2025-2026学年高中数学人教A版必修二单元测试 第十章 概率（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二单元测试 第十章 概率
一、选择题
1．在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件.其中为必然事件的是( )，并说明理由.
A.3件都是正品 B.至少有1件是次品
C.3件都是次品 D.至少有1件是正品
2．书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为，则中文书有( )
A.40本 B.30本 C.20本 D.10本
3．在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为( )
A. B. C. D.
4．设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
A. B. C. D.
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何 ”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体方木,要把它作成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个 ”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为
A. B. C. D.
6．小胡和小李正在进行乒乓球单打决赛,现在的情形是还剩两局比赛,小胡只要再赢一局就获得冠军,小李需要两局都赢才能获得冠军.若两人每局赢的概率均为,则在此情形下小胡获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知事件A，B相互独立，，，则( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.7
8．设A，B是两个相互独立的随机事件，已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,则下列结论正确的是( )
A.“至少一个红球”的概率为 B.“恰有一个黑球”的概率为
C.“一个红球和一个黑球”的概率为 D.“两个都是红球”的概率为
10．一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球,其中2个红球,2个黄球,2个白球,随机从盒中依次不放回地摸出2个球,则下列事件相互独立的是( )
A.“摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同”
B.“摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同”
C.“摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球”
D.“摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球”
11．下列叙述正确的是( )
A.A与B为对立事件是A与B为互斥事件的充分不必要条件
B.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
C.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
D.从集合中任取一个数记为a，从集合中任取一个数记为b，则的概率为
三、填空题
12．从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为____________.
13．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年,为激发民众的爱国热情和民族自豪感,某地举办相关知识竞答活动.在决赛中,每轮活动由甲、乙各答一个问题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮活动中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为________.
14．ChatGPT（高度智能化的聊天机器人）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某中学生小王周末去AI自习室想挑战一下ChatGPT.小王和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答.已知在这10个问题中，小王能正确作答其中的9个，则小王能全部回答正确的概率是________.
15．赣超联赛作为江西本土热门足球赛事,正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量,需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A,B两个比赛场馆服务,则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为________.
四、解答题
16．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.
（1）求事件“”的概率;
（2）求事件“”的概率.
17．甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关,在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,每人闯关成功记2分,三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率;
（2）求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率;
（3）若团体总分不小于4分,则小组可参加下一轮比赛,求该小组参加下一轮比赛的概率.
18．2023年11月,首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日,学青会火炬传递在桂林举行,广西师范大学有5名教师参与了此次传递,其中男教师2名,女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间;
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率.
19．已知甲、乙、丙参加某项测试时,通过的概率分别为0.6,0.8,0.9,而且这3人之间的测试互不影响.
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率.
20．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个 2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母）
参考答案
1．答案：D
解析：12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为0，1，2，正品的个数分别为3，2，1，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生.故选：D.
2．答案：B
解析：书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为，
则拿到中文书的概率为，则中文书有本.
故选：B.
3．答案：C
解析：因A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，
A，B通过的顺序只有等可能的，两种情况，
故A先于B通过的概率为.
故选：C.
4．答案：A
解析：如图,从O,A,B,C,D5个点中任取3个有
共10种不同取法,
3点共线只有与共2种情况,
由古典概型的概率计算公式知,
取到3点共线的概率为.
故选:A
5．答案：C
解析：有一块棱长为3尺的正方体方木,要把它作成边长为5寸的正方体枕头,可作216个,
由正方体的结构及锯木块的方法,
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块,共有个,
从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率:
p.
故选C.
6．答案：B
解析：小胡只要再赢一局就获得冠军,小胡都输的概率为,则小胡获得冠军的概率为.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为事件A，B相互独立，且，，
所以.
故选：C
8．答案：D
解析：由A，B是两个相互独立，得，
而，
则，所以.
故选：D
9．答案：ABD
解析：A选项,设2个红球为a,b,2个黑球为A,B,
选取2个小球,则可能情况有,共6个,
所以“至少一个红球”的情况有,共5个,
故“至少一个红球”的概率为,A正确;
B选项,“恰有一个黑球”的情况有,共4个,
故“恰有一个黑球”的概率为,B正确;
C选项,“一个红球和一个黑球”的情况有,共4个,
故“一个红球和一个黑球”的概率为,C错误;
D选项,“两个都是红球”的情况有,故“两个都是红球”的概率为,D正确.
故选:ABD
10．答案：AB
解析：对于A,记事件M表示“摸出的第一个球是红球”,事件N表示“摸出的两个球颜色不同”,
则,,
记事件表示“摸出的第一个球是红球且摸出的两个球颜色不同”,
则,显然,
所以事件M与事件N相互独立,故A正确.
对于B,记事件Q表示“摸出的第二个球是黄球”,事件R表示“摸出的两个球颜色相同”,
则,,
记事件表示“摸出的第二个球是黄球且同摸出的两个球颜色相同”,
则,显然,
所以事件Q与事件R相互独立,故B正确.
对于C,记事件S表示“摸出的球没有黄球”,则,
由B项,记事件表示“摸出的两个球颜色相同且摸出的球没有黄球”,
则,显然,
所以事件R与事件S不相互独立,故C错误.
对于D,记事件T表示“摸出的球有红球”,则,
由A项,记事件表示“摸出的两个球颜色不同且摸出的球有红球”,
则,显然,
所以事件N与事件T不相互独立,故D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：选项A正确；
选项B：概率为，故B错误；
选项C：概率为，故C正确；
选项D：所有的基本事件有9个，满足题意的有，，，共3个，
概率为，故D正确；
故选ACD.
12．答案：
解析：从甲、乙、丙三人中任选两名代表,所包含的基本事件有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)共三个,其中甲被选中包含(甲,乙),(甲,丙)共两个基本事件,故甲被选中的概率为.
故答案为：.
13．答案：/0.09
解析：两人在两轮活动中共答对3个问题,
可能甲答对2个、乙答对1个,或甲答对1个、乙答对2个,
所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为:
.
故答案为:
14．答案：/0.1
解析：设小王答对的题数为X，
则，
故答案为：.
15．答案：
解析：将4人平均分为两组,每组两人,共种分法,
再将两组人分配到A,B两个场馆,因此共种分法,
小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种;
故小赵与小周分到同一个场馆的概率为.
故答案为:.
16．答案：（1）
（2）
解析：设表示一个基本事件,则掷两次骰子包括:,,共36个基本事件.
（1）用A表示事件“”,则A的结果有,共3个基本事件
因此,事件“”的概率为
（2）用B表示事件“”,
则B的结果有,共8个基本事件
因此,事件“”的概率为
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）三人各自独立闯关,其中甲闯关成功的概率为,
甲、乙都闯关成功的概率为,
甲、丙都闯关成功的概率为,
设乙闯关成功的概率为,丙闯关成功的概率为,
根据独立事件同时发时的概率公式得,
解得,,
即乙闯关成功的概率为,丙闯关成功的概率为.
（2）团体总分为4分,即甲、乙、丙三人中恰有2人过关,而另外一人没过关,
设“团体总分为4分”为事件A,
则,
即团体总分为4分的概率是;
（3）团体总分不小于4分,即团体总分为4分或6分,
设“团体总分不小于4分”为事件B,
由（2）可知团体总分为4分的概率,
团体总分为6分,即3人闯关都成功的概率为,
所以参加下一轮比赛的概率为,
即该小组参加下一轮比赛的概率为.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）将2位男教师记为,3位女教师记为,
则样本空间,共有10个样本点.
（2）设事件A表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”,
则,
A中包含9个样本点,故.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)甲、乙、丙都通过测试的概率为.
(2)甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.
(3)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.
20．答案：(1)P（1个元音），P（2个元音），P（3个元音）；
(2)
解析：(1)如图所示，所有可能出现的情况有12种，
记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件A，B，C,
事件A发生的情况有5种，事件B发生的情况有4种，事件C发生的情况有1种，
所以，，.
(2)由树状图知共有12种等可能的结果，
取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为.
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