6.1用树状图或表格求概率同步训练（含详解）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

6.1 用树状图或表格求概率
知识梳理
核心方法：
树状图法：适用于两步及以上随机事件，通过“分支”列举所有等可能结果，层次清晰，避免重复或遗漏。
表格法：适用于两步随机事件，将第一步结果列为行、第二步结果列为列，单元格为组合结果，直观简洁。
概率计算公式：
一般公式：所求事件所求事件包含的等可能结果数所有等可能结果总数。
关键前提：所有结果必须“等可能”（如摸球时球质地均匀、掷骰子时骰子质地均匀等）。
常见事件类型：
放回型：每次试验后，样本总量不变（如摸球后放回搅匀），两步结果相互独立。
不放回型：每次试验后，样本总量减少（如抽卡片后不放回），两步结果相互影响。
多主体型：多个对象独立选择（如两人选软件），结果为组合形式（有序或无序）。
解题步骤：
第一步：明确试验步骤（如“先抽再抽” “两人各选一个”）和所有可能结果。
第二步：用树状图或表格列出所有等可能结果，统计总数。
第三步：找出符合所求事件的结果数。
第四步：代入概率公式计算，结果化为最简分数。
易错点提醒：
区分“有序”与“无序”：不放回抽样中，（A,B）与（B,A）是不同结果；组合问题中（如选两个城市）是相同结果。
避免重复/遗漏：列举时按固定顺序（如从小到大、从左到右），确保结果不重不漏。
同步训练
一、单选题
1．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（）
A． B． C．1 D．
5．《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．外出旅游是假期休闲的一种方式，它可以陶冶人的情操．今年五一节期间，小明一家三口计划外出旅游，妈妈让小明从杭州、西安、北京、上海四个城市中选择两个城市，小明选择西安和上海的概率是 ．
8．一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ．
9．近年来中小学十分重视学生视力保护．某次视力检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中的一处检测视力，则三名同学恰好在同一检测点检测视力的概率为 ．
10．一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ．
三、解答题
11．小明同学在学习初三电学知识《欧姆定律》时，经常需要研究繁杂的电路图．如图所示，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为多少？请你用树状图或者列表格的方式帮助小明解决一下他的困惑．
12．如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动．
(1)转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________；
(2)若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率．
13．2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率．
14．长治某校秋季运动会上，三级跳远比赛每四人一个小组，并以抓阄的方式决定每个人的比赛出场顺序，裁判将表示出场顺序的数字1，2，3，4分别写在如图所示的4张除正面数字不同外其他均相同的纸条上．并将这些纸条放在一个不透明的盒子中．
(1)若小康随机抽取一张纸条，抽到数字“1”的概率为_____；
(2)若小明第一个抽取，不放回纸条，小方随后抽取，求小明出场顺序位于小方之前的概率．
参考答案
1．D
【分析】本题考查概率计算，熟悉掌握运算方法是解题的关键．
画出树状图解答即可．
【详解】设三本书为A《九章算术》、B《孙子算经》、C《海岛算经》，
画出树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
∴抽取两本书中有《九章算术》的概率
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了求概率．
通过列表法列出所有等可能结果，总共有9种情况，两人都选豆包只有1种情况，因此概率为．
【详解】解：设为A，豆包为B，为C．
所有可能结果列表如下：
A B C
A
B
C
∵总结果数为种，
且两人都选豆包的结果为，只有1种，
∴他们恰好都选到豆包的概率．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有等可能的结果，再找出两次摸出的球都是白球的结果，最后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
红 白1 白2
红 （红，红） （红，白1） （红，白2）
白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2）
白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2）
由表格可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有4种，所以两次摸出的球都是白球的概率为，
故选：A．
4．A
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6
2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6
3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6
4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6
5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6
6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6
共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种，
∴他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是，
故选A．
5．C
【分析】此题考查的是列表法或树状图法求概率求概率，列表得到共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种，再由概率公式求解即可.
【详解】解：把邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”的张邮票分别记为、、、，列表如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种，
∴抽到的邮票图案名称不相同的概率为 ，
故选: C．
6．D
【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成橙色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是，
故选：D．
7．
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明选择西安和上海的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设A、B、C、D分别表示杭州，西安，北京，上海这四个城市，
列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明选择西安和上海的结果数有2种，
∴小明选择西安和上海的概率为，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、，
列表可得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种，
∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为，
故答案为：．
9．/0.25
【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
共8种等可能的结果，其中三名同学恰好在同一检测点检测视力的结果有2种，
故．
故答案为：
10．
【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键．
先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查列表法或树状图求概率，掌握知识点是解题的关键．
根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：列表如下
共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡、同时发光的结果有：，，共2种，
能让两盏灯泡、同时发光的概率为．
答：能让两盏灯泡、同时发光的概率为．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式，列表或画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，运用概率公式进行列式计算，即可作答．
（2）先画出树状图，一共有12种等可能的结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种，再运用概率公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，
∴转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是．
（2）解：画树状图，如图所示：
则一共有12种等可能的结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种，
∴A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率．
13．
【分析】本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算．
【详解】解：所有可能的结果列表如下：
小平 小何 A B C
A
B
C
由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种，
所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题、二步概率问题的解法，涉及简单概率公式，熟记简单概率公式及列举法求概率的方法是解决问题的关键．
（1）由一步概率问题的解法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案；
（2）采用画树状图法，得到总的等可能结果，及满足题意的可能结果，代入简单概率公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：总共有4张除正面数字不同外其他均相同的纸条，则小康随机抽取一张纸条，抽到数字“1”的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明出场顺序位于小方之前的结果有6种，
∴小明出场顺序位于小方之前的概率为．