北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一上学期12月统练数学试卷(图片版,含答案)

2025北京人大附中朝阳学校高一 12 月月考
数 学
20251203
一.选择题
0.1 3 c = log 0.2
1. 已知 a = 3 ，b = 2 ， 3 ，则 a，b， c的大小关系为（ ）
A. a b c B. b a c C. b c a D. c b a
1 1
2. 在平面直角坐标系 xOy中，角 以Ox为始边，终边经过点 A , ，则 sin =（ ）
2 2
1 1 2 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3. 已知扇形的周长为 16cm，圆心角为 2rad，则该扇形的面积为（ ）
A. 32cm2 B. 16cm2 C. 8cm2 D. 4cm2
4. 已知 f (x) 是定义在 ( ,+ )上的偶函数，且在 ( , 0]上是增函数，设a = f (log4 7) ，
b = f (log 3) c = f (21.61 ， ) ，则 a,b,c的大小关系是
2
A. c a b B. b c a
C. c b a D. a b c
5. “角 与 的终边关于直线 y = x对称”是“ sin ( + ) = 1”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的
5
生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的 倍，若荷叶经过 20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖
4
水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据： lg2 0.3）（ ）
A. 15 天 B. 16 天 C. 17 天 D. 18 天
7. 已知 tan2 x 2 tan2 y 1 = 0，则下列式子成立的是（ ）
sin2 y = 2sin2A. x +1 B. sin2 y = 2sin2 x 1
C. sin2 y = 2sin2 x 1 D. sin2 y =1 2sin2 x
8. 高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数 f (x) = [x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域，
其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如 ： [3.65] = 3 ， [ 1.27] = 2 ， 若 函 数
5π 5π
f (k) = [sin( )+ sin( + kπ)](k Z)，则 f (k) 的值域为（ ）
12 12
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A. {0,1} B. { 1,0} C. 1,0,1 D. 1
二.填空题
9. 函数 y = loga x在[3,4]上最大值比最小值大 1，则a =________．
sin + cos
10. 已知 = 3，则 sin2 2sin cos +1= ________．
sin cos
11. 已知 sin ，cos 是关于 x的一元二次方程3x2 x m = 0的两根，则m = ________．
(a 2) x + 2a, x 1
12. 已知函数 f (x) = 是R上的减函数，那么a的取值范围是________.
logax, x 1
3 1 π
13. 已知角 π, π ，若 sin(π + ) = ，则 =__________；sin + = __________．
2 2 2

14. 若点 A(cos ,sin )关于 y轴对称点为 B(cos( + ),sin( + )) ，写出 的一个取值为___．
6 6
15. 切比雪夫多项式Tn (t)(t [ 1,1]) 满足Tn (cos x) = cosnx，其中 n
*
N ， x R ．关于T2025 (t) ，下列
说法正确的是________．
①T2025 (t)的值域是[ 1,1] ②T2025 (t)为偶函数
③T2025 (t)有 2025 个零点 ④T2025 (sin x) = sin 2025x
三.解答题
16. 计算求值.
π 1 2π π
（1）已知sin x + = ，求 sin x + cos x 的值.
3 3 3 6
10 π
（2）若sin = ，且 ,0 ，求下列式子的值.
10 2
π 3π
2sin +3cos sin cos + tan (π )
（i） ；（ii） 2 2 .
3sin 2cos
tan ( π)sin ( π)
1
17. 已知 a R，函数 f (x) = log2 + a ．
x
（1）当 a = 5 时，解不等式 f (x) 0 ；
（2）若函数 g (x) = f (x)+ 2log2 x只有一个零点，求实数 a的取值范围；
18. 对于函数 y = f (x)，记所有满足 s t 0，都有 f (s) f (t )的函数构成集合 A；所有满足
s, t (0,+ )，都有 f (s + t ) f (s) + f (t )的函数构成集合 B .
（1）分别判断下列函数是否为集合 B中的元素，并说明理由，
① f (x) = 2x +1 2；② f (x) = x ；
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（2）若 f (x) = log1 (x + a)（ a 0 ）是集合 B中的元素，求 a的最小值；
2
（3）若 g (x) = xf (x)，求证： f (x) A是 g (x) B的充分不必要条件.
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参考答案
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C A C C A
二.填空题
9. 【答案】因为函数在 3, 4 上最大值比最小值大 1，
当 a 1时，函数单调递增，
4
ymax ymin = loga 4 loga 3 = loga =1，
3
4
解得 a = ，符合题意；
3
当0 a 1时，函数单调递减，
3
ymax ymin = loga 3 loga 4 = loga =1，
4
3
解得 a = ，符合题意；
4
3 4
故答案为： 或 .
4 3
sin + cos tan +1
10. 【答案】由 = 3，则 = 3，解得 tan = 2 ，
sin cos tan 1
sin2 2sin cos tan2 2 tan 4 4
所以 sin2 2sin cos +1= +1= +1= +1=1
sin2 + cos2 tan2 +1 4+1
故答案为：1.
11. 【答案】 sin ，cos 是关于 x的一元二次方程3x2 x m = 0的两根，
1
则 =1+12m 0，即m ，
12
1 m
sin + cos = ,sin cos = ，
3 3
2 1
则 (sin + cos ) =1+ 2sin cos = ，
9
4 m 4
sin cos = = ，则m = ．
9 3 3
4
故答案为： ．
3
12. 【答案】由题意可得 y = (a 2) x + 2a在定义域内单调递减， y = logax在定义域内单调递减，
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a 2 0 a 2

且 a 2+ 2a loga1，即有 0 a 1 ，解得 0 a 1，

a 2+ 2a log
2
a1 a
3
2
即 a ,1 .
3
2
故答案为： ,1 .
3
1 1 1 3 7π
13. 【答案】因为 sin(π + ) = ，所以 sin = ，故 sin = ，又 π, π ，所以 = ，
2 2 2 2 6
π π 7π 5π π π 3
所以 sin + = sin + = sin = sin 2π = sin = ，
2 2 6 3 3 3 2
7π 3
故答案为： ， .
6 2

14. 【答案】 A(cos ,sin )与B cos + ,sin + 关于 y轴对称，
6 6

即 , + 关于 y轴对称，
6

+ + = + 2k ,k Z，
6
5
则 = k + ,k Z，
12
5
当 k = 0 时，可取 的一个值为 .
12
5 5
故答案为： （满足 = k + ,k Z 即可）.
12 12
15. 【答案】由Tn (cos x) = cosnx，得T2025 (cos x) = cos 2025x，令 t = cos x [ 1,1], x [0,π]，
对于①， 由 x [0,π]，得2025x [0, 2025π]， cos 2025x值域为[ 1,1]，
则T2025 (cos x)，即T2025 (t)值域为[ 1,1]，①正确；
对于②，T2025 ( cos x) = T2025(cos(x + π)) = cos(2025x + 2025π) = cos(2025x) ，
即T2025 ( t) = T2025 (t) ，则T2025 (t)为奇函数，又T2025 (t)非常数函数，因此T2025 (t)不是偶函数，②错误；
1 π
对于③，令 cos 2025x = 0， x [0,π]，则 xk = ( + kπ) [0,π]， k Z，
2025 2
0 k 2024 ，共有 2025 个解，且满足0 x0 x1 x2024 π，
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由于 t = cos x在 x [0,π]单调递减，则 tk 均不相等，则T2025 (t )有 2025 个零点，③正确；
π 2025
对于④，T2025(sin x) =T2025[cos(x )] = cos(2025x π) = sin 2025x，④正确.
2 2
故答案为：①③④
三.解答题
16. 【答案】（1）
2π π
sin x + cos x
3 6
π π π
= sin π x + + cos x+
3 3 2
π π
= sin x + + sin x +
3 3
2
=
3
（2）
π
∵ ,0
2
2
10 3 10
∴ cos = 1 sin2 = 1 = ，
10

10
sin 1
则 tan = =
cos 3
1
2 +3
2sin +3cos 2 tan +3
= =
3 7
（i） =
3sin 2cos 3tan 2 1 9
3 2
3
π 3π
sin cos + tan (π )
（ii） 2 2
tan ( π)sin ( π)
cos sin ( tan )
=
tan sin
= cos
3 10
=
10
1
17. 【答案】（1）当a = 5 时， f (x) = log2 ( +5) ，
x
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1 1 1
由 f (x) 0 ，即 log2 ( +5) 0 ，可得 + 5 1，解得 x 或 x 0 ，
x x 4
1
即不等式 f (x) 0 的解集为 ( , ) (0,+ ) .
4
1 1 2
（2）由 g (x) = f (x)+ 2log2 x = log2 ( + a)+ 2log2 x = log2( + a) x （其中 x 0 ），
x x
因为函数 g (x) = f (x)+ 2log2 x只有一个零点，即 g ( x) = 0只有一个根，
1
即 ( + a) x
2 =1在 (0,+ )上只有一个解，
x
即 ax2 + x 1= 0 在 (0,+ )上只有一个解，
①当 a = 0 时，方程 x 1= 0，解得 x =1，复合题意；
②当 a 0时，设函数 y = ax2 + x 1
当 a 0 时，此时函数 y = ax2 + x 1与 x轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；
当 a 0 时，要使得函数 y = ax2 + x 1与 x轴的正半轴只有一个交点，
1
0 1
则满足 2a ，解得 a = ，
4
=1+ 4a = 0
1
综上可得，实数 a的取值范围是{ } [0,+ ) .
4
18. 【答案】（1）
①不是.
当 s = t =1时， f (s + t ) = f (2) = 2 2 +1= 5，
f (s) + f (t ) = 3+ 3 = 6 f (s + t )，
所以 f (x) = 2x +1不是集合 B中的元素；
②是.
2
s, t (0,+ )， f (s + t ) f (s) f (t ) = (s + t ) s2 t 2 = 2st 0，
f (x) = x2所以 是集合 B中的元素.
（2）
f s + t = log s + t +1
当 a =1时， s, t (0,+ )， ( ) 1 ( )，
2
f (s) + f (t ) = log1 (s +1) + log1 (t +1) = log1 (s +1)(t +1)，
2 2 2
因为 (s +1)(t +1) (s + t +1) = st 0 y = log， 1 x在 (0,+ )上单调递减，
2
故 f (s + t ) f (s) + f (t ) f x成立，即 ( ) = log1 (x +1) B；
2
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1 a
若0 a 1，令 s = t = 0 f s + t = log s + t + a， ( ) 1 ( )，
2 2
f (s) + f (t ) = log1 (s + a) + log1 (t + a) = log1 (s + a)(t + a)，
2 2 2
2
1+ a
( ) ( y = log x因为 s + t + a s + a)(t + a) =1 0， 1 在 (0,+ )上单调递减，
2 2
所以 f (s + t ) f (s)+ f (t ) f x = log x + a B，因此 ( ) 1 ( ) ，
2
综上所述， a的最小值为 1.
（3）
充分性：因为 f (x) A，所以 s, t (0,+ )， s+ t s， f (s + t ) f (s)，进而 sf (s + t ) sf (s)，
同理 tf (s + t ) tf (t )，相加得 (s + t ) f (s + t ) sf (s) + tf (t )，即 xf (x) B，所以充分性满足；
必要性：设 g (x) = x ， s, t (0,+ )， s + t s + t ，
x 1
所以 g (x) = x B，此时 f (x) = ，当1 x 2时， f (x) = ，
x x
x
所以 f ( x)在 (1,2)上单调递减，因此 f (x) = A，所以必要性不满足；
x
综上所述， f (x) A是 g (x) B的充分不必要条件.
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