2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.6 空间直线、平面的垂直（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.6 空间直线、平面的垂直
一、选择题
1．已知平面过点，，，点在平面外，则点P到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2．已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于E，F两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为( )
A. B. C. D.
3．如图,矩形中,,,F是线段上一点且满足,E是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:( )
A. B. C. D.
4．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．直三棱柱中，，M、N分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7．在直三棱柱中,,分别是的中点,,则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成,其中,,D是的中点,将,,折起,使A、B、C三点重合于点P,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足的是( )
A. B.
C. D.
10．在正三棱柱中,D为BC的中点,则( )
A. B.平面
C. D.平面
11．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一动点H，它到平面，，的距离分别为，，，E，F分别在，上，且，，则下列结论正确的是( )
A.若a为定值，则为定值
B.若，则
C.存在点H，使得，，成等比数列
D.存在，使得，，成等差数列
三、填空题
12．二面角的平面角
在二面角的棱上任取一点O,O为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB,则_______称为二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,即二面角大小等于它的_______大小.特别地,平面角是直角的二面角称为_______.
并约定,二面角及其平面角的范围是_______.两个平面相交时,它们所成角的大小范围是_______.
13．如图,已知,均为正方形,二面角的大小为,则异面直线与所成角的余弦值为________.
14．已知空间中的三个点,,,则点A到直线的距离为________.
15．已知空间直角坐标系中的点,则点C到直线的距离为__________.
四、解答题
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点E在棱上，且满足.
(1)求四棱锥的高；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面夹角的正弦值.
17．如图,是的直径.与所在的平面垂直,,C是上的一动点（不同于A,B）,M为线段的中点,点N在线段上,且.
（1）求证:;
（2）当时,求直线与直线所成角的余弦值.
18．如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
（1）证明:平面平面;
（2）当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值.
19．如图,在三棱锥中,,M,N分别为棱,的中点,平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
20．如图所示，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：，，，
设为平面的一个法向量，
则由得，
令，则，，，
则点P到平面的距离为.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题可知，等腰梯形中，且，.
分别取棱，的中点M，N，连接，则.
连接，.则，.所以.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
因为平面平面，
过点P作，垂足为Q，则平面.
因为平面平面，所以平面过，
即E，F，Q三点共线.连接，.
易知，，.
，
.所以.
又.
如图以点M为坐标原点，，所在直线为x，y轴，
过M垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
所以，.
设平面的一个法向量.
则，所以，
所以，令，则.
设，因为，
所以，
设平面的一个法向量.
因为，，
所以，所以.
令，则.
所以.
所以.
当时，；
当时，
.
因为，所以，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为.
故选：C.
3．答案：A
解析：如图,
过B作,在中,由,可得.
由等积法可得,则
平面平面,且,可得平面
.
画出底面平面图:
在,由余弦定理可得:
,故
结合图像可知:
,可得:
,
可得┄①
过O作,垂足为G,连接,
则为平面与平面所成的锐角.
O到的距离,
由底面图像可知:
即┄②
由①②可得:
,,都是锐角,根据正切函数单调性可知:
故选:A.
4．答案：A
解析：如图，
设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，，，以O为原点，
分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
，
又异面直线所成角的范围为，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意可知平面，且，以点C为坐标原点，
、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，
则、、、，
，，
.
故与所成的角的余弦值为.
故选：C.
6．答案：C
解析：以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
7．答案：A
解析：以C为坐标原点,以所在直线分别为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系,
如下图所示:设,则,,,,
可得,
设直线与所成的角为,
则,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
8．答案：D
解析：由题意可知形成三棱锥,如图:
取的中点M,连接,,过点P作于点O,连接,
因为,所以,,,
平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面,
又平面平面,,平面,所以平面,
故为与平面所成角,
又,,,平面,所以平面,
又平面,所以,且,
因为,所以,又,
所以,在直角三角形中,,
所以与平面所成角的正弦值为.
故选:D
9．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2,
对于A,如图（1）所示,连接,则,
故（或其补角）为异面直线所成的角,
在直角三角形,,,故,
故不成立,故A错误.
对于B,如图（2）所示,取的中点为Q,连接,,则,,
由正方体可得平面,而平面,
故,而,故平面,
又平面,,而,
所以平面,而平面,故,故B正确.
对于C,如图（3）,连接,则,由B的判断可得,
故,故C正确.
对于D,如图（4）,取的中点Q,的中点K,连接,
则,
因为,故,故,
所以或其补角为异面直线所成的角,
因为正方体的棱长为2,故,,
,,故不是直角,
故不垂直,故D错误.
故选:BC.
10．答案：BD
解析：法一:对于A,在正三棱柱中,平面,
又平面,则,则,
因为是正三角形,为中点,则,则
又,
所以,
则不成立,故A错误;
对于B,因为在正三棱柱中,平面,
又平面,则,
因为是正三角形,D为中点,则,,
又平面,
所以平面,故B正确;
对于D,因为在正三棱柱中,
又平面平面,所以平面,故D正确;
对于C,因为在正三棱柱中,,
假设,则,这与矛盾,
所以不成立,故C错误;
故选:BD.
法二:如图,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底边为2,高为h,
则,
对于A,,
则,
则不成立,故A错误;
对于BD,,
设平面的法向量为,
则,得,令,则,
所以,,
则平面,平面,故BD正确;
对于C,,
则,显然不成立,故C错误;
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：正四面体的高为.
对于A，如图，连接，，，，将该四面体分割成三个三棱锥，
则，
即，
所以，
所以，故A正确.
对于B，由A选项及题意知，解得，所以，B不正确.
对于C，当H是的中心时，，，，成等比数列，故C正确.
对于D，因为，，所以若，则，
即，设H到，，的距离分别为，，，
则，又平面、平面、平面与平面所成角相等，
所以，所以，，成等差数列，故D正确.
故选ACD.
12．答案：射线OA和OB所成的角(或)；平面角；直二面角；；
解析：
13．答案：/
解析：解法一:根据题意可知,即为二面角的平面角,所以,
设正方形与边长均为1,异面直线与所成的角为.
因为,,,,
所以
,
所以,即.
解法二:不妨假设正方形与的边长均为2,
如图,补形成直三棱柱,以中点O为原点,建立空间直角坐标系,
则有,,,,由此可得,,
设异面直线与所成的角为,则.
故答案为:
14．答案：/
解析：由题意知,,
所以,
得,,
所以点A到直线BC的距离为
.
故答案为:
15．答案：
解析：由题意设为三角形的边上的高,而,
因为A,B,D三点共线,
设,
因,所以,解得,
所以,所以点C到直线的距离为.
故答案为:.
16．答案：(1)3
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）因为底面为矩形，，，
则，
设P到底面的距离为h，
，
故四棱锥的高为3.
（2）取中点O，连接，
为等边三角形，且，，
平面，又平面，，
又，，平面，平面，
平面，平面平面.
（3）因为平面，底面为矩形，且，
如图，以O为原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
设平面的一个法向量，
，取，得，
设直线与平面的夹角为，
.
故直线与平面的夹角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面,平面,所以,
因为是的直径,所以,
又,且,平面,所以平面.
又因为平面,所以.
因为,且,,平面,所以平面,
因为平面,所以.
故.
（2）解法一:因为,所以在等腰直角三角形中,,得.
又在直角三角形中,,得.
因为为等腰直角三角形,M为的中点,且,得,所以,
取的中点为S,连接,则,且,
所以为异面直线与所成的角或其补角,
在中,,,所以,
在中,,,,所以,
故直线与直线所成角的余弦值为.
解法二:当时,,O,M分别是和的中点,所以.
又与所在的平面垂直,所以平面,平面,所以.
此时,,两两垂直.
分别以所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图:
得,,,,
故,.
则,
故直线PC与直线AM所成角的余弦值为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）［方法一］:【最优解】判定定理
由题设知,平面平面ABCD,交线为CD.因为,平面ABCD,所以平面CMD,故.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以.
又,所以平面BMC.而平面AMD,故平面平面BMC.
［方法二］:判定定理
由题设知,平面平面ABCD,交线为CD.因为,平面ABCD,所以平面,而平面,所以,因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以.又,所以,平面,而平面,所以平面平面.
［方法三］:向量法
建立直角坐标系,如图2,设,
所以,
设平面的一个法向量为,所以,即,
取平面的一个法向量,
同理可得,平面的一个法向量,因为点M在以为圆心,半径为1的圆上,所以,,即,而,所以平面平面.
（2）［方法一］:【通性通法】向量法
以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
当三棱锥体积最大时,M为的中点.
由题设得,
设是平面MAB的法向量,则即,可取.
是平面MCD一个法向量,因此,,
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
［方法二］:几何法（作平行线找公共棱）
如图3,当点M与圆心O连线时,三棱锥体积最大.过点M作,易证为所求二面角的平面角.在中,,即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
［方法三］:【最优解】面积射影法
设平面与平面所成二面角的平面角为.
由题可得在平面上的射影图形正好是.
取和的中点分别为N和O,则可得,,所以由射影面积公式有,所以,即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
［方法四］:定义法
如图4,可知平面与平面的交线l过点M,可以证明.分别取的中点O,E,联结,可证得直线平面,于是平面,所以,故是面与面所成二面角的平面角.
在中,,则,所以,即面与面所成二面角的正弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)由于分别为棱的中点,故,
又平面,且平面,
所以平面；
(2)由于平面,且平面,故,
又,且M为棱的中点,故,
因为,平面,
故平面,
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：如图以C为坐标原点，、、分为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令则，
设平面的法向量为，
则，即，令则，
因为，所以，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
显然平面的法向量可以为，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.
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