2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.2 立体图形的直观图（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.2 立体图形的直观图
一、选择题
1．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6,侧棱长为2,则其高为( )
A. B.1 C. D.
2．如图所示,在四边形OABC中,,,,且,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为( )
A. B.5 C. D.
3．如图,已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图,,斜边,则这个平面图形的面积是( )
A. B.1 C. D.
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
5．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列描述错误的是( )
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B.的角的直观图会变为的角
C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
6．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A.12 B.28 C. D.20
7．如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B.1 C. D.
二、多项选择题
9．下列说法错误的有( )
A.平行四边形的直观图还是平行四边形 B.菱形的直观图还是菱形
C.梯形的直观图可能不是梯形 D.正三角形的直观图不一定是等腰三角形
10．有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），可以得到的图形的直观图是( )
A. B.
C. D.
11．已知是等腰直角三角形,,用斜二测画法画出它的直观图 ,则的长可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．知识点二水平放置的平面图形的直观图用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的轴和轴,使得它们正方向的夹角为______.
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与轴平行(或重合)的线段,且长度______.
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的______.
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
13．画轴
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的轴与轴,两轴相交于点,且使______,它们确定的平面表示______
14．立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形,立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点,且使______(或),它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中______,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的______.
[注意](1)画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积是原图形的倍,即
15．水平放置的平面图形的直观图的画法：
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于点,且使______,它们确定的平面表示
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中______,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的______.
四、解答题
16．斜二测画法画空间几何体直观图的基本步骤是什么？
17．我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体,依据这一点,如何作出长方体的直观图呢？
18．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
(3)长、宽、高分别为5cm,2cm,3cm的长方体.
19．用斜二测画法作出水平放置的圆的直观图.
20．用斜二测画法作出正方体的直观图.
参考答案
1．答案：B
解析：如图,延长正三棱台的三条棱,交于点P,
因为,,
则,作底面于O,连接,
则,故,故正三棱台的高为.
故选：B.
2．答案：C
解析：如图所示,为的直观图,根据斜二测画法的规则可知,,,平行于轴,该图形的面积为.
故选：C.
3．答案：A
解析：利用斜二测画法的定义,画出原图形,
由是等腰直角三角形,,斜边,得,
因此,,
所以原平面图形的面积是.
故选：A.
4．答案：B
解析：根据斜二测画法可知：平行不变,即原图中的平行,则直观图也平行,原图的相交,直观图中也相交,但相对应的角度会改变,,所以错误的是B
故选：B.
5．答案：B
解析：对于A,根据斜二测画法特点知,相交直线的直观图仍是相交直线,
因此三角形的直观图仍是一个三角形,故A正确；
对于B,的角的直观图会变为或的角,故B错误；
对于C,D,由斜二测画法的特点可知,C,D显然正确.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题设，易知，则，
故，，所以，
而，，所以原四边形的周长为20.
故选：D
7．答案：A
解析：由斜二测画法知，原四边形的高为，，
所以四边形的面积为.
故选：A
8．答案：D
解析：根据题意，可知是等腰直角三角形，
又，所以，故，
所以原平面图形的面积.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：由斜二测法画图可知原图中的平行关系在直观图中仍然平行,
原图中平行线段长度的比例关系在直观图中保持不变,
A:平行四边形的直观图为平行四边形,正确;
B:菱形的直观图应该是平行四边形,错误;
C:梯形的直观图仍然是梯形,错误;
D:正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°,其不为等腰三角形,错误.
故选:BCD.
10．答案：ABD
解析：
A项沿着和竖线剪开，沿中间线上翻得到.
B项和线剪开，和线剪开，沿中间线上翻得到.
C项四边形和四边形都被剪了，四边形和四边形位置冲突，所以不可能得到.
D项沿和剪开，沿中间线上翻，再沿线剪开，沿中间线下翻得到.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：以BC为轴,画出直观图,如图2,此时,
A正确,
以BC为轴,则此时,
则的长度范围是,
若以AB或AC为x轴,画出直观图,如图1,以AB为轴,
则,此时过点作于点D,则,
则,,
由勾股定理得：,C正确;
故选：AC.
12．答案：或；不变；一半
解析：
13．答案：(或)；水平面
解析：
14．答案：；保持原长度不变；一半
解析：斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使(或),它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
15．答案：(或)；长度不变；一半
解析：
16．答案：答案见解析
解析：斜二测画法的基本步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系xOy,直观图中画成斜坐标系,两轴的夹角为,轴水平；
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.
17．答案：答案见详解
解析：先作出底面的直观图,然后找一个与底面垂直的方向,将底面平移,就形成了长方体的直观图.
18．答案：(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
解析：(1)在已知正方形中,,取所在直线为轴(如图1(1)),
画出对应的,轴,使,,(如图1(2)),
即四边形即为正方形的直观图.
(2)仿照正方形的直观图的画法：
水平放置的梯形(如图2(1))的直观图(如图2(2)),
水平放置的平行四边形(如图3(1))的直观图(如图3(2)),
(3)先画出水平放置的长、宽分别为5cm,2cm的长方形的直观图,其中,,
再作垂直于平面,在轴上截取,进而补充出长方体即为直观图.
19．答案：见解析
解析：（1）如图（1），在上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在直线为x轴与y轴，将线段AB分成n等份，过各等分点分别作y轴的平行线，交于E、F、G、H……，画对应的轴和轴，使；
（2）如图（2），以为中点，在轴上取，在轴上取，
将分成n等份，分别以这些等分点为中点，画出与轴平行的线段，，…，使，，…….
（3）用光滑的曲线顺次连接，，，，…，，，，…，，并擦去辅助线，得到水平放置的圆的直观图，如图（3）.
20．答案：见解析
解析：设正方体的边长为a.步骤如下：建立斜二测坐标系（即夹角为），A与坐标原点重合，取，，，分别过B，D作，轴的平行线，相交于C.
过作，轴的平行线，取，，分别过，作，轴的平行线，相交于.连接，，，由此得出正方体的直观图如下图所示.
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