2025-2026学年高中数学人教A版必修二单元测试 第九章 统计（含解析）

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2025-2026学年高中数学人教A版必修二单元测试 第九章 统计
一、选择题
1．某校高一生物兴趣小组准备研究血型与个性的关系,小组成员经过学校同意获得了该校高一年级2000名学生的血型数据（隐藏了其它个人信息）,经过数据的整理绘制如图所示的饼图,兴趣小组决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为150的样本,则从高一年级AB型血的学生中应抽取的人数是( )
A.12 B.18 C.24 D.36
2．样本数据2,8,14,16,20的第60百分位数是( )
A.14 B.15 C.16 D.18
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设1粒米与1粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ).
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
4．样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
5．立德中学高三某班有男生30人,女生20人.在某次数学定时练习中,男生的平均分为80分,女生的平均分为85分,则该班本次数学成绩的平均分为( )
A.80 B.81 C.82 D.83
6．如图所示,下面是出口,上面是进口,哪个进出口贸易总额不对( )
A.从2018年开始后,图表中最后一年增长率最大;
B.从2018年开始后,进出口总额逐年增大;
C.从2018年开始后,进口总额逐年增大;
D.从2018年开始后,图表2020年增长率最小.
7．样本:80,90,100,100,110,120的中位数是( )
A.95 B.100 C.105 D.110
8．已知一组数据的分位数为3,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
9．某高中举行的数学史知识答题比赛,对参赛的名考生的成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为,,,,,,若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值,则下列说法正确的有( )
A.考生参赛成绩的平均分约为72.5分
B.考生参赛成绩的第75百分位数约为81.5分
C.分数在区间内的频率为0.15
D.用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本,则成绩在区间应抽取人
10．下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( )
A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数
11．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法正确的有( )
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
三、填空题
12．若一组数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差______________．
13．某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为n的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____.
14．这5个数据181，182，183，184，185的方差为_____.
15．某校元旦文艺汇演中,有八位评委对一舞蹈节目评分,该节目得分依次为80,85,91,90,90,93,92,95,则这组数据的第70百分位数为________.
四、解答题
16．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于和之间,将测量结果按如下方式分成八组：第一组,第二组,…,第八组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求两名男生在同一组的概率.
17．用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生数学成绩（满分为100分,成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组:,,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）由频率分布直方图,求出图中t的值;
（2）为了进一步分析学生的成绩,按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,再从中抽取2人,求这2人中男生女生各1人的概率;
（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40,求总样本的平均数和方差.
18．某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图.
(1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用X表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望.
19．某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数.
（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数.
（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
20．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15~65岁的人群进行了随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中,会使用移动支付的共有n个人,把这n个人按照年龄分成5组：第1组为,第2组为,第3组为,第4组为,第5组为,然后绘制成如图所示的频率分布直方图,其中,第1组的频数为20.
(1)求n和x的值：
(2)从第1,3,4组中用分层随机抽样的方法抽取6人,求分别从第1,3,4组中抽取的人数；
参考答案
1．答案：B
解析：高一年级AB型血的学生占高一年级学生总体的12%,
所以抽取一个容量为150的样本,AB型血的学生中应抽取的人数是人.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,所以这组数据的第60百分位数是.
故选：B.
3．答案：B
解析：设这批米内夹谷约为x担，由，得.
4．答案：B
解析：将这些数据从小到大排列可得:10,12,14,14,16,20,24,30,40,
则其中位数为16.
故选:B.
5．答案：C
解析：由题意可知,该班本次数学成绩的平均分为分.
故选：C.
6．答案：C
解析：根据图象可以发现:2018年到2019年进口总额是降低的,故C错误.
故选:C
7．答案：B
解析：由题意得样本的中位数为.
故选:B.
8．答案：C
解析：若,则其分位数为；
若,则分位数为；若,则分位数为；
若,则分位数为；
若,则分位数为,
综上,.
故选：C.
9．答案：AC
解析：A:由频率分布直方图可知考生的平均成绩为
,故A正确;
B:因为,,
所以考生参赛成绩的第75百分位数位于区间,则第75百分位数为,故B错误;
C:分数在区间内的频率为,故C正确;
D:在区间应抽取,故D错误.
故选:AC.
10．答案：BCD
解析：可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为平均数、中位数、众数；
方差反映的是总体数据的离散程度.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高一年级的人数为，高二年级的人数为，则高一年级应抽取的人数为，高二年级应抽取的人数为，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；
乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；
该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确.故选ABD.
12．答案：
解析：由题意可得：,解得,
该组数据的方差
故答案为：．
13．答案：12
解析：样本容量为.
14．答案：2
解析：平均数，方差.
15．答案：92
解析：这组数据从小到大排列为80,85,90,90,91,92,93,95,
,所以这组数据的第70百分位数是第6个数据,即92.
故答案为:92
16．答案：(1)0.06.
(2)平均数为174.1,中位数为174.5；
(3)
解析：(1)第七组频率为；
(2)平均数为,
前4组的频率和为,第4组频率为0.2,中位数在第4组,
设中位数为x,
则,解得；
(3)由频率分布直方图知第六组有4人,第八组有2人,把它们分别编号为,
任选2人,样本空间为,有15个样本点,
其中两名男生在同一组的样本点为共7个
所以所求概率为.
17．答案：（1）
（2）
（3）平均数和方差分别为68和105.1
解析：（1）由图形可得,解得.
（2）男生成绩数据40个,女生成绩数据60个,按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,
则抽取男生人数为,女生人数为3人,
设男生为A,B,女生为a,b,c,
抽取两人的情况为:,共10种,
再从中抽取2人,这2人中男生女生各1人的情况为:
所以概率为.
（3）设男生成绩样本平均数为,方差为,
女生成绩样本平均数,方差为,总样本的平均数为,方差为,
.
.
所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1.
18．答案：（1）29；
（2）分布列见解析，
解析：（1）
，故均值为29.
（2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为p，
则，
则，，
；；
；；
.
列出X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401
.
19．答案：（1）
（2）182
（3）
解析：（1）设样本平均数的估计值为，
则，所以样本平均数的估计值为62.
设第40百分位数为x，则，.
（2）因为学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，，
所以，所以.
所以估计能参加复试的人数为.
（3）由该生获一等奖的概率为可知，，
则.
令，，
则，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以P的最小值为.
20．答案：(1),
(2)2,3,1
解析：(1)根据频率分布直方图可知：,解得.
根据第1组的频数20和频率0.020,可得：.
(2)根据频率直方图可知,第1,3,4组的频率之比为,总份数
,则从第1组抽取人数为,从第3组抽取人数为,
从第4组抽取人数为.
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