2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.5 空间直线、平面的平行（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.5 空间直线、平面的平行
一、选择题
1．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段上靠近A的三等分点，F为上一点，当平面时，( )
A. B. C. D.
2．如图,P平行四边形所在平面外一点,E为的中点,F为上一点,当平面时,( )
A. B. C. D.
3．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面BCD，，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的截面与AC交于点G，与BD交于点H，，若截面，且截面，四边形GEHF是正方形，则( )
A. B.1 C. D.2
4．已知直线m,n，平面，，若，，则直线m与n的关系是( )
A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面
5．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是( )
A. B.
C. D.
6．已知P为所在平面外一点，平面平，且交线段，，于点，，，若，则( )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25
7．如图,四棱柱中,四边形为平行四边形,E,F分别在线段,上,且,G在上且平面平面,则( )
A. B. C. D.
8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该正方体所得截面的面积为( )
A. B. C.4 D.5
二、多项选择题
9．已知一个正八面体如图所示，，则( )
A.平面
B.点D到平面的距离为1
C.异面直线与所成的角为
D.四棱锥外接球的表面积为
10．在四棱锥中，底面为梯形，，则( )
A.平面内任意一条直线都不与平行
B.平面内存在无数条直线与平面平行
C.平面和平面的交线不与底面平行
D.平面和平面的交线不与底面平行
11．E，F，G，H分别是正方体的棱，，，的中点，则( )
A.平面 B.
C.直线与直线相交 D.与平面所成的角大小是
三、填空题
12．如图,在三棱锥木块中,VA,VB,VC两两垂直,,点P为的重心,沿过点P的平面将木块锯开,且使截面平行于直线VC和AB,则该截面的面积为______.
13．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则________.
14．如图,在直角梯形中,,,,M,N分别是,的中点,将三角形沿折起.下列说法正确的是________.(填序号)
①不论D折至何位置(不在平面内)都有平面;
②不论D折至何位置(不在平面内)都有;
③在折起过程中,一定存在某个位置,使平面;
④当二面角的大小为时,四棱锥的体积取最大值.
15．已知直线a,b和平面,若,且直线b在平面内,则直线a与平面的位置关系是__________
四、解答题
16．如图1,在直角梯形中,,,,,,点M在上,且.将沿折起,使得平面平面,如图2.
（1）求四棱锥的体积;
（2）若点P在图2中线段上,且,证明:平面.
17．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，点E为的中点.证明：平面.
18．如图1所示，在四边形中，，E为BC上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥.
若平面平面，证明：.
19．如图，在正方体中，M为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若N为的中点，求证：平面平面.
20．如图,在四棱锥中,底面为正方形,E,F分别为,的中点,求证:直线平面.
参考答案
1．答案：B
解析：如图，连结，交于点M，连结，
因为平面，且平面，
平面平面，所以，
因为，且，所以，
即，所以.
故选：B
2．答案：D
解析：连接交于G,连接,
因为平面,平面,平面平面,
所以,所以.
又,E为的中点,
所以,
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：如图所示：
过EF的截面与AC交于点G，
与BD交于点H，则截面即为四边形GEHF，
又因为截面，平面，平面平面，
平面，平面平面，所以，
又截面，同理可得，，
因为在中，E为线段BC的中点，
所以线段GE是的中位线，
因为在中，F为线段AD的中点，
所以线段HF是的中位线，
所以点E，H分别是线段BC，BD的中点，
所以线段EH是的中位线，
所以，又四边形GEHF是正方形，
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：若，则内的直线与内的直线没有交点，
所以当，，则直线m与n的关系是平行或异面.
故选：D
5．答案：A
解析：A选项：
如图所示，由中位线性质可知，且平面，
则与平面不平行，A选项满足题意；
B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；
C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；
D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，
故选：A.
6．答案：D
解析：∵平面平面，平面平面，
平面平面，
，同理可得，
∴，
又，∴，
∴.
故选：D
7．答案：A
解析：
延长,连接,
由四边形为平行四边形可知,
则,即,
又平面平面,且平面平面,
平面平面,则,
又,所以,
由四棱柱可知,,
即,,
又,,
故选:A.
8．答案：B
解析：取的中点G，
连接，，，如图所示：
因为，所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面，即平面为所求截面.
所以，.
故选：B
9．答案：ABD
解析：将正八面体置于一个正方体中，
如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，
，则正方体的边长为2，
由图可知，，
因为平面，平面，
所以平面，A正确．
连接，由图可知，点D到平面的距离为，B正确．
由图可知，，则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，C错误．
四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，
故四棱锥外接球的表面积为，D正确．
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：如图，对于A，假设平面内存在直线与平行，则平面.
因为底面，底面平面，所以，
则四边形为平行四边形，与已知矛盾，故A正确.
对于B，因为平面与平面有公共点P，所以两平面存在过点P的一条交线l，
则在平面内，与直线l平行的所有直线均与平面平行，故B正确.
对于C，因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平行于平面与平面的交线m，又底面，所以底面，故C不正确；
对于D，若平面与平面的交线l与底面平行，
因为平面底面，平面底面，
所以，且，所以，与已知底面为梯形，矛盾，故D正确.
综上所述，选ABD.
11．答案：ABD
解析：对A，因为正方体中
且，故四边形为平行四边形，故.
又由中位线性质可得，且平面，
平面，故平面.故平面，故A正确；
对B，由A同理可得，，
故成立，故B正确；
对C，易得所在的平面为，
F显然不在平面内，故直线与直线异面，故C错误；
对D，由B，与平面所成的角
即与平面所成的角，即，易得为，故D正确；
故选：ABD
12．答案：
解析：由VA,VB,VC两两垂直,,
则可将三棱锥补形到正方体中,连接AP并延长,交VC于D,过P作VC平行线,交AV于E,交AC与F,过E作,交VB于H,过H作,交BC于M,连接MF,如图所示
因为,所以E、F、M、H四点共面,
因为,平面,平面,
所以平面,
因为,平面,平面,
所以平面,
则平面即为所求,
因为,平面,平面,
所以平面,
又平面,平面平面,
所以,
所以四边形为平行四边形,
又,,,平面VAB,
所以平面VAB,
所以平面VAB,
因为平面VAB,
所以,即四边形为矩形,
因为,
所以,
因为P为的重心,
所以,则,
同理可证,
所以,则,
所以矩形的面积为
故答案为:
13．答案：
解析：如图，在线段上取点H，使得.
连接，，，记，，
连接，因为直线平面，
且平面平面，
所以.
因为四边形是平行四边形，
所以M为线段的中点，则N为线段的中点.
因为，，所以，
所以，即.
因为N为线段的中点，所以E是线段的中点，
则，所以，则.
故答案为：
14．答案：①②④
解析：对于①,取的中点F,连接,,则,
平面,平面,所以平面,
又,平面,平面,平面,
且,可得平面平面.
又因为不论D折至何位置(不在平面内),
都有平面,所以平面,故①正确;
对于②,同理,不论D折至何位置,当点D在平面内时,显然有;
当点D不在平面内时,易证平面,故,故②正确;
对于③,若平面,则,所以.
所以.
故当时,不可能有,即不可能使平面,故③错误;
对于④,当平面平面时,四棱锥的体积最大.
此时,二面角的大小为,故④正确.
综上,正确的是①②④.
故答案为:①②④
15．答案：或.
解析：当时,由,得;
当时,满足题中条件.
综上,直线a与平面的位置关系是或.
故答案：或.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）如图:
取中点E,连接.
在中,,,所以,,且.
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
又梯形中,,
所以梯形面积为.
所以.
（2）过P作交于G,连接.
因为且,所以,
所以.
又,且,所以,且.
所以四边形为平行四边形,所以,
又平面,平面,
所以平面.
17．答案：证明见解析
解析：如图，取的中点M，连接，，为中点，
，又平面，平面，平面.
为等边三角形，，
，，，
，
，.
又平面，平面，平面.
，，平面，平面平面，
平面，平面.
18．答案：证明见解析
解析：连接，因为，，，
所以，，又，所以，
因为，，所以是等边三角形，所以，故.
又平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)如图：连接BD，设，连接OM，
∵在正方体中，
四边形是正方形，O是中点，
M是的中点，，
平面，平面，
平面.
(2)如图：连接，NB，
N为的中点，M为的中点，
，又，
∴四边形为平行四边形，，
又平面，
平面，平面
由(1)知平面，
，平面，
平面，
∴平面平面.
20．答案：证明见解析
解析：取的中点G,连接AG,FG.
因为F为的中点,所以且,
因为底面为正方形,E为中点,所以且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以直线平面.
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