2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.2 平面向量的运算（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.2 平面向量的运算
一、选择题
1．已知是,平面内两个不共线向量,,,,若三点共线,则k的值为( )
A.2 B. C. D.3
2．已知P是的外心,且,则( )
A. B. C.或 D.或
3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4．已知向量,若A,B,D三点共线,则( )
A. B.49 C.21 D.
5．已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B.0 C. D.2
6．若非零向量，满足，，则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
7．如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
8．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在平行四边形中，点E，F分别是边和的中点，P是与的交点，则有( )
A. B.
C. D.
10．如图,已知四面体,点E,F分别是的中点,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.若为的外心,且,则是等边三角形
B.若单位向量的夹角为,则当取最小值时,
C.已知单位向量满足,则
D.已知,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
三、填空题
12．在中，，P是直线上一点.若，则实数m的值为______________.
13．已知,是夹角为的两个单位向量,若向量在向量上的投影向量为,则_______________.
14．已知向量、满足，，且，则与的夹角________.
15．已知向量,的夹角为,,则________.
四、解答题
16．已知非零向量，满足，且，.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)设与的夹角为，求及的值.
17．已知平面向量满足,且.
（1）求;
（2）求与的夹角的余弦值.
18．已知，，向量与的夹角.
(1)若，求k的值；
(2)求.
19．已知,,.
(1)求；
(2)当k为何值时,与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值.
20．已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
参考答案
1．答案：A
解析：由向量,,,
可得,,
因为三点共线,则存在实数,满足,
即,可得,解得.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为P是的外心,所以,
由题知,两边平方得
即,即,
所以,则,
又由,得,
因为,则C与外心P在AB的异侧,即C在劣弧上,所以C为钝角,即.
故选：B.
3．答案：D
解析：，，
所以，不妨设，则，，
所以，故，
又，故与的夹角为.
故选：D
4．答案：D
解析：由,可得,
因A,B,D三点共线,则与共线,
故有,解得.
故选:D.
5．答案：D
解析：，
又，所以，则.
故选：D
6．答案：B
解析：设与的夹角为，
因为，所以，所以，
因为非零向量，满足，所以，
因为，所以，即，
故选：B
7．答案：D
解析：因为平行四边形中，E是的中点，
，，，
所以
.
故选：D.
8．答案：C
解析：设与的夹角为，由得，
所以，所以.
故选：C.
9．答案：AC
解析：如图所示：
对A，，
又，即，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，设O为与的交点，由题意可得：P是的重心，
故，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：A:因为,故A正确;
B:因为,故B正确;
C:因为,故C正确;
D:因为,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：ABC
解析：对于A:因为O为的外心,故,
因为,同理得
,
又,故,所以,
所以是等边三角形,故A正确;
对于B:由单位向量的夹角为,所以,
则,
当时,取最小值,故B正确;
对于C:由单位向量满足,故,两边平方得:
,解得,
又得,故
,
故C正确;
对于D:,要想与的夹角为锐角,
则,且,
即,且,解得:且,故D错误.
故选:ABC
12．答案：
解析：如图所示，
因为，所以，所以.
因为B，P，D三点共线，所以，解得.
13．答案：2
解析：由题意可得向量在向量上的投影向量为,
则得,解得.
故答案为：2.
14．答案：
解析：因为，则
，
所以，又因为，故.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为,所以,
.
故答案为:
16．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)，.
解析：(1)因为，
所以，故，
又，
所以，
(2)因为，
所以，又，
所以，
所以，
所以；
(3)因为，
所以，
因为，
又，，，
所以.
17．答案：（1）0
（2）
解析：（1）,整理得.
（2）,,
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
且向量与的夹角，
所以，
又，所以，
即，
即，解得.
(2)
.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)依题意,,
所以.
(2)若与垂直,
则,
解得.
(3),
设向量与的夹角为,
则.
20．答案：(1)
(2)1
解析：(1)，，
，，
，
令与的夹角为，
则，
则与的夹角为.
(2)，，
又与垂直，，
即，解得.
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