2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 10.2 事件的相互独立性（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二课时作业 10.2 事件的相互独立性
一、选择题
1．已知事件A，B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.0
2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为( )
A.0.26 B.0.98 C.0.72 D.0.9
3．公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是( )
A. B. C. D.
4．将一颗骰子先后郑两次,甲表示事件“第一次向上点数为1”,乙表示事件“第二次向上点数为2”,丙表示事件“两次向上点数之和为8”,丁表示事件“两次向上点数之和为7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
5．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为,,若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响,则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为( )
A. B. C. D.
6．投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A.0.24 B.0.48 C.0.84 D.0.94
7．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分.先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束.若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8．依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子两次,设事件“第一次出现的点数是奇数”,“第一次出现的点数是1”,“两次的点数之和为奇数”,“两次的点数之和为7”,则下列结论错误的是( )
A.A与N相互独立 B.B与M相互独立
C.B与N相互独立 D.M与N相互独立
二、多项选择题
9．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则( )
A.甲队获胜的概率为 B.乙队以获胜的概率为
C.乙队以获胜的概率为 D.乙队以获胜的概率为
10．设样本空间含有等可能的样本点,且,,.则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11．记A，B为随机事件，则下列说法正确的有( )
A.若事件A，B互斥，，，则
B.若事件A，B相互独立，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
三、填空题
12．已知事件A，B互相对立，且，则_____.
13．已知，，若A，B相互独立，则___________.
14．已知A，B，C，3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为___________.
15．设事件A与B相互独立,,,则______,______.
四、解答题
16．甲 乙 丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲 乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求比赛四场结束且丙获胜的概率；
(2)求甲最终获胜的概率.
17．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次《未成年人保护法》知识竞赛，规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
（2）若，且每轮竞赛结果互不影响，如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得9次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
18．甲、乙两个人进行射击训练，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是.
（1）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（2）两人各射击两次，中靶至少三次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．
20．某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是，，.
(1)求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；
(2)求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：因为事件A，B相互独立，所以.
2．答案：C
解析：甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，
显然甲中靶的事件与乙中靶的事件相互独立，
所以甲乙两人都中靶的概率为.
故选：C.
3．答案：D
解析：由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第4站下车的概率为.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意知,,,,
由于,所以甲与丁相互独立.
故选:B
5．答案：A
解析：依题意,甲、乙分别去完成这项任务相互独立,
则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为,
故选：A.
6．答案：C
解析：依题意，该同学两次投篮都不中的概率为，
所以该同学通过测试的概率为.
故选：C
7．答案：A
解析：按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：
（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为1，则甲班经过7局比赛获胜的概率.
（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为2，则甲班经过7局比赛获胜的概率.
（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为3，则甲班经过7局比赛获胜的概率.
（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为4，则甲班经过7局比赛获胜的概率.
所以所求概率.故选A.
8．答案：D
解析：由题意,
当两次分别为3,4或1,6或2,5时,两次的点数之和为7,
所以,
对A,,所以,
即A与N相互独立,故A正确;
对B,,,所以,故B正确;
对C,,所以,故C正确;
对D,,,所以,故D错误.
故选:D
9．答案：AB
解析：对于A，在乙队以领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，乙队以获胜，即第三局乙队获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以获胜，即第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局甲队获胜，所以乙队以获胜的概率为，故D错误.故选AB.
10．答案：ABD
解析：由题意得,
则,,
所以,,,
,
故选:ABD
11．答案：BC
解析：
选项 分析过程 正误
A ，而，， ×
B √
C 令，则，又，，又，，，解得 √
D 由C知，， ×
12．答案：
解析：由题意事件A，B互相对立，且，
可得：且，可得，
故答案为：.
13．答案：0.35
解析：因为，，且A，B相互独立，
所以.
故答案为：.
14．答案：0.981
解析：3人中至少有2人命中10环即2人命中10环或3人命中10环，
故所求概率，
故答案为：0.981.
15．答案：0.36;0.94
解析：因为事件A与B相互独立,所以,
又.
故答案为:0.36;0.94
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，
比赛四场结束且丙获胜的事件为M，
则；
（2）设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，
甲最终获胜事件为N，
则
.
17．答案：（1）
（2）少要进行19轮竞赛
解析：（1）由题可知，所有可能的情况如下：
①甲答对1题，乙答对2题，其概率；
②甲答对2题，乙答对1题，其概率；
③甲答对2题，乙答对2题，其概率.
故所求概率.
（2）他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率
，
因为，，，
所以，，
所以，，，
由基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
所以，
令，，则，，
所以当吋，.
设他们小组在n轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，则.
由，得，所以理论上至少要进行19轮竞赛.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）完成目标共分三种情况：
甲不中且乙中，概率为；
甲中且乙不中，概率为；
甲、乙全中，概率为.
因此，所求概率是.
（2）分以下两类情况：
共击中三次，概率为；
共击中四次，概率为.
因此，所求概率为.
19．答案：(1)0.75
(2)0.43
解析：(1)记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
(2)应聘者用方案二选择任意两科的概率为，
考试通过的概率：
.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）设事件D为李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试.
由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为，
所以.
（2）方法一：设事件E为李明第一环节通过面试，
则.
设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：
A题错B题错C题错，A题错C题错B题错，
B题错A题错C题错，B题错C题错A题错，
C题错A题错B题错，C题错B题错A题错.
所以.
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.
方法二：设事件E为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：
A题错B题对，A题错C题对，B题错A题对，
B题错C题对，C题错A题对，C题错B题对.
所以.
设事件为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下：
A题错B题错题对，B题错A题错C题对，
A题错C题错B题对，C题错A题错B题对，
B题错C题错A题对，C题错B题错A题对.
所以.
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.
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