广西南宁市第三十三中学2025-2026学年高二上学期期中段考数学试卷（含答案）

广西壮族自治区南宁市第三十三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知数列满足点在直线上，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
7．若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
8．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．过点且在、轴上截距相等的直线方程为
C．曲线过点的最短弦长为
D．已知圆，圆，若两圆公切线有三条，则且其中一条公切线的方程为
10．设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是
B．的最小值为4
C．过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6
D．以线段为直径的圆与轴相切
11．在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点A，B到平面的距离相等
D．当时，总有
三、填空题
12．双曲线的渐近线方程为（请用一般式方程作答） .
13．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．在中,的角平分线在直线上,,为垂足,且所在直线的方程为.
（1）求点的坐标;
（2）若点的坐标为,求边上高的长度.
16．的内角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求角；
(2)若，．平分交于点，求的长．
17．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.
(1)若的坐标为，求过点的切线方程；
(2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）.
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
19．已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．
(1)求C的方程．
(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ii）证明：直线恒过定点．
参考答案
1．A
【详解】点在直线上，所以，
故，
故选：A
2．A
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．A
【详解】由圆，圆心，半径.
则圆心到直线的距离，
又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.
故选：A.
4．D
【详解】对于A，由，可得，
又，所以，即，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，由，可得，即，所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，
所以可得，即，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，易知，
即，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：D．
5．B
【详解】因为，，，，
所以，，，
因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得，
所以，
所以，解得．
故选：B
6．B
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
7．A
【详解】的定义域为，，
由于为偶函数，故，即，
故，解得
故选：A
8．C
【详解】连接，设，连接，
由，得，所以，
因为底面是菱形，所以，
又因为，且，在平面内，
所以平面，
在中，，，所以，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，令，得，
所以点到平面的距离.
故选：C.
9．ACD
【详解】对于A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，
即，故A正确；
对于B：若截距都不为时，令直线为，则，解得，
此时直线方程为，
若截距都为时，令直线为，则，此时直线方程为，
过点且在、轴上截距相等的直线方程为或，故B错误；
对于C：曲线，即，所以抛物线的焦点为，
故过点的最短弦为通径，长度为，故C正确；
对于D：因为圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
若两圆公切线有三条，则两圆相外切，则，解得，
由，解得，即两圆的切点为，
显然与圆，圆均相切，故是两圆的公切线，故D正确.
故选：ACD
10．BD
【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错，
如下图示，
其中准线于，则，故，
当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对；
由题意知，抛物线的焦点坐标为，
当斜率存在时，设直线的方程为，
由.
设交点，，则，.
依据抛物线的定义得：，
.
当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错；
由，则中点坐标为，
而，故，
所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对.
故选：BD
11．ACD
【详解】不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使平面，则必须，又，所以需要，所以E在中点，因为，所以与不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，
，，所以，，因为，所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【详解】双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为：
13．
【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，不相同的情况有种，
所以其概率为.
故答案为：
14．
【详解】由正弦定理可知且，
又因为，可解得，
又因为，所以为的中点，所以，
又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，解得，
故答案为：.
15．（1） （2）
【详解】（1） 的角平分线在直线上
可设,
所在直线的方程为.
由方程得:,
点的坐标为.
（2） ,
,
直线方程为:,即,
的角平分线在直线上,
,
直线方程为:,即,
,
,
直线方程为:,即,
由,
解得点,
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，又，所以；
（2）在中，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
又，，
所以，解得.
17．(1)或
(2)
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
过点的切线，
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即
则，即，解得，
所以切线方程为，即；
即过点的切线方程为或，
（2）由，得，
，
设，，
由， ，
，，
则
，
所以，
，
，
的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）在中，．
所以，即；
又因为，
在平面中，面，面，，
所以平面；
（2）因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，所以，
由（1）已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
，
因为为中点，
所以，
由知，
，
设平面的法向量为，
则即，令，则，
于是，
又因为由（1）已证平面，
所以平面的法向量为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值；
（3）设是线段上一点，则存在使得，
因为，
所以，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，
即，解得，
因为，所以线段上不存在使得平面．
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为，所以，则双曲线，
又点在C上，所以，解得，
所以C的方程为．
（2）（ⅰ）易知，，设，，
则，，即，
而，
所以，
又，所以，
故，为定值．
（ii）设直线的方程为，，，，
由，得，
所以．
由（ⅰ）可知，，
即，
即，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
因此直线经过定点．