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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题2 科学记数法与近似数
【考点一】科学记数法
1.定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
表示方法：
类别 a的确定 n的确定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数=原数的整数位数减1 a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数=原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） a=-5.5，n=-6
注意：对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示.
常考的计数单位：；
常考的计量单位：.
【考点二】近似数
1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
3.规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【题型一】科学记数法
◇典例：2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.据美团2025年国庆假期文旅消费目的地城市数据显示洛阳排名第八，是前十城市当中唯一一个非省会城市．根据去哪儿旅行网统计龙门石窟排名全国热门景区第一位，接待游客万人次，用科学记数法可将万表示为（ ）
A． B． C． D．
2．将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【题型二】近似数
◇典例1：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)； (2)； (3)； (4)万； (5)．
◆变式训练
按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位）
(3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字）
一、单选题
1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客万人次，实现旅游总收入亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·四川攀枝花·中考真题）将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·甘肃平凉·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·江苏泰州·中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
10．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ．
11．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ．
12．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
三、解答题
13．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
14．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
一、单选题
1．据人民网消息，2025年国庆假期，我国国内旅游约亿人次．其中近似数“亿”精确到的数位是（ ）
A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位
2．下列说法错误的是（ ）
A．近似数2.1和2.10精确度不相同
B．0.0357（用四舍五入法精确到）
C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位
D．小明身高约，其中175是近似数
3．用四舍五入法按要求对0.15029分别取近似数，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.1503（精确到0.0001）
C．0.150（精确到千分位） D．0.15（精确到百分位）
4．据《湖南日报》2025年9月报道，2024年湖南省智能衡器计量产业的营业收入约为1226.24亿元．将数据1226.24亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．Chat-GPT是一款知名的大语言模型，其早期版本拥有一定规模的参数量，某研究资料显示其早期版本参数量为520亿．数据520亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．2025年国庆、中秋八天假期间，海口全市累计接待游客总人数约113.45万人次，同比增长；实现旅游总收入14.14亿元，同比增长，其中数据14.14亿用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
8．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．人类的遗传物质是很长的链状结构，最短的号染色体也有个核苷酸．则用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035
C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位
二、填空题
11．约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家——祖冲之计算出圆周率应在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到千分位，所得到的近似数为 ．
12．东风洲际导弹，最大射程约为公里，从中国本土发射可打击全球任意地点，实现“无死角全球覆盖”．数据用科学记数法表示是 ．
13．用科学记数法表示，应为 ．
14．用四舍五入法对1990520取近似值，精确到十万位，结果为 （用科学记数法表示）．
15．已知万是由四舍五入得到的近似数，它精确到 位．
16．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为 米．
三、解答题
17．下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
①65.7 ；②0.0407；③1.60；④4000万；⑤3.04千万；⑥7.56×102
18．用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到）；
(2)（精确到个位）；
(3)（精确到百分位）；
(4)（精确到）．
19．用科学记数法表示下列各数：
(1)532000；
(2)20000000；
(3)500500．
20．用科学记数法表示下列各数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的西湖断桥景区．景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少），9月30日的游客人数为万人．
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
人数变化（万）
(1)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人
(2)如果每万人带来的经济收入约为80万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元 （结果用科学记数法来表示）
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模块一 数与式
专题2 科学记数法与近似数
【考点一】科学记数法
1.定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
表示方法：
类别 a的确定 n的确定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数=原数的整数位数减1 a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数=原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） a=-5.5，n=-6
注意：对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示.
常考的计数单位：；
常考的计量单位：.
【考点二】近似数
1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
3.规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【题型一】科学记数法
◇典例：2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值大于的数，科学记数法要求形式为，其中 ，为整数且等于原来的整数位数减去．据此解答即可．
【详解】万．
故选：C．
◆变式训练
1.据美团2025年国庆假期文旅消费目的地城市数据显示洛阳排名第八，是前十城市当中唯一一个非省会城市．根据去哪儿旅行网统计龙门石窟排名全国热门景区第一位，接待游客万人次，用科学记数法可将万表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
将“45.99万”转换为不带单位的数，再用为科学记数法表示即可．
【详解】解：万．
故选：B．
2．将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．
（1）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案；
（2）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案；
（3）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案；
（4）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【题型二】近似数
◇典例1：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)； (2)； (3)； (4)万； (5)．
【答案】(1)精确到个位 (2)精确到十分位 (3)精确到万分位
(4)精确到百位 (5)精确到百位
【分析】本题主要考查近似数的精确度，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据近似数的定义即可得出．
（2）根据近似数的定义即可得出．
（3）根据近似数的定义即可得出．
（4）万的末位数字在百位，可得近似数精确到百位．
（5）对科学记数法表示的近似数中，的末位数字对应的数位即精确到的数位．
【详解】（1）解：的末位数字在个位，
∴近似数精确到个位．
（2）解：的末位数字在十分位，
∴近似数精确到十分位．
（3）解：的末位数字在万分位，
∴近似数精确到万分位．
（4）解：∵万
∴万的末位数字在百位，
∴近似数万精确到百位．
（5）解：∵
∴的末位数字在百位，
∴近似数精确到百位．
◆变式训练
按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位）
(3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字）
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（1）根据近似数的定义求解即可；
（2）根据近似数的定义求解即可；
（3）根据近似数的定义求解即可；
（4）根据有效数字的定义求解即可．
【详解】（1）解：1.596精确到0.01为；
（2）解：0.03057精确到千分位为；
（3）解：2345000精确到万位为；
（4）解：60290保留两个有效数字为．
一、单选题
1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故选：C．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
【答案】B
【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可．
【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位．
选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位．
选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位．
选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位．
故选：B．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客万人次，实现旅游总收入亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的定义，表示一个的数的方法：从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是，据此即可求解．
【详解】解：亿，
从右往左数到最后一个非“”数字是，小数点共移动了个位数，
亿．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，掌握定义并会表示一个具体较大的数是解题的关键．
4．（2023·四川攀枝花·中考真题）将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为；
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
5．（2025·甘肃平凉·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其转换为的形式，其中，为整数．通过移动原数的小数点确定和的值．据此进行表示即可．
【详解】解：451420000000，
故选：C．
6．（2025·山东青岛·中考真题）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将374000000用科学记数法表示为．
故选：B．
7．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：万，
则，
故选：B．
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将万写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：万．
故选C．
二、填空题
9．（2023·江苏泰州·中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答．
【详解】解：957.2亿，
故答案为：．
11．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：4.6万；
故答案为：．
12．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：3802亿，
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
答：该铜棒的伸长量．
（2）解：，
解得：，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．
（3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
14．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：
(2)见解析
(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是
【分析】（1）举反例即可；
（2）①当且时，可得，得，不合题意；
②当且时，可得，可得，得，即得．
（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是，
【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
一、单选题
1．据人民网消息，2025年国庆假期，我国国内旅游约亿人次．其中近似数“亿”精确到的数位是（ ）
A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的近似数．近似数“亿”的精确度取决于最后一个数字所在的数位，在亿单位下，小数点后第二位对应百万位，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，亿，
则近似数“亿”精确到百万位，
故选：D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．近似数2.1和2.10精确度不相同
B．0.0357（用四舍五入法精确到）
C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位
D．小明身高约，其中175是近似数
【答案】C
【分析】本题考查了近似数，正确理解近似数的精确度是解题的关键．根据近似数的精确度逐一判断即可．
【详解】A．近似数2.1精确到0.1，2.10精确到0.01，精确度不同，A正确；
B．0.0357精确到0.001（千分位），看下一位万分位，进1得0.036，B正确；
C．，其中9.03精确到0.01，但乘以后精确到100（百位），不是百分位，C错误；
D．“约”表示近似，175是近似数，D正确．
故选：C．
3．用四舍五入法按要求对0.15029分别取近似数，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.1503（精确到0.0001）
C．0.150（精确到千分位） D．0.15（精确到百分位）
【答案】A
【分析】本题考查了用四舍五入法求近似数。根据题意，按照四舍五入的规则，对各个选项逐一进行判断即可．
【详解】解：A、（精确到），故此选项错误，符合题意；
B、（精确到），故此选项正确，不符合题意；
C、（精确到千分位），故此选项正确，不符合题意；
D、（精确到百分位），故此选项正确，不符合题意；
故选：A．
4．据《湖南日报》2025年9月报道，2024年湖南省智能衡器计量产业的营业收入约为1226.24亿元．将数据1226.24亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握“（为整数）”的形式，以及单位“亿”与的换算．
先将“亿”换算为，再把数字转化为的形式，结合指数运算法则确定的值．
【详解】解：1亿，
1226.24亿，
又，
．
故选：C．
5．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法，科学记数法表示形式为，其中，为整数，准确分析计算是解题的关键．
用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果即可得解．
【详解】解：分子的直径为，
将小数点向右移动位至第一个非零数字后，得到，且，
科学记数法表示为；
故选．
6．Chat-GPT是一款知名的大语言模型，其早期版本拥有一定规模的参数量，某研究资料显示其早期版本参数量为520亿．数据520亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法（，为整数）的形式，解题的关键是确定与的值．
【详解】解：520亿即，科学记数法需满足，故．
故选：D．
7．2025年国庆、中秋八天假期间，海口全市累计接待游客总人数约113.45万人次，同比增长；实现旅游总收入14.14亿元，同比增长，其中数据14.14亿用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示规则是解题关键．
先将“亿”转化为数字，再按照科学记数法的要求调整a和n的值．
【详解】解：∵ 14.14亿，
又∵ 科学记数法要求系数a满足，
∴ 14.14，
故．
故选：B．
8．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．据此解答即可．
【详解】解：，
故选：C．
9．人类的遗传物质是很长的链状结构，最短的号染色体也有个核苷酸．则用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
科学记数法表示形式为，其中，为整数，有8位数字，但首位数字后需移动小数点7位，因此，由此求解．
【详解】解：，
故选：B．
10．下列说法正确的是（ ）
A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035
C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位
【答案】C
【分析】本题考查了近似数精确度的概念．近似数的精确度由最后一位有效数字所在数位决定．根据近似数的精确度概念，逐项判断每一项即可．
【详解】解：近似数2.1精确到十分位，2.10精确到百分位，故A错误；
0.0357精确到0.001（千分位），万分位，应进1，结果为0.036，故B错误；
，数字3在百位，精确到百位，故C正确；
，数字7在千位，精确到千位，故D错误，
故选：C．
二、填空题
11．约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家——祖冲之计算出圆周率应在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到千分位，所得到的近似数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握“四舍五入”的方法求近似数．根据“四舍五入”求解即可．
【详解】解：将圆周率精确到千分位，所得到的近似数为，
故答案为：．
12．东风洲际导弹，最大射程约为公里，从中国本土发射可打击全球任意地点，实现“无死角全球覆盖”．数据用科学记数法表示是 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13．用科学记数法表示，应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，即可作答．
【详解】解：将用科学记数法可表示为，
故答案为：．
14．用四舍五入法对1990520取近似值，精确到十万位，结果为 （用科学记数法表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法与精确度．一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入．
精确到十万位，需看万位数字，的万位，向十万位进位，得到，再用科学记数法表示为．
【详解】解：．
故答案为．
15．已知万是由四舍五入得到的近似数，它精确到 位．
【答案】百
【分析】本题考查近似数精确问题．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，根据知识点即可得到本题答案．
【详解】解：万，末位数字0在百位上，因此精确到百位，
故答案为：百．
16．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为 米．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，需要确定系数和指数，使得系数在1到10之间，指数为整数．
【详解】解：的小数点向右移动7位得到5，因此系数为5，指数为，用科学记数法表示为．
故答案为：．
三、解答题
17．下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
①65.7 ；②0.0407；③1.60；④4000万；⑤3.04千万；⑥7.56×102
【答案】①十分位，3个；②万分位，3个；③百分位，3个；④万位，4个；⑤十万位，3个；⑥个位，3个
【解析】略
18．用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到）；
(2)（精确到个位）；
(3)（精确到百分位）；
(4)（精确到）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉．
（1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可；
（2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可；
（3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可；
（4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可．
【详解】（1）解：（精确到）；
（2）解：（精确到个位）；
（3）解：（精确到百分位）；
（4）解：（精确到）．
19．用科学记数法表示下列各数：
(1)532000；
(2)20000000；
(3)500500．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
（1）根据科学记数法的方法即可求解；
（2）根据科学记数法的方法即可求解；
（3）根据科学记数法的方法即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
20．用科学记数法表示下列各数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了科学记数法．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答．
（2）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答．
（3）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答．
（4）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
21．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的西湖断桥景区．景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少），9月30日的游客人数为万人．
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
人数变化（万）
(1)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人
(2)如果每万人带来的经济收入约为80万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元 （结果用科学记数法来表示）
【答案】(1)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多万人
(2)8天假期的旅游总收入约为元
【分析】本题考查了正负数的意义，科学记数法，有理数的加减混合运算，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，把每天人数算出来，再把8天中游客最多的人数减去最少的人数，即可作答．
（2）结合（1），把总人数算出来，再结合每万人带来的经济收入约为80万元，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
1日的人数是（万人）；
2日的人数是（万人）；
3日的人数是（万人）；
4日的人数是（万人）；
5日的人数是（万人）；
6日的人数是（万人）；
7日的人数是（万人）；
8日的人数是（万人）；
∴（万人）；
即8天中游客人数最多的一天比最少的一天多万人；
（2）解：结合（1），得日到日的总人数为（万人）
∵每万人带来的经济收入约为80万元，
∴（元），
∴8天假期的旅游总收入约为元．
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