2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.1 平面向量的概念（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.1 平面向量的概念
一、选择题
1．已知点，则与同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
2．已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则( )
A.1 B. C. D.3
3．下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若,,则
C.若向量,满足,则
D.若,,则
4．下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若,,则
C.若向量,满足,则
D.若,,则
5．下列物理量中，不能称为向量的是( )
A.质量 B.速度 C.位移 D.力
6．已知向量,,满足,则( )
A. B. C.20 D.5
7．下列结论正确的是( )
A.
B.若，则A，B，C，D四点构成平行四边形
C.若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量
D.向量与可以作为平面内所有向量的一组基底
8．下列命题中，真命题是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、多项选择题
9．如图，在单位圆O中，向量，，是( )
A.有相同起点的向量 B.单位向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
10．下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
11．下列说法中，正确的是( )
A.若，则或
B.在平行四边形中，
C.在中，若，则是钝角三角形．
D.内有一点O，满足，则点O是三角形的重心
三、填空题
12．与向量有关的概念：
（1）零向量：
__________和__________相同的向量称为零向量.零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用__________的阿拉伯数字零表示，即__________.零向量的模为0，即__________.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是__________.
（2）单位向量：模不为0的向量通常称为__________，特别地，把长度或模等于__________的向量称为单位向量.
（3）相等向量：大小__________且方向__________的向量称为相等向量.向量a与b相等，记作.
注：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
13．向量的平行或共线：
平行向量或共线向量：方向__________或__________的非零向量称为平行向量，也称为共线向量.向量a平行于b，记作.规定__________向量平行于任何向量.
14．与向量方向相同的单位向量的坐标是__________.
15．向量的定义与表示：
（1）定义：我们把既有__________又有__________的量称为向量（也称为矢量）.
（2）向量的模：向量的__________也称为向量的长度或模.
（3）表示方法：
①几何表示法：
我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的__________表示向量的大小，有向线段__________所指的方向表示向量的方向.而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的__________（或起点），带箭头的端点称为向量的__________.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示向量，可以用符号简记为__________，此时向量的模用__________表示.
②字母表示法：
除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个__________字母来表示向量：在印刷时，通常用__________的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用__________的小写字母如__________等来表示向量.此时向量a的模也用或来表示.
注：向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.
四、解答题
16．已知D，E，F分别为各边AB，BC，CA的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量.
17．（例题）如图，已知四边形ABCD，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的什么条件？
18．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
19．如图，已知a是单位向量，求出图中向量b，c，d，e的模.
20．（例题）如图所示，找出其中共线的向量，并写出共线向量模之间的关系.
参考答案
1．答案：A
解析：，
所以与同方向的单位向量为
，
故选A.
2．答案：A
解析：由题意可得，
则.
故选：A.
3．答案：D
解析：对于A,单位向量是模为1的向量,但方向是任意的;
把空间中所有的单位向量移到同一起点,则终点构成一个球面,故A错误;
对于B,因为零向量的方向无法确定,规定:零向量与任意向量平行,
所以当时,与不一定平行,故B错误;
对于C,向量不能比较大小,但向量的模是实数,可以比较大小,故C错误;
对于D,相等向量的方向相同、长度相等,因此向量相等具有传递性,故D正确.
故选:D.
4．答案：D
解析：对于A,单位向量是模为1的向量,但方向是任意的;
把空间中所有的单位向量移到同一起点,则终点构成一个球面,故A错误;
对于B,因为零向量的方向无法确定,规定:零向量与任意向量平行,
所以当时,与不一定平行,故B错误;
对于C,向量不能比较大小,但向量的模是实数,可以比较大小,故C错误;
对于D,相等向量的方向相同、长度相等,因此向量相等具有传递性,故D正确.
故选:D.
5．答案：A
解析：由于向量即有大小又有方向，
故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量.
故选：A
6．答案：A
解析：,
,
故.
故选:A.
7．答案：D
解析：对于A，，A错误，
对于B，若，则A，B，C，D四点
可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，B错误，
对于C，若平面向量与平面向量相等，
则与长度相等且方向相同，但起点不一定相同，C错误，
对于D，由，得与不共线，
可以作为平面内所有向量的一组基底，D正确，
故选：D.
8．答案：C
解析：
对于A，如图正方形中，若，，
则，但，故A错误；
对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误；
对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确；
对于D，如上图中，，但，故D错误.
故选：C.
9．答案：BC
解析：A：由图可知，，的起点为O，的起点为A，故A错误；
B：由，知，，都为单位向量，故B正确；
C：，故C正确；
D：，，方向不同，，
所以，，不为相等向量，故D错误.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：
11．答案：CD
解析：A选项，若，，满足，但不满足或，A错误；
B选项，在平行四边形中，，故B错误；
C选项，在中，若，
则A为钝角，故是钝角三角形，C正确；
D选项，取的中点D，连接，
则，又，故，
则点O是三角形的重心，D正确..
故选：CD
12．答案：（1）始点；终点；带箭头；；；不确定的
（2）非零向量；1
（3）相等；相同
解析：
13．答案：相同；相反；零
解析：
14．答案：
解析：因为，故与向量方向相同的单位向量坐标是.
故答案为：.
15．答案：（1）大小；方向
（2）大小
（3）①长度；箭头；始点；终点；；
②小写；加粗；带箭头；，，
解析：
16．答案：；；
解析：，E，F分别是各边的中点，
，，，，，，
；；.
17．答案：充要条件
解析：如果，那就表示这两个向量的方向相同而且大小相等，由图可知，
因此四边形ABCD为平行四边形.
反之，如果四边形ABCD为平行四边形，则，因此由图可知.
综上，“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.
18．答案：见解析
解析：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
19．答案：，，，
解析：因为a是单位向量，所以图中小正方形的边长为1；
所以，，
由勾股定理可知，，.
20．答案：见解析
解析：不难看出且，
且，
且.
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