2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．设向量a与b的夹角为，定义.已知向量a为单位向量，，，则( )
A. B. C. D.
2．已知,点P在线段的延长线上,且,则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
3．已知平面内三点,,,则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．设向量，，若，则负数( )
A. B. C. D.
5．已知向量,且,则( )
A. B.7 C.12 D.
6．已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.3
7．已知向量,,,若,则( )
A. B. C. D.
8．已知向量,,则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题
9．已知非零实数a、b满足,则( )
A. B.
C. D.
10．已知向量,,则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.已知.若与的夹角为钝角,t的取值花围是
D.与夹角的余弦值为
11．已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.向量与的夹角为
C.若，则 D.
三、填空题
12．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示________.
13．已知向量,,若,则实数______.
14．已知向量,且,则________.
15．设为单位向量,且,与的夹角为,则的值为________.
四、解答题
16．如图,在空间直角坐标系中有长方体,,,.求:
（1）向量,,的坐标;
（2）,的坐标.
17．设数轴上两点A，B的坐标分别为3，，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段AB中点的坐标.
18．已知在数轴上A，B，C三点的坐标分别为1，7，.
（1）求，，的坐标和长度；
（2）若，求点D的坐标；
（3）若，求点E的坐标.
19．如图，在中，，E为线段的中点，且，x，y为实数，记，.
（1）请用和表示；
（2）求.
20．已知平面向量，，，且，
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，解得，又，所以，所以.故选C.
2．答案：D
解析：因为点P在线段的延长线上,且,所以,
设点,由,,可得,,
所以,
可得,解得,即点P的坐标为.
故选：D.
3．答案：C
解析：,
,,
所以向量在上的投影向量为.
故选：C.
4．答案：D
解析：若，则，
所以，所以，
因为，，所以，
化简得，解得（正根舍去）.
故选：D.
5．答案：A
解析：由题意,,又,故,
即,,解得.
故选:A
6．答案：D
解析：若,则,
因此可得,解得.
故选:D
7．答案：A
解析：因为,,
所以,
因为,,
所以,
所以,
故选:A.
8．答案：D
解析：因为,
所以,
即.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对A,令,则,故A错误;
对B,当,;
当;
当,;
故B正确;
对C,
,故C正确;
对D,,
且,,
,故D正确;
故选:BCD
10．答案：BD
解析：因为,
所以和不垂直,故A错误；
,
所以,故B正确；
因为与的夹角为钝角,
所以,
因为与不共线,所以不存在k使得,
所以,故C错误；
,故D正确.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：对于A，因为，则，故A不正确；
对于B，由题可得：，
因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确；
对于C，由于，，
则，解得：；故C正确；
对于D，由于，所以，故D错误；
故选：BC
12．答案：
解析：假设竖直向上的一个向量的起点与终点在网格的格点上，
且长度为最小正方形边长，那么，
所以有，那么.
故答案为：.
13．答案：1
解析：
14．答案：2
解析：由题意可得解得.
15．答案：4
解析：因为,所以,所以,
又因为为单位向量,与的夹角为,
所以,
故答案为:4.
16．答案：（1）,,
（2）,
解析：（1）由已知,
则,,;
（2）,
.
17．答案：（1）的坐标为，而且
（2）
解析：（1）由题意得的坐标为3，的坐标为，
又因为，
所以的坐标为，而且.
（2）设线段AB中点的坐标为x，则.
18．答案：（1）A，B，C三点的坐标分别为1，7，；长度，，
（2）1
（3）5或9
解析：（1）A，B，C三点的坐标分别为1，7，，
，；
，；
，.
（2）设点D的坐标为x，则，
，即点D的坐标为1.
（3）设点E的坐标为y，则，
解得或，即点E的坐标为5或9.
19．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由已知，
即，
所以；
（2）为线段的中点，
，
又，，
，
又，
所以，
即.
20．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设，，
，，又，，
，，
或，
或.
（2），，设与的夹角为.
故，，
在上的投影向量为.
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