2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.3 简单几何体的表面积与体积（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、选择题
1．已知正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,则三棱锥的体积为( )
A. B. C.1 D.
2．若一个圆锥的底面半径为1,母线长为,则圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
3．三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形,高为4,则该三棱锥的体积为( )
A.4 B.6 C.12 D.24
4．长方体同一顶点上的三条棱长分别是2,3,4,则该长方体的表面积是( )
A.36 B.24 C.52 D.26
5．在正四棱台中, ,则该四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6．如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为,互相平行的两个侧面的距离为2m,则这个六棱柱的体积为( )
A. B. C. D.以上都不对
7．已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8．已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球心O到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是( )
A.球O的半径为 B.球O的表面积为
C.球O的内接正方体的棱长为 D.球O的外切正方体的棱长为
10．如图，某沙漏（由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成）由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部圆锥中时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的细沙，且细沙全部漏入下部圆锥中后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为
B.沙漏的体积是
C.细沙全部漏入下部圆锥中后所得圆锥形沙堆的高度约为
D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒（）
11．折纸是一种高雅的艺术活动，已知正方形纸片的边长为2，现将沿对角线旋转，记旋转过程中点D的位置为点P（不含起始位置和与B重合的情形），，，的中点分别为O，E，F，则( )
A.
B.的最大值为
C.旋转过程中，与平面所成角的正弦值的取值范围是
D.旋转形成的几何体的体积是
三、填空题
12．棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 S为棱柱的_______,h为棱柱的_______
棱锥 S为棱锥的_______,h为棱锥的_______
棱台 ,S分别为棱台的_______,h为棱台的_______
13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的体积为_______.
14．圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 _______ S为底面积,h是高,r是底面半径
圆锥 _______ S为底面积,h是高,r是底面半径
圆台 _______ ,S分别为上、下底面面积,h为高,,r分别是上、下底面半径
15．底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是_______.
四、解答题
16．某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知,,,,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元？
17．请你回顾长方体的体积公式.
18．设球的半径为R,你能类比圆的面积公式推导方法,推导出球的体积公式吗？
19．设圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r,圆柱、圆锥的高都是.求它们的体积之比.
20．观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式,它们之间有什么关系？
参考答案
1．答案：C
解析：正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,
棱柱的底面面积为：.
棱柱的体积为：.
由三棱锥的体积的推导过程可知：
三棱锥的体积为：.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为圆锥的底面半径为1,母线长为,
所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为,
故选：C.
3．答案：A
解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形,高为4,
所以该三棱锥的体积为,
故选：A.
4．答案：C
解析：由长方体同一顶点上的三条棱长分别是2,3,4,
则长方体中共顶点的三个面的面积分别为.
所以长方体的表面积为.
故选：C.
5．答案：B
解析：作出轴截面如图所示,过点作,垂足为E,
因为正四棱台中,
所以,,,即梯形为等腰梯形,
所以,,
所以,该四棱台的体积为.
故选：B.
6．答案：B
解析：设六棱柱的底面边长为a,高为h.
则,,,故,
.
故选：B.
7．答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为侧面展开图的圆心角为，所以，得，
所以圆锥的高为，
所以，，则.
故选：D
8．答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则,所以,
因为,所以,所以圆锥的高为,
则该圆锥的体积为,
故选:D.
9．答案：BD
解析：设球O的半径为r，外接圆的半径为R，则.
因为球心O到平面的距离等于球半径的，所以，即，得.
对于A，，故A错误；
对于B，球O的表面积，故B正确；
对于C，设球O的内接正方体的棱长为a，因为正方体的体对角线即球O的直径，所以，解得，故C错误；
对于D，设球O的外切正方体的棱长为b，因为正方体的棱长即球O的直径长，所以，故D正确.
故选BD.
10．答案：AC
解析：对于选项A，根据圆锥的截面图可知，当细沙全部在上部圆锥中时，
细沙的底面半径与圆锥的底面半径的比值等于细沙的高与圆锥的高的比值，
所以细沙的底面半径，
所以细沙的体积，A正确；
对于选项B，沙漏的体积，B错误；
对于选项C，设细沙全部漏入下部圆锥中后所得圆锥形沙堆的高度为，
根据细沙的体积不变可知，即，解得，C正确；
对于选项D，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的细沙，
所以该沙漏的一个沙时为（秒），D错误.
故选AC.
11．答案：ACD
解析：旋转过程中形成的是两个共底面的半圆锥，如图2，
A项，在半圆所在的平面上，半圆所在平面，所以，故A项正确；
B项，，
所以，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为4，故B项错误；
C项，如图2建系，则，，，，
点P在半圆上运动，在平面内，该半圆的方程为，
故可设，其中，
所以，
故，
由图可知是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，则
，
因为，所以，从而，
故C项正确；
D项，该旋转体的上下两部分可拼接成一个完整的圆锥，其底面半径和高都是，
所以其体积，故D项正确.
12．答案：底面积；高；底面积；高；上、下底面面积；高
解析：
13．答案：/
解析：设圆锥的半径为r,高为h,因为其面积为,故,解得,高为,故该圆锥体积为.
故答案为：.
14．答案：；；
解析：
15．答案：8
解析：如图所示：
,,
又,,
解得：,
所以棱柱的侧面积.
故答案为：8.
16．答案：484元
解析：因为四棱柱的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以该零部件上部的表面积.
又四棱台的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
所以该零部件下部的表面积.
于是该实心零部件的表面积,
又(元),
故所需加工处理费为484元.
17．答案：答案见解析
解析：长方体的体积等于长、宽、高的乘积.
18．答案：
解析：过球心作一平面把球分成两个半球,求得半球的体积,可求得球的体积,
用一组平行等距的平面把半球分成层,每一层都是近似小圆柱体,
这n个小圆柱的体积之和就是半球的体积,
设为第i个小圆柱体的底面半径,(从下往上数),因为每个小圆柱体的高都是,
所以有,
所以有,
即
,
所以,
所以,所以.
19．答案：
解析：因为,,,
所以.
20．答案：答案见解析
解析：
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