2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.4 平面向量的应用（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.4 平面向量的应用
一、选择题
1．在中，已知，,，则( )
A.1 B. C. D.3
2．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边三角形，已知，，则( )
A. B. C. D.
3．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，满足，.由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为( )
A.346 B.373 C.446 D.473
4．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则面积为( )
A. B. C. D.
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知,，则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则( )
A. B. C. D.
7．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为，在B点测得A点的仰角为，则该建筑物的高约为（参考数据：，，）( )
A.268米 B.265米 C.266米 D.267米
二、多项选择题
9．中,已知,则( )
A.
B.可以取值为
C.取最大时,边上的中线长为
D.面积的最大值为3
10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向上，距离为，在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向上，距离为.货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向上，则下列说法正确的有( )
A.A处与D处之间的距离是
B.灯塔C与D处之间的距离是
C.灯塔C在D处的西偏南方向上
D.D处在灯塔B的北偏西方向上
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
三、填空题
12．如图,在中,,D,E是线段上的两个点,为正三角形,,则________.
13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边,已知,,则的周长为________.
14．如图所示,正方形的边长为,正方形边长为1,则的值为________.若在线段上有一个动点M,则的最小值为________.
15．已知在中，，，，点D在边BC上（不含端点），设，则的最小值为________.
四、解答题
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为，D为的中点，且.
（1）若，求；
（2）若，求b，c.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求的值.
18．已知在中，，.
（1）求；
（2）设，求边上的高.
19．已知分别为内角的对边,且
(1)求角；
(2)若,的面积为,求的值.
20．如图，在中，D是边上的一点，，.
(1)证明：；
(2)若D为的中点，，，，求三角形的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：结合余弦定理可得，
即，解得或（舍），故选D.
2．答案：B
解析：在中，，
又，则，设，则，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理得，
即，又，解得，则，
所以，故选B.
3．答案：B
解析：如图，过点C作，垂足为点D，过点D作，垂足为点E，
连接，过点B作，垂足为点F，则由题意可得，，，，
所以.
易得0，，，所以，.
在中，，在中，，
由正弦定理，得，
即.
又，
所以，
所以，故选B.
4．答案：C
解析：如图，取的中点为O，的中点为E，连接，，，
因为，所以.
因为四边形为正方形，的中点为O，的中点为E，
所以，.
又，所以平面.
因为平面，所以，所以，所以.
在中，，，，
由余弦定理得，，则.
在中，由余弦定理得，
则，
所以，故选C.
5．答案：A
解析：由，结合正弦定理，得，所以.
由余弦定理得，即，整理得，故选A.
6．答案：C
解析：由及正弦定理得，
又因为，所以，所以.
又因为，所以，又，所以，又，所以.故选C.
7．答案：D
解析：由正弦定理得，整理变形得，而，，所以.
因为，所以，则，令，则.
因为为锐角三角形，所以.
由正弦定理得，，
所以
.
而，则，
即，所以的取值范围为.故选D.
8．答案：C
解析：如图，分别过点B，C作，，垂足分别为F，D，过点D作，垂足为E.
根据题意易得，.
在中，由正弦定理得（米）.
在中，米，则8（米）；
在中，80米，则（米），
所以（米）.故选C.
9．答案：ACD
解析：对于A,在中,由及正弦定理,得,A正确;
对于B,,当且仅当时取等号,则,
因此不可以取,B错误;
对于C,由选项B得取最大值,此时,
则,C正确;
对于D,由余弦定理得,
解得,则的面积,而,
则,
解得,当且仅当时取等号,
所以面积的最大值为3,D正确.
故选:ACD
10．答案：AC
解析：在中，由已知得，，，
则，由正弦定理得，
所以A处与D处之间的距离为，故A正确；
在中，由余弦定理得，
且，，解得，所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；
因为，所以，灯塔C在D处的西偏南方向上，故C正确；
灯塔B在D处的南偏东方向上，即D处在灯塔B的北偏西方向上，故D错误.
故选AC.
11．答案：BC
解析：对于A，因为，，，
所以，所以只有一解，故A错误；
对于B，因为，，，
所以由正弦定理得，，
因为，所以，所以，
所以有两解，，故B正确；
对于C，因为，，，
所以由正弦定理得，
因为，，所以有两解，，故C正确；
对于D，因为，，，所以，，
所以只有一解，故D错误.故选BC.
12．答案：/
解析：设,则,
又为正三角形,所以,
则,又,
所以,则,
故,则,即,所以,即,
所以,
,即,
在中,,即,
解得,又,则为锐角,
所以.
故答案为:.
13．答案：/31.5
解析：在中,,
又,则,
设,则,
在中,由正弦定理得,解得,
在中,由余弦定理得,
即,
又,解得,则,所以的周长为,
故答案为:.
14．答案：6;
解析：
15．答案：
解析：由余弦定理：，
又，所以.
由正弦定理得：，，
设，，，
在和中分别使用正弦定理得
，，，，
两式相乘得，
则，所以.
注意到
，
且，所以，当且仅当，
即AD平分时，等号成立.所以的最小值为.
故答案为：
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为D为的中点，所以，
解得，所以，.
因为，所以.
在中，由余弦定理得，所以.
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以.
（2）因为D为的中点，所以.
在与中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得.
又，所以，即，
所以既是中线也是高线，所以为等腰三角形，
所以.
17．答案：（1）
（2）3
（3）
解析：（1）因为，所以由正弦定理得，
因为，，
所以，即，又，
所以.
（2）由（1）可知，，又，由余弦定理得即，，
又，
联立①②，可得
所以c的值为3.
（3）由（2）可知，，根据正弦定理，得，
所以.
又，即，所以，
则.
，
，
所以
.
18．答案：（1）
（2）6
解析：（1）在中，，
又，所以.
又因为，
即，所以.
又因为，，
所以，，
所以.
（2）在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，，，，
所以由正弦定理，可得，解得.
所以边上的高为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),
由正弦定理得,
所以
由于,所以,则,又,所以；
(2)由(1)得,,
由余弦定理得,
,
.
20．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）依题意，.
（2）由，得，为锐角，
由（1）及D为的中点，得，而，，
则，解得，因此，，
所以的面积.
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