题的关键是利用垂径定理得到线段关系，结合圆周角定理求出圆心角，进而解直角三角形求半径．
1． 由垂径定理得；
2． 由圆周角定理得圆心角；
3． 在等腰直角三角形中，利用边长关系求出半径．
【详解】解：连接OA．
因为，根据垂径定理，，
由圆周角定理，
已知，故．
在中，，，
是等腰直角三角形，
因此，
即圆的半径为．
故选C．
4．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理可得，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，根据圆周角定理得到，由此证得，根据对应边成比例，列式计算求出的长．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是直径，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接，因为是半圆的直径，所以，由，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
连接，根据等边对等角及三角形内角和定理易求得的度数，再根据圆周角定理即可求得答案．
【详解】解：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．60
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，由三角形外角的定义及性质得出，再由圆周角定理即可得解，解题的关键是掌握圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
【详解】解：连接，
∵的度数为，即所对的圆心角为，
∴，
∴，
∴所对的圆心角为，即的度数为，
故答案为：60．
10．/度
【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接、，
，
，
，
，，
，
解得，，
的度数为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程．
根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，是高线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴是圆的直径，
∵圆的面积为，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
12．的长为，的长为3
【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理．熟练掌握圆的性质，垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解题的关键．
先由垂径定理得出，再根据三角形中位线定理知，最后利用勾股定理列出方程求出的长，从而求出的长．
【详解】解： 垂直于弦，
，
，
是的直径，
是的中点，
又 是的中点，
在中，是三角形的中位线，
，，
设，
，
，
在中，根据勾股定理有，
，
解得，即，
．
13．(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即的直径为6．
14．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查圆的弧相等证明及线段长度计算，涉及知识点：等腰三角形性质、圆周角定理（弧与圆周角的关系）、勾股定理．解题方法是通过等腰三角形证角相等，结合圆周角定理证弧相等；利用直径得直角三角形，结合角度和边长计算线段长．解题关键是关联角与弧的对应关系、构造直角三角形，易错点是弧与角的对应关系混淆．
（1）连接，用等腰三角形和圆周角定理证，得弧相等；
（2）由得长，结合和角度，用勾股定理求，进而得．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，故（直径所对圆周角为直角）．
又，
是等腰三角形，平分，
即．
由圆周角定理，对应，对应，
．
（2）由，得，故．
如图所示，连接，
因是直径，故（直径所对圆周角为直角）．
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∴．
15．(1)
(2)见解析
【分析】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，由于点G，交于点E，且，得，，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径为；
（2）连接，由于点G，交于点E，得是的直径，，则，，所以，因为，所以，推导出，即可证明．
【详解】（1）解：连接，
于点G，交于点E，且，
，，
，，
，
，
，
解得，
的半径为；
（2）证明：连接，
于点G，交于点E，
是的直径，，
，，
，
于点D，与相交于点F，
，
，
，
．