第五章 二元一次方程组 单元测试卷（含答案） 北师大版八年级数学上册

第五章《 二元一次方程组》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若与互为相反数，则的值为( )
A．3 B．9 C．12 D．27
2．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（ ）
A． B． C．8 D．10
3．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（ ）
x m
y n
t 8 p
A．13 B．15 C．16 D．18
6．已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A． B． C． D．
7．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（ ）种购买方案．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（3分）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是(　　)
A．2 015 B．2 016 C．2 017 D．2 018
10．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，一次函数（）与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
12．如果是二元一次方程，那么 ， ．
13．已知，则 ．
14．已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
15．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ．
16．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图）．这五张卡片上的数分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者．
下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号
两数的和
请你帮李明回答卡片上的数从小到大的排序： ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程组
(1) (2)
18．（6分）已知关于的方程组与有相同的解，
(1)求此相同的解；
(2)求的值．
19．（8分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，．
(1)直接写出a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解．
20．（8分）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值．
【方法对比】
甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下：
（1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值．
（2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值．
（3）丙同学：先解方程组，再求k的值．
【解答问题】
你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题．
21．（10分）综合与实践．
【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题．
【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”
【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
【假设】（1）①根据题意完成下列表格
母鸡 公鸡 小鸡
数量/只 x y
花费/文
（用含x，y的式子表示）
②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________；
【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
22．（10分）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”．
例如，，则称“关联”了
(1)下列数对中被“关联”的有______；
①，②，③，④
(2)若同时被和“关联”，请求出p，q；
(3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对．
23．（12分）【材料阅读】
二元一次方程有无数个解，如：，，，…如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
(1)【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为________．
(2)（2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设方程①图象与轴，轴的交点分别是与，方程②图象与轴，轴的交点分别是与，计算的度数．
（说明：三角形的内角和为可以直接使用）．
(3)【拓展应用】
（3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解________．
24．（12分）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择．
信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算）
信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表）
(1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？
(2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？
(3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？
参考答案
一．选择题
1．D
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
而，，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
2．C
【详解】解：对方程组，
②－①×2，得，
∴，
∵关于x、y的方程组的解为整数，
∴，即，
∴满足条件的所有a的值的和为．
故选：C．
3．D
【详解】解：设，则，，
，
解得：，
∴，，
∴方程组的解为：．
故选：D．
4．B
【详解】解：变形为
由题意得：，
解得：．
故选：B．
5．A
【详解】解：由题意，得，
整理②，得，
把①代入得，
∴．
故选：A．
6．C
【详解】解：①+②得，，
，
，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，
∴，解得：，
所以这个公共解为，
故选：C．
7．B
【详解】解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件，
由题意得：
将方程变形为：
要求y为正整数，即必须能被3整除且结果大于等于1．
依次代入x的正整数值验证：
当时，，符合条件；
当时，，符合条件；
当时，，符合条件．
其他x值代入后y均不为整数或小于1．
因此共有3种购买方案．
故选B．
8．D
【详解】解∶
，得，
∵方程组有无数组解，
∴，，
∴，，
故选∶D．
9．A
【详解】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得，两式相加得，m+n=5（x+y），∵x、y都是正整数，可知m+n是5的倍数，可知2015、2016、2017、2018四个数中只有2015是5的倍数，即m+n的值可能是2015．
故选：A．
10．B
【详解】由得：，即；
由得：，即．
联立方程组：
，
解得：，，故结论①正确．
，即，解得，结论②正确．
方程的正整数解为：
时，；
时，，
共有2组解，结论③错误．
由得：
，
∴，
对所有成立，需，即，结论④错误．
综上，正确的结论为①、②，共2个，
故选B．
二．填空题
11．
【详解】解：将点代入中得：，
解得：，
将与分别变形为，，
则二元一次方程组的解为一次函数（）与的交点即点P，
二元一次方程组的解为．
故答案为：．
12． 2 2
【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程，
∴，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴方程组的解为，
故答案为：2，2．
13．
【详解】解：解关于的方程组，得：，
∴；
故答案为：．
14．
【详解】解：已知是关于，的二元一次方程，
去括号得：，
整理得：，
当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，
可得方程组，
解得：，
这些方程的公共解为，
故答案为：
15．3
【详解】解：把代入方程组得，
∵是方程的一组解，
∴，
联立①②③，并解得，
∴，
故答案为：3．
16．
【详解】解：由题意得，，，，，，
，得，
，得，
，得，
⑦⑧联立得，，
解得，
∴，，，
∴，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
②①得，
解得：
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）解：
①②得，④
将④代入③得，，
解得：
将代入①得，⑤
④⑤得，
解得：
将代入④得，
解得：
∴原方程组的解为：
18．（1）解：已知关于的方程组与有相同的解，
与有相同的解，
解，得到，
故相同的解为；
（2）解：将代入，
得到，
解得
，．
19．（1）解：由题意，，
得，
解得，
（2）由题意，方程组可化为，
得，
，
，
；
（3）由题意，方程组可化为，
方程组可化为，
即，
由方程组的解为，
，解得，
则方程组的解为．
20．解：
第一种：我欣赏甲同学的思路，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为，
∵，
∴，
解得；
第二种：我欣赏乙同学的思路，
得，
∵，
∴，
解得
第三种：我欣赏丙同学的思路，
由题意得，
得：，解得，
把代入③得：，解得
∴原方程组的解为，
∵，
∴，
解得．
21．解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下：
母鸡 公鸡 小鸡
数量/只 x y
花费/文
②根据题意得：
故答案为：；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只；
（3）根据题意得：，
化简得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，舍去．
所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可），
故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只．
22．（1）解：①，
∴被“关联”；
②
∴未被“关联”；
③
∴未被“关联”；
④
∴被“关联”；
故答案为：①④；
（2）解：根据题意得，
解方程组得；
（3）解：根据题意得，
得，即，
将代入①得，
将和代入③得，
，
根据题意可得，
，
整理得，
将代入得，，
∴，
解得，
所以，数对为．
23．（1）解：如图所示，即为所求：
由图象可知，直线与直线交于点，
同时是方程和方程的解，
是方程组的解，
故答案为：．
（2）方程组无解，
直线与直线没有交点，
直线与直线平行，
在方程中，当时，，
直线经过点，
如图所示，直线和直线即为所求：
，
在中，
（3）如图所示
在方程中，当时，则，即此时，
是方程的解，即直线经过点；
直线为直线或直线中的一条，
把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，
不是方程的解，即直线不经过点
直线即为直线
直线为直线，
在方程中，当时，则，解得，
是方程的一个解，
直线与直线的交点横坐标为3，
直线与直线的交点坐标为，
二元一次方程组的解为，
故答案为：．
24．（1）解：根据题意，购买电器国补元，
国补后只需要支付元，
答：国补后只需要支付6400元．
（2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，
根据题意，得，
解得，
（元），
答：导购能让利给小红家的优惠为600元．
（3）解：冰箱A可获得国补（元），
洗衣机A可获得国补（元），
微波炉A可获得国补（元），
则国补后三种电器的总价为（元），
因为，
所以活动可再减1000元，
所以最终花的钱数为（元），
答：最终小红家花了7120元．
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