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分课时教学设计
《5.4.2 角平分线的性质》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《角平分线的性质的应用》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第四节第二课时的内容。本节课是在学生掌握角平分线性质定理及逆定理、全等三角形判定的基础上展开的内容，它既是对前述知识的综合运用，也体现了几何中“性质→判定→应用”的逻辑闭环。教材通过“判断点是否在角平分线上”“添加条件证明角平分线”“比较线段和差”“找三角形内到三边距离相等的点”等例题，呈现了性质定理与逆定理的实际应用场景，既强化了“垂直距离”“互逆关系”等核心概念，也为后续三角形内心、几何证明工具的拓展铺垫了基础，是连接理论知识与实际解题的关键环节。
学习者分析 学生已初步掌握角平分线的性质定理与逆定理，但在应用中易出现两个问题：一是忽略 “距离需垂直”的前提条件，二是混淆性质（由角平分线推距离相等）与逆定理（由距离相等推角平分线）的逻辑方向；同时，学生对单一条件的直接应用较为熟练，但面对“面积相等+线段相等”“中点+垂直” 等综合条件时，缺乏从条件中提炼 “距离关系”的意识，且对“三角形内到三边距离相等的点”的本质（角平分线交点）理解不够深入，需借助具体例题的拆解逐步建立分析思路。
教学目标 1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。 2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。 3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。
教学重点 角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。
教学难点 从综合条件（如面积相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与逆定理的适用场景。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？ 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.学生活动1： 回顾角平分线的性质定理和它的逆定理 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：角平分线的性质及逆定理的应用 【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是 BC，AB，AC边上的点 . 若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？ 教师提问：三角形的面积公式是什么？ 三角形的面积=×底×高 教师讲授：由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以点D到BE，CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上. 【思考】如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB的平分线呢？ 问题1：要证明它们是平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，需要满足什么核心条件？ 教师讲授：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.即证明MN=ME，MN=MF. 问题2：由M是EF的中点可以得到什么信息？ 问题3：添加一个什么条件可以使得MN=ME，MN=MF？ 解：添加条件MN=ME即可. 因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME， 所以点M在∠ACD的平分线上， 即CM是∠ACD的平分线. 又M是EF的中点，则MF=ME=MN. 同理可证AM是∠CAB的平分线.学生活动2： 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真思考 应用角平分线的性质定理的逆定理 认真听讲 活动意图说明：以阶梯式提问引导学生用分析法推导，掌握角平分线逆定理，培养逻辑推理能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 解:因为AP是∠CAD的平分线， 又PE⊥DB，PF⊥AC， 所以PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， 因此BE+PF>PB.
【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等. 任务1：作∠BAC的角平分线； 任务2：作∠BAC的角平分线. 教师提问：这两条角平分线有几个交点？该交点到三边的距离有什么关系？ 教师讲授：在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P，如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， 所以PD=PE. 因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC， 所以PD=PF. 故PD=PE=PF，因此P为所求作的点. 内心：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。 内心的性质 性质1：内心到三角形三边的距离相等. 性质2：内心到三角形三边的距离等于三角形面积的两倍除以三角形周长.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 动手操作 认真思考，进行证明 认真听讲 认真听讲，了解内心的概念活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内心：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.三角形中到三条边距离相等的点是（ ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2.的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（ ） A． B． C． D． 3.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ． 5.如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ． 6.如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号） 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 3.如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.如图，是的角平分线，，，点P是上一动点． （1）连接，求的最小值； （2）若，求的面积．
教学反思 本节课通过例题分层引导学生应用角平分线的性质与逆定理，在“判断点是否在角平分线上”的例题中，多数学生能结合面积与线段条件关联到距离相等，但仍有部分学生忽略“垂直”前提；在“添加条件证明角平分线”的环节，学生对“中点→线段相等”与“距离相等→角平分线”的衔接不够顺畅，后续需增加条件拆解的分步训练。此外，“三角形内到三边距离相等的点”的本质讲解可结合画图操作更直观呈现，帮助学生理解角平分线交点的核心特征。整体而言，学生对单一定理的应用较熟练，但综合条件的分析能力仍需通过更多变式练习强化。
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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。
01
能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。
02
通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。
03
02
新知导入
回顾
角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
03
新知探究
说一说
如图，在△ABC中，D，E，F分别是 BC，AB，AC边上的点 . 若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
三角形的面积公式是什么？
三角形的面积=×底×高
由于S△BDE=S△CDF ，BE=CF，所以点D到BE，CF的距离相等
角平分线的性质定理的逆定理
点D在∠BAC的平分线上.
03
新知探究
思考
如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB的平分线呢？
问题1：要证明它们是平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，需要满足什么核心条件？
03
新知探究
问题2：由M是EF的中点可以得到什么信息？
解：添加条件MN=ME即可.
因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，
所以点M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
又M是EF的中点，则MF=ME=MN.
同理可证AM是∠CAB的平分线.
问题3：添加一个什么条件可以使得MN=ME,MN=MF？
03
新知探究
如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥
例2
解:因为AP是∠CAD的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
因此BE+PF>PB.
DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
03
新知探究
做一做
任意作一个△ABC,在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
任务1：作∠BAC的角平分线；
任务2：作∠BAC的角平分线.
这两条角平分线有几个交点？
该交点到三边的距离有什么关系？
03
新知探究
在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P，如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
所以PD=PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.
03
新知探究
内心：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
内心的性质
性质1：内心到三角形三边的距离相等.
性质2：内心到三角形三边的距离等于三角形面积的两倍除以三角形周长.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.三角形中到三条边距离相等的点是（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条角平分线的交点
2.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是射线OB上任一点，则（ ）
A．PQ>5 B．PQ≥5 C．PQ<5 D．PQ≤5
D
B
04
课堂练习
3.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB=10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，
B
此时点B到直线DE的距离是（ ）
A．3cm B．5cm
C．6cm D．10cm
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m，则它到公路n的距离是 m．
80
04
课堂练习
5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为45，△ADC的面积为20，则△ABD的面积等于 ．
25
04
课堂练习
6.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB．下列条件：①∠AOC=∠BOC；②PD=PE；③OD=OE；④∠DPO=∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有 ．（填序号）
①②③④
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED+∠AFD=180°.DE与DF有何数量关系 请说明理由．
解：．
理由：如图，过点作于点，于点．
平分，
．
04
课堂练习
，，
．
在和中，
（AAS），
．
05
课堂小结
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内心：三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，直线l1， l2， l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
D
06
作业布置
2.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH=S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
A
06
作业布置
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点F，作DE⊥AC，垂足为E，连接AD，若∠BAD=90°，AD=4，AC=7，则EF的长为（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图,AD是△ABC的角平分线,∠C=90°,CD=1cm,点P是AB上一动点．
（1）连接DP，求DP的最小值；
（2）若∠B=30°，求△ADB的面积．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（1）连接DP，求DP的最小值；
（1）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DH⊥AB，
∴DH=CD=1cm，
∵DP≥DH，
∴当点P与点H重合时，DP有最小值，最小值为1cm；
06
作业布置
（2）解：在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
07
板书设计
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理的逆定理：
角平分线的性质的应用：
5.4 角平分线的性质（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。
2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。
3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。
学习重点：
角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。
学习难点：
从综合条件（如面积相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与逆定理的适用场景。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？
二、探究新知
探究：角平分线的性质及逆定理的应用
教材第179页
【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是 BC，AB，AC边上的点 . 若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
【思考】如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB的平分线呢？
三、例题精讲
例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.三角形中到三条边距离相等的点是（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
2.的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．
5.如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ．
6.如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
【综合拓展类作业】
7.如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系？请说明理由．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
1.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
2.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
3.如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，是的角平分线，，，点P是上一动点．
（1）连接，求的最小值；
（2）若，求的面积．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，
故选：D
2.【答案】B
【解析】解：如图，过点P作于E，
∵是的平分线，
∴，
∵Q是上任一点，
∴，
∴．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：过点B作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
∴，
故选：B．
4.【答案】80．
【解析】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
5.【答案】25．
【解析】解：延长交于，如下图，
∵平分，垂直于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：25．
6.【答案】①②③④．
【解析】解：∵，∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
7.【答案】解：．
理由：如图，过点作于点，于点．
平分，
．
，，
．
在和中，
（AAS），
．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
如图，
∴货物中转站可以供选择的地址有4处．
故答案为：D.
2.【答案】A
【解析】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故答案为：A．
3.【答案】A
【解析】解：如图，作交的延长线于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
平分
∴，
∴，
故选：．
4．【答案】（1）解：如图所示，过点D作于H，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为；
（2）解：在中，，∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
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