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第5章 直角三角形
综合与实践：利用拼接探究勾股定理
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。
2.能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。
3.体会勾股定理证明的多样性，感受“数形结合”“转化”的数学思想，增强对数学知识的探究兴趣。学习重点：
通过拼接活动探索勾股定理的证明方法，理解“面积法”在定理证明中的应用。
学习难点：
将图形拼接的直观操作转化为严谨的逻辑证明，自主关联“图形拼接”与“面积关系”推导勾股定理。 教学过程
一、合作探究
【说一说】（1）任意两个三角形可以拼成一个四边形吗？如能，请说明理由；否则请举反例.
（2）满足什么条件的两个直角三角形可以拼成一个长方形或正方形？理由呢？
二、动手操作
【想一想】任务一：你能用四个如图1（1）所示的直角三角形和一个如图1（2）所示的正方形，通过拼接得到图2的正方形吗？
任务二：你能由此证明勾股定理吗？
三、推理证明
【合作交流】
任务一：分别剪出以一个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及三个边长分别为a，b，c的正方形.
任务二：将这四个图形拼接成如下图所示的图形.
任务三：证明勾股定理.
四、课后作业
作业1:分别剪出以两个直角边为，斜边为的直角三角形以及一个腰长为的等腰直角三角形.如何利用这三个图形，通过拼接证明勾股定理？
作业2：请你查阅资料，了解几种勾股定理的证明方法与证明过程，并结合上述拼接:证明过程，写一篇小论文，介绍你从中获得的启示.
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第5章 直角三角形
综合与实践：利用拼接探究勾股定理
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
作业布置
01
教学目标
通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。
01
能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。
02
体会勾股定理证明的多样性，感受“数形结合”“转化”的数学思想，增强对数学知识的探究兴趣。
03
02
新知导入
说一说
（1）任意两个三角形可以拼成一个四边形吗？如能，请说明理由；否则请举反例.
（2）满足什么条件的两个直角三角形可以拼成一个长方形或正方形？理由呢？
（1）任意两个三角形不一定能拼成一个四边形.
反例：若两个三角形没有相等的边，则不能拼成一个四边形.
02
新知导入
(2)两个全等的直角三角形可以拼成一个长方形或正方形。
理由：如图所示，两个全等的直角三角形可以沿着斜边拼成一个长方形或正方形。
03
新知探究
想一想
任务一：你能用四个如图1(1)所示的直角三角形和一个如图1(2)所示的正方形，通过拼接得到图2的正方形吗？
03
新知探究
由于图中蓝色的正方形的面积S等于大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积，
因而S=
.
又因为蓝色的正方形的边长为c，
因此S=.
故.
03
新知探究
合作交流
任务一：分别剪出以一个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及三个边长分别为a，b，c的正方形.
任务二：将这四个图形拼接成如下图所示的图形.
任务三：证明勾股定理.
03
新知探究
证明：易知G，C，B三点在一条直线上.
连接BF，CD，过点C作CN⊥DE，交AB于点M，交DE于点N.
因为AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD,
所以△FAB≌△CAD.
由于FA∥ GB，CN∥ AD，
则S△FAB=，S△CAD=S矩形ADNM,
所以S矩形ADNM=.
03
新知探究
连接AK，CE.
同理可证，S矩形MNEB=.
又S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ADEB，
且S正方形ADEB=.
所以.
4
作业布置
【综合拓展类作业】
作业1:分别剪出以两个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及一个腰长为c的等腰直角三角形.如何利用这三个图形，通过拼接证明勾股定理？
作业2：请你查阅资料，了解几种勾股定理的证明方法与证明过程，并结合上述拼接:证明过程，写一篇小论文，介绍你从中获得的启示.
05
板书设计
探究思路：
拼接图形 找面积关系 推导定理
证明过程：
综合与实践：利用拼接探究勾股定理
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
《综合与实践：利用拼接探究勾股定理》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 湘教版八年级上册“综合与实践——利用拼接探究勾股定理”，是在学生学习勾股定理及其逆定理后的拓展内容，教材通过“说一说—想一想—议一议—做一做”的环节设计，以拼接活动为载体，让学生在动手操作中回顾勾股定理的内涵，同时探索勾股定理的多种证明方法，既强化了对“数与形”关联的理解，又将几何图形的拼接与面积推导结合，在巩固勾股定理知识的同时，渗透了“转化”“数形结合”的数学思想，不仅能让学生体会定理证明的多样性，更能提升学生的动手实践与逻辑推理能力，为后续几何证明的拓展学习积累经验。
学习者分析 学生在前期已掌握勾股定理的内容和简单应用，具备一定的几何图形观察能力和基础的逻辑推理能力，但对勾股定理的证明方法仅停留在课本的基本推导层面，动手拼接和面积转化的经验较少；同时，八年级学生对“动手操作类”活动兴趣较高，但在拼接过程中容易出现“只动手、不思考”的情况，难以主动关联“图形拼接”与“面积关系”来推导定理，需要教师引导将“直观操作”转化为“逻辑表达”。
教学目标 1.通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。 2.能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。 3.体会勾股定理证明的多样性，感受“数形结合”“转化”的数学思想，增强对数学知识的探究兴趣。
教学重点 通过拼接活动探索勾股定理的证明方法，理解“面积法”在定理证明中的应用。
教学难点 将图形拼接的直观操作转化为严谨的逻辑证明，自主关联“图形拼接”与“面积关系”推导勾股定理。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【说一说】（1）任意两个三角形可以拼成一个四边形吗？如能，请说明理由；否则请举反例. （2）满足什么条件的两个直角三角形可以拼成一个长方形或正方形？理由呢？ 教师总结：（1）任意两个三角形不一定能拼成一个四边形. 反例：若两个三角形没有相等的边，则不能拼成一个四边形. (2)两个全等的直角三角形可以拼成一个长方形或正方形。 理由：如图所示，两个全等的直角三角形可以沿着斜边拼成一个长方形或正方形。 学生活动1： 合作交流，举手回答问题 认真听讲，思考总结活动意图说明：通过问题导入，唤起学生求知的欲望，调动学生思维的积极性，激发学生学习新知识的兴趣，有利于活跃课堂教学氛围。环节二：动手操作教师活动2： 【想一想】任务一：你能用四个如图1（1）所示的直角三角形和一个如图1（2）所示的正方形，通过拼接得到图2的正方形吗？ 任务二：你能由此证明勾股定理吗？ 教师归纳：由于图中蓝色的正方形的面积S等于大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积， 因而S= . 又因为蓝色的正方形的边长为c， 因此S=. 故.学生活动2： 认真思考，进行推理 认真思考，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：合作证明教师活动3： 【合作交流】 任务一：分别剪出以一个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及三个边长分别为a，b，c的正方形. 任务二：将这四个图形拼接成如下图所示的图形. 任务三：证明勾股定理. 证明：易知G，C，B三点在一条直线上. 连接BF，CD，过点C作CN⊥DE，交AB于点M，交DE于点N. 因为AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD, 所以△FAB≌△CAD. 由于FA∥ GB，CN∥ AD， 则S△FAB=，S△CAD=S矩形ADNM, 所以S矩形ADNM=. 连接AK，CE. 同理可证，S矩形MNEB=. 又S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ADEB， 且S正方形ADEB=. 所以.学生活动3： 动手操作 合作交流 认真听讲活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。
板书设计
课后作业 作业1:分别剪出以两个直角边为，斜边为的直角三角形以及一个腰长为的等腰直角三角形.如何利用这三个图形，通过拼接证明勾股定理？ 作业2：请你查阅资料，了解几种勾股定理的证明方法与证明过程，并结合上述拼接:证明过程，写一篇小论文，介绍你从中获得的启示.
教学反思 本次“利用拼接探究勾股定理”的教学中，学生参与拼接活动的积极性较高，多数学生能完成基础的图形拼接，但在“从拼接到证明”的转化上存在不足：部分学生能拼出图形，却难以用面积关系推导勾股定理，对“拼接前后面积不变”的核心逻辑理解不深；同时，对不同拼接方法的拓展讲解不够充分，导致学生对“勾股定理证明多样性”的体会不足。后续教学需要增加“拼接—面积—定理”的关联引导，让学生在操作后及时梳理推导过程，同时补充更多勾股定理证明的趣味案例，加深学生对定理的理解。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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