2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 10.1 随机事件与概率（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 10.1 随机事件与概率
一、选择题
1．从字母a、b、c、d中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为( )
A. B. C. D.
2．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.59,摸出的球是红球或黑球的概率为0.74,则摸出的球是红球的概率为( )
A.0.47 B.0.43 C.0.33 D.0.26
3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为( )
A. B. C. D.
4．如果事件A,B互斥,且事件C,D分别是A,B的对立事件,那么( )
A.是必然事件 B.是必然事件
C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
6．已知随机事件A和B互斥,且,,则等于( )
A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.2
7．某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
02,93,12,25,85,69,68,34,31,45,73,93,28,75,56,35,87,30,11,07
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为( )
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
8．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．某次数学考试的一道多项选择题，要求是“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的有( )
A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C.丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
10．掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中，正确的是( )
A. B. C. D.
11．同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”.则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．把3个红球和33个白球随机排成一圈,则连续排列的白球个数不超过13个的概率是________
13．已知事件A与B互斥,且,,则________.
14．已知，，，则________.
15．盒中有3个大小质地完全相同的球,其中2个白球、1个黑球,从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为_____________．
四、解答题
16．某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出1个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色）.设两次记录的颜色分别为α，b.奖励规则如下：
①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；
②若两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；
③其余情形获得鼓励奖.假设小球除颜色外其他都相同.
(1)求此人获得一等奖的概率；
(2)比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由.
17．小张、小胡两位小朋友玩游戏,两人轮流从装有编号为1,2,3,4,5的5个球的口袋中有放回的摸出一个小球,规定两人谁摸出的球的数字大,谁就获胜,数字相同则为平局.
(1)求两人平局的概率；
(2)玩了几局游戏后,小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球,若他们这次摸出的数字之和为偶数,则小胡获胜,否则小张获胜.”,请问：这个规则是否对小胡有利？
18．已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为，，）和1个红色小球（记为B），乙盒中是2个黑色小球（记为，）和2个红色小球（记为，）．
(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果；
(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率．
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下：若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
(1)若,用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值；
(2)记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,集合中元素的最小值为,规定团队人数,求n.
20．某省从2021年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知某大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得基本事件有,,,,,,共种情况；
符合题意的基本事件有,,,共3种情况.
故选：A.
2．答案：C
解析：根据题意,设摸出红球的概率为,摸出白球的概率为,摸出黑球的概率为,
所以,,且,
所以,,
,
解得:,
故选:C.
3．答案：D
解析：所有基本事件有个，x和y从3，6选共有4个，
x和y从1，4选1个，从2，5选1个，共有8个，
所求概率为，故选D.
4．答案：B
解析：由于事件A与B互斥,
,
则(U为全集),
是必然事件.
故选:.
5．答案：B
解析：设事件A为不用现金支付,
则
故选：B.
6．答案：B
解析：因为A和B互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选:B.
7．答案：B
解析：因为1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心,
所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示:随机数组中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个;
它们分别是02,93,25,45,73,93,28,35,30共9个,
即满足条件的基本事件数有9个,总的事件数有20个,
所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为.
故选:B.
8．答案：C
解析：从分别写有1,2,3,4的4张卡片中无放回随机抽取2张,
样本空间包含,,,,,共个,
抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为,个数,
则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：甲同学仅随机选一个选项，包含的样本点为A，B，C，D，
事件“能得2分”包含的样本点为C，D，故“能得2分”的概率为，A正确；
乙同学仅随机选两个选项，包含的样本点为，，，，，，
事件“能得5分”包含的样本点为，故“能得5分”的概率为，B正确；
丙同学随机至少选择一个选项，选择一项或选择两项共包含10个样本点，
选择三项或全选，包含的样本点为，，，，，
事件“能得分”包含的样本点为C，D，，故“能得分”的概率为，C正确；
丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知，样本点共有11个，
事件“能得分”包含的样本点为，故“能得分”的概率为，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：由题知，掷两枚硬币有正正，反反，正反，反正，共4个基本事件，，，，，.故选BC.
11．答案：BCD
解析：设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，
样本点为，
则样本空间为，则，
事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，
，
所以，故A错误；
事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，
所以，故B正确；
事件C表示“两枚骰子的点数相同”，
，
所以，故C正确；
事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：
如图,位于红球之间的白球个数记为,
故满足方程的解共有组,
满足时的解有以下情形:
①若时,有,
,共7种;
同理,时,有7种;时,有7种,
去掉重复的共有18种,
②若时,有,共4种;
同理,时,有4种;时,有4种,去掉重复的共有9种,
③若,有,此时只有1种,
④若,有,与前面重复,舍去,
⑤若,有,与前面重复,舍去,
⑥若,有,与前面重复,舍去,
⑦若,有,与前面重复,舍去,
⑧若,不存在,
共有种,
连续排列的白球个数不超过13个的概率是.
故答案为:.
13．答案：0.82
解析：因为事件A与B互斥,所以,
所以.
故答案为:0.82.
14．答案：0.6
解析：由，可得，所以，
所以.
故答案为：0.6
15．答案：
解析：记1个黑球为A,2个白球分别为a,b,现从中不放回地依次随机摸出2个球,
则可能结果有,,,,共6种情况,
其中恰好摸出一个白球一个黑球的有,共4种情况,
所以恰好摸出一个白球一个黑球的概率.
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率，理由见解析
解析：(1)依题意得样本空间为｛（红，红），
（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（黄，红），
（黄，黄），（黄，蓝），（黄，绿），（蓝，红），
（蓝，黄），（蓝，蓝），（蓝，绿），
（绿，红），（绿，黄），（绿，蓝），（绿，绿）｝，共有16个样本点，
其中有红色的样本点有7个，
所以此人获得一等奖的概率为.
(2)由(1)得两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色的样本点有5个，
则此人获得二等奖的概率为，
获得鼓励奖的概率为，
故此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率.
17．答案：(1)
(2)是
解析：(1)两人有放回的摸出一个小球,
总的情况有：,
,
,共25种情况,
其中两人平局的情况有：,共5种情况,
所以两人平局的概率为.
(2)由(1)知,两人有放回地摸出一个小球,共25种情况,
小胡获胜的情况有：,共13种情况,
则小张获胜的情况有12种情况,
所以小胡获胜概率为,则小张获胜的概率为,
显然,这个规则对小胡有利.
18．答案：(1)种，答案见解析
(2)
解析：(1)共16种不同结果，总体记为，
则,
．
(2)记“取出的2个小球中至少有一个是黑色”，
则,
，
故．
19．答案：(1)
(2)7
解析：(1)依题意,X的所有可能取值为1,2,,3,
,
,
,
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
数学期望.
(2)令,,若前位玩家都没有通过第一关测试,
其概率为,
若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试,
则前面位玩家无人通过第一关测试,其概率为,第i位玩家通过第一关测试,
但没有通过第二关测试,其概率为,
第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试,其概率为,
所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
,
因此第k位成员闯过第二关的概率,
由,得,解得,则,所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间，.
设M：“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”，
则，，
.
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，
由题意知事件，，相互独立，由（1）知.
记N：“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”，
则.
易知事件，，两两互斥，
则根据互斥事件概率加法公式得
.
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