2026年高考数学一轮复习专题课件： 二项分布与超几何分布（65张PPT）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮复习专题课件： 二项分布与超几何分布（65张PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-16 00:00:00 | ||
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文档简介
二项分布与超几何分布
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
伯努利试验
我们把只包含____可能结果的试验叫伯努利试验；将一个伯努利试验_________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
二项分布
(1)定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________．
回归教材
两个
独立重复
Cnkpk(1－p)n－k
X～B(n，p)
(2)期望与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝__，D(X)＝________.
(3)确定一个二项分布模型的步骤如下：
①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
②确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．
np
np(1－p)
超几何分布
(1)假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
(2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，令p＝ ，则E(X)＝____．
np
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．
夯实双基
答案 (1)√
(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．
答案 (2)√
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.
答案 (3)×
2．(课本习题改编)已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是( )
√
解析 由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为1－0.4＝0.6，罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次，故概率P＝C31×0.4×0.62×0.4＝0.172 8＝ .故选C.
3．若X～B ，则P(X＝k)取得最大值时，k＝( )
A．4 B．5
C．6 D．5或6
√
4．(2025·河北邢台市模拟)已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________．
5．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________．
题型一 n重伯努利试验
(1)如图，数轴上一个质点在随机外力的作用下，
从原点出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，已知向右移动的概率为 ，向左移动的概率为 ，共移动8次，则质点最后位于－2的概率是( )
√
从原点出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，向左移动5次，
(2)2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与日本队鏖战7小时，双方打满五局，最终中国队逆转战胜了日本队进入决赛．这项比赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为 ，则中国队打满5局且最终获胜的概率为( )
√
【解析】 中国队打满5局且最终获胜，则前四局中国队恰好赢了2局且第五局中国队赢．因为每局比赛相互独立，所以中国队打满5局且最终获胜的概率为 .故选C.
n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k.计算时，要先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率．
状元笔记
√
思考题1 (1)(2025·重庆八中月考)某班级准备进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好有3人获奖的概率是( )
(2)(2024·安徽合肥二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率均为 ，则甲以4比2获胜的概率为( )
√
【解析】 根据题意，甲运动员前5局内需要赢3局，且第6局甲胜，
(3)(2025·保定市高三模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________．
【解析】 事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝
题型二 二项分布
(2025·江苏扬州模拟)学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为 ，选择乙方案测试合格的概率为 ，且每位同学测试的结果互不影响．
(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；
【答案】 (1)见解析
(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数．
【答案】 (2)3或4或5
【解析】 (2)设选择甲方案测试的学生人数为n，n＝0，1，2，3，4，5，则选择乙方案测试的学生人数为5－n，设通过甲方案测试合格的学生人数为ξ，通过乙方案测试合格的学生人数为η，
则n≥3，故当n＝3，4时，符合题意．
所以当选择甲方案测试的学生人数为3或4或5时，测试合格的人数的均值不小于3.
二项分布的期望与方差的求解策略
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样也可求出D(aξ＋b)．
状元笔记
思考题2 (2025·山东泰安一模)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．
(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率；
【解析】 (1)设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．
【答案】 (2)不会超过预算，理由见解析
题型三 超几何分布
(2025·徐州市模拟)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
【解析】 (1)由题可知ξ的所有可能取值为2，3，4，且ξ服从超几何分布，
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．
【答案】 (2)0.25
【解析】 (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，
由已知得，P(C)＝0.8，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8，
解得p＝0.25.
1.超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的概率计算公式
从古典概型的角度加以理解更容易记忆：P(X＝k)＝ (k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，即恰取了k件次品的概率P＝
.
状元笔记
3．超几何分布的应用
超几何分布是一个重要的分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．
思考题3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
题型四 与二项分布、超几何分布有关的概率最大值问题
(2025·山东日照一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
【答案】 (1)0.75
【解析】 (1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“软件正确应答”为事件B，
(2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的次数为X，X＝k(k＝0，1，…，n)的概率记为P(X＝k)，则n为何值时，P(X＝6)的值最大？
【答案】 (2)7或8
当n≥8，n∈N*时，an＋1＜an，
当n＝7时，a8＝a7，
所以当n＝7或n＝8时，an最大，即n为7或8时，P(X＝6)的值最大．
二项分布中概率最大值理论
设X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．
(1)一般求解思路：设X＝k时，对应概率最大，则应满足
然后通过求解该不等式组，结合k的取值范围即可确定k的具体取值．
状元笔记
(2)也可以从单调性的角度探究概率的最大值．
当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk随k值的增加而增加；当k>(n＋1)p时，pk 如果(n＋1)p为正整数，则当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时pk，pk－1均为最大值．如果(n＋1)p为非整数，而k取(n＋1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值．
思考题4 (1)(2025·河北邢台一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
①求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
②已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k＝0，1，2，…，10)的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？
【答案】 ①0.6 ②6
【解析】 ①设小张回答A类题正确的概率为P(A)，小张回答B类题正确的概率为P(B)，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为P，
由题意可得P(A)＝0.9，P(B)＝0.45，
(2)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼做上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
①若N＝5 000，求X的数学期望；
②已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)．
【答案】 ①20 ②6 666
【解析】 ①依题意X服从超几何分布，且N＝5 000，M＝200，n＝500，
由N2－698N＋499×199>N2－683N－684，
则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)>a(N)，
当N≥6 666时，a(N＋1) 故当N＝6 666时，a(N)最大，所以N的估计值为6 666.
1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，要确定好n，k的值．同时，也要注意与“停止型”模型的算法的区别．
2．若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，需要确定两个参数n，p.若X服从超几何分布，则P(X＝k)＝ ，需要确定三个参数N，M，n.
3．注意二项分布与超几何分布的联系．
本课总结
一、二项分布与超几何分布的辨别
写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1表示重复抛掷1枚骰子n次出现点数是3的倍数的次数；
【答案】 (1)见解析
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次，抽出的次品件数为X2；
【答案】 (2)见解析
(3)有一批产品共有N件，其中M件次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M>n>0，M≥n)．
【答案】 (3)见解析
超几何分布与二项分布的区别与联系
(1)区别：
①超几何分布：
i．超几何分布描述的是不放回抽样问题．ii.特征：考察对象分两类；已知各类对象的个数M，N；已知抽取次数n；随机变量为抽到的某类个体的个数．iii.实质是古典概型．
状元笔记
②二项分布：
i．二项分布描述的是有放回抽样问题．ii.特征：做独立重复试验；每次试验的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次数n；随机变量为试验发生的次数．iii.实质是n次独立重复试验．
(2)联系：
当抽取的方式从不放回变为有放回，超几何分布变为二项分布；对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，超几何分布可近似为二项分布．
思考题1 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 .
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成实验操作的题数的概率分布列，并计算数学期望；
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的所有可能取值是1，2，3，
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)由(1)知E(ξ)＝E(η)＝2，
所以D(ξ)P(η≥2)，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，考生甲的水平更稳定；
从至少正确完成两题的概率方面分析，考生甲通过的可能性更大．
二、极大似然估计
基本原理
已知函数p(x|θ)，x表示某一个具体的数据，θ表示模型的参数．如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少．如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少．
极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即“模型已定，参数未知”．目的是利用已知的样本结果，反推最有可能 (最大概率)导致这样结果的参数值．(如题型四涉及的问题)
(2025·杭州高三质量检测)在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸取n次，红球出现m次，假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为p＝ .
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3次，设摸出红球的次数为Y，则Y～B(3，p)．
注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率．
①完成下表；
【答案】 (1)①表格见解析 ②见解析
【答案】 (2)见解析
思考题2 (2018·课标全国Ⅰ，节选)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
【答案】 0.1
【解析】 20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C202p2(1－p)18，0＜p＜1，因此f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0，f(p)单调递减，
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
思考题3 某研究所为研究某一型号疫苗的有效
性，研究人员随机选取50只白鼠注射疫苗，并将白鼠分
成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数．现用随
机变量Xi(i＝1，2，3，4，5)表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi的观测值xi(i＝1，2，3，4，5)绘制成如图所示的频数分布条形图．若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p(p∈(0，1))，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的．记Ai为事件“Xi＝xi(i＝1，2，3，4，5)”．
(1)写出P(A1)(用p表示，组合数不必计算)；
【答案】 (1)P(A1)＝C102p2(1－p)8
【解析】 (1)由题知随机变量X1～B(10，p)，所以P(A1)＝C102p2(1－p)8.
(2)研究团队发现概率p与参数θ(0<θ<1)之间的关系为p＝ .在统计学中，若参数θ＝θ0时的p值使得概率P(A1A2A3A4A5)最大，则称θ0是θ的最大似然估计，求θ0.
【解析】 (2)设事件A＝A1A2A3A4A5，由题图可知x1＝2，x2＝1，x3＝1，x4＝3，x5＝3，
则P(A)＝C102p2(1－p)8·[C101p(1－p)9]2·[C103p3(1－p)7]2，
即P(A)＝(C101)2C102(C103)2p10(1－p)40.
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
伯努利试验
我们把只包含____可能结果的试验叫伯努利试验；将一个伯努利试验_________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
二项分布
(1)定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
回归教材
两个
独立重复
Cnkpk(1－p)n－k
X～B(n，p)
(2)期望与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝__，D(X)＝________.
(3)确定一个二项分布模型的步骤如下：
①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
②确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．
np
np(1－p)
超几何分布
(1)假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
(2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，令p＝ ，则E(X)＝____．
np
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．
夯实双基
答案 (1)√
(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．
答案 (2)√
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.
答案 (3)×
2．(课本习题改编)已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是( )
√
解析 由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为1－0.4＝0.6，罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次，故概率P＝C31×0.4×0.62×0.4＝0.172 8＝ .故选C.
3．若X～B ，则P(X＝k)取得最大值时，k＝( )
A．4 B．5
C．6 D．5或6
√
4．(2025·河北邢台市模拟)已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________．
5．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________．
题型一 n重伯努利试验
(1)如图，数轴上一个质点在随机外力的作用下，
从原点出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，已知向右移动的概率为 ，向左移动的概率为 ，共移动8次，则质点最后位于－2的概率是( )
√
从原点出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，向左移动5次，
(2)2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与日本队鏖战7小时，双方打满五局，最终中国队逆转战胜了日本队进入决赛．这项比赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为 ，则中国队打满5局且最终获胜的概率为( )
√
【解析】 中国队打满5局且最终获胜，则前四局中国队恰好赢了2局且第五局中国队赢．因为每局比赛相互独立，所以中国队打满5局且最终获胜的概率为 .故选C.
n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k.计算时，要先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率．
状元笔记
√
思考题1 (1)(2025·重庆八中月考)某班级准备进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好有3人获奖的概率是( )
(2)(2024·安徽合肥二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率均为 ，则甲以4比2获胜的概率为( )
√
【解析】 根据题意，甲运动员前5局内需要赢3局，且第6局甲胜，
(3)(2025·保定市高三模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________．
【解析】 事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝
题型二 二项分布
(2025·江苏扬州模拟)学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为 ，选择乙方案测试合格的概率为 ，且每位同学测试的结果互不影响．
(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；
【答案】 (1)见解析
(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数．
【答案】 (2)3或4或5
【解析】 (2)设选择甲方案测试的学生人数为n，n＝0，1，2，3，4，5，则选择乙方案测试的学生人数为5－n，设通过甲方案测试合格的学生人数为ξ，通过乙方案测试合格的学生人数为η，
则n≥3，故当n＝3，4时，符合题意．
所以当选择甲方案测试的学生人数为3或4或5时，测试合格的人数的均值不小于3.
二项分布的期望与方差的求解策略
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样也可求出D(aξ＋b)．
状元笔记
思考题2 (2025·山东泰安一模)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．
(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率；
【解析】 (1)设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．
【答案】 (2)不会超过预算，理由见解析
题型三 超几何分布
(2025·徐州市模拟)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
【解析】 (1)由题可知ξ的所有可能取值为2，3，4，且ξ服从超几何分布，
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．
【答案】 (2)0.25
【解析】 (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，
由已知得，P(C)＝0.8，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8，
解得p＝0.25.
1.超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的概率计算公式
从古典概型的角度加以理解更容易记忆：P(X＝k)＝ (k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，即恰取了k件次品的概率P＝
.
状元笔记
3．超几何分布的应用
超几何分布是一个重要的分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．
思考题3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
题型四 与二项分布、超几何分布有关的概率最大值问题
(2025·山东日照一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
【答案】 (1)0.75
【解析】 (1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“软件正确应答”为事件B，
(2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的次数为X，X＝k(k＝0，1，…，n)的概率记为P(X＝k)，则n为何值时，P(X＝6)的值最大？
【答案】 (2)7或8
当n≥8，n∈N*时，an＋1＜an，
当n＝7时，a8＝a7，
所以当n＝7或n＝8时，an最大，即n为7或8时，P(X＝6)的值最大．
二项分布中概率最大值理论
设X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．
(1)一般求解思路：设X＝k时，对应概率最大，则应满足
然后通过求解该不等式组，结合k的取值范围即可确定k的具体取值．
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(2)也可以从单调性的角度探究概率的最大值．
当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk随k值的增加而增加；当k>(n＋1)p时，pk
思考题4 (1)(2025·河北邢台一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
①求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
②已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k＝0，1，2，…，10)的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？
【答案】 ①0.6 ②6
【解析】 ①设小张回答A类题正确的概率为P(A)，小张回答B类题正确的概率为P(B)，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为P，
由题意可得P(A)＝0.9，P(B)＝0.45，
(2)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼做上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
①若N＝5 000，求X的数学期望；
②已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)．
【答案】 ①20 ②6 666
【解析】 ①依题意X服从超几何分布，且N＝5 000，M＝200，n＝500，
由N2－698N＋499×199>N2－683N－684，
则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)>a(N)，
当N≥6 666时，a(N＋1)
1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，要确定好n，k的值．同时，也要注意与“停止型”模型的算法的区别．
2．若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，需要确定两个参数n，p.若X服从超几何分布，则P(X＝k)＝ ，需要确定三个参数N，M，n.
3．注意二项分布与超几何分布的联系．
本课总结
一、二项分布与超几何分布的辨别
写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1表示重复抛掷1枚骰子n次出现点数是3的倍数的次数；
【答案】 (1)见解析
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次，抽出的次品件数为X2；
【答案】 (2)见解析
(3)有一批产品共有N件，其中M件次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M>n>0，M≥n)．
【答案】 (3)见解析
超几何分布与二项分布的区别与联系
(1)区别：
①超几何分布：
i．超几何分布描述的是不放回抽样问题．ii.特征：考察对象分两类；已知各类对象的个数M，N；已知抽取次数n；随机变量为抽到的某类个体的个数．iii.实质是古典概型．
状元笔记
②二项分布：
i．二项分布描述的是有放回抽样问题．ii.特征：做独立重复试验；每次试验的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次数n；随机变量为试验发生的次数．iii.实质是n次独立重复试验．
(2)联系：
当抽取的方式从不放回变为有放回，超几何分布变为二项分布；对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，超几何分布可近似为二项分布．
思考题1 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 .
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成实验操作的题数的概率分布列，并计算数学期望；
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的所有可能取值是1，2，3，
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
【答案】 (2)见解析
【解析】 (2)由(1)知E(ξ)＝E(η)＝2，
所以D(ξ)
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，考生甲的水平更稳定；
从至少正确完成两题的概率方面分析，考生甲通过的可能性更大．
二、极大似然估计
基本原理
已知函数p(x|θ)，x表示某一个具体的数据，θ表示模型的参数．如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少．如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少．
极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即“模型已定，参数未知”．目的是利用已知的样本结果，反推最有可能 (最大概率)导致这样结果的参数值．(如题型四涉及的问题)
(2025·杭州高三质量检测)在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸取n次，红球出现m次，假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为p＝ .
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3次，设摸出红球的次数为Y，则Y～B(3，p)．
注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率．
①完成下表；
【答案】 (1)①表格见解析 ②见解析
【答案】 (2)见解析
思考题2 (2018·课标全国Ⅰ，节选)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
【答案】 0.1
【解析】 20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C202p2(1－p)18，0＜p＜1，因此f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0，f(p)单调递减，
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
思考题3 某研究所为研究某一型号疫苗的有效
性，研究人员随机选取50只白鼠注射疫苗，并将白鼠分
成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数．现用随
机变量Xi(i＝1，2，3，4，5)表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi的观测值xi(i＝1，2，3，4，5)绘制成如图所示的频数分布条形图．若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p(p∈(0，1))，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的．记Ai为事件“Xi＝xi(i＝1，2，3，4，5)”．
(1)写出P(A1)(用p表示，组合数不必计算)；
【答案】 (1)P(A1)＝C102p2(1－p)8
【解析】 (1)由题知随机变量X1～B(10，p)，所以P(A1)＝C102p2(1－p)8.
(2)研究团队发现概率p与参数θ(0<θ<1)之间的关系为p＝ .在统计学中，若参数θ＝θ0时的p值使得概率P(A1A2A3A4A5)最大，则称θ0是θ的最大似然估计，求θ0.
【解析】 (2)设事件A＝A1A2A3A4A5，由题图可知x1＝2，x2＝1，x3＝1，x4＝3，x5＝3，
则P(A)＝C102p2(1－p)8·[C101p(1－p)9]2·[C103p3(1－p)7]2，
即P(A)＝(C101)2C102(C103)2p10(1－p)40.
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